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3. 已知数轴上的点A、B、C、D所对应的实数依次是－0.8、$1\frac{1}{3}$、$\sqrt{5}$、－3.5.
（1）在如图所示的数轴上分别标出点A、B、D的位置和点C的大致位置；
（2）求线段AB、AD、BD的长.
（1）在如图所示的数轴上分别标出点A、B、D的位置和点C的大致位置；
（2）求线段AB、AD、BD的长.
答案
(1) 略。(2) $AB=2\frac{2}{15}$，$AD=2.7$，$BD=4\frac{5}{6}$。
解析
【分析】
（1）要在数轴上标注对应点，先明确各实数的取值范围：A对应-0.8，在-1和0之间，更靠近-1；B对应$1\frac{1}{3}\approx1.33$，在1和2之间，更靠近1；D对应-3.5，是-4和-3的中点；C对应$\sqrt{5}\approx2.24$，在2和3之间，更靠近2，按上述位置标注即可。
（2）数轴上两点的线段长度等于两点对应实数差的绝对值，即若两点对应数为a、b，则线段长为$|a-b|$，分别代入A、B、D对应的实数计算即可得到三条线段的长度。
【解析】
（1）点的标注方法：
①点A：在-1与0之间，距离0点0.8个单位长度处标注；
②点B：在1与2之间，距离1点$\frac{1}{3}$个单位长度处标注；
③点D：在-4和-3的中点位置标注；
④点C：在2与3之间，靠近2的位置标注。
（2）根据数轴上两点间距离公式，两点对应实数为x、y时，距离为$|x-y|$：
计算$AB$：$AB=\left|1\frac{1}{3}-(-0.8)\right|=\frac{4}{3}+\frac{4}{5}=\frac{32}{15}=2\frac{2}{15}$
计算$AD$：$AD=\left|-0.8-(-3.5)\right|=2.7$
计算$BD$：$BD=\left|1\frac{1}{3}-(-3.5)\right|=\frac{4}{3}+\frac{7}{2}=\frac{29}{6}=4\frac{5}{6}$
【答案】
(1) 略；
(2) $AB=2\frac{2}{15}$，$AD=2.7$，$BD=4\frac{5}{6}$
【知识点】
数轴的应用，数轴上两点间距离计算，实数运算
【点评】
本题考查实数与数轴的对应关系以及两点距离的计算，解题时先确定各实数的大致范围即可准确标注点的位置，计算距离时注意分数和小数的互化，细心运算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
（1）要在数轴上标注对应点，先明确各实数的取值范围：A对应-0.8，在-1和0之间，更靠近-1；B对应$1\frac{1}{3}\approx1.33$，在1和2之间，更靠近1；D对应-3.5，是-4和-3的中点；C对应$\sqrt{5}\approx2.24$，在2和3之间，更靠近2，按上述位置标注即可。
（2）数轴上两点的线段长度等于两点对应实数差的绝对值，即若两点对应数为a、b，则线段长为$|a-b|$，分别代入A、B、D对应的实数计算即可得到三条线段的长度。
【解析】
（1）点的标注方法：
①点A：在-1与0之间，距离0点0.8个单位长度处标注；
②点B：在1与2之间，距离1点$\frac{1}{3}$个单位长度处标注；
③点D：在-4和-3的中点位置标注；
④点C：在2与3之间，靠近2的位置标注。
（2）根据数轴上两点间距离公式，两点对应实数为x、y时，距离为$|x-y|$：
计算$AB$：$AB=\left|1\frac{1}{3}-(-0.8)\right|=\frac{4}{3}+\frac{4}{5}=\frac{32}{15}=2\frac{2}{15}$
计算$AD$：$AD=\left|-0.8-(-3.5)\right|=2.7$
计算$BD$：$BD=\left|1\frac{1}{3}-(-3.5)\right|=\frac{4}{3}+\frac{7}{2}=\frac{29}{6}=4\frac{5}{6}$
【答案】
(1) 略；
(2) $AB=2\frac{2}{15}$，$AD=2.7$，$BD=4\frac{5}{6}$
【知识点】
数轴的应用，数轴上两点间距离计算，实数运算
【点评】
本题考查实数与数轴的对应关系以及两点距离的计算，解题时先确定各实数的大致范围即可准确标注点的位置，计算距离时注意分数和小数的互化，细心运算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
4. 已知$\sqrt{4x - y^2 + 1}$与$|y^2 -5|$互为相反数，其中$x$、$y$是实数.
（1）求$x$、$y$的值；
（2）求$x+y$的相反数与绝对值.
（1）求$x$、$y$的值；
（2）求$x+y$的相反数与绝对值.
答案
(1) $x=1$，$y=\sqrt{5}$或$y=-\sqrt{5}$。
(2) 当$y=\sqrt{5}$时，$x+y=1+\sqrt{5}$，相反数是$-1-\sqrt{5}$，绝对值是$1+\sqrt{5}$；当$y=-\sqrt{5}$时，$x+y=1-\sqrt{5}$，相反数是$\sqrt{5}-1$，绝对值是$\sqrt{5}-1$。
(2) 当$y=\sqrt{5}$时，$x+y=1+\sqrt{5}$，相反数是$-1-\sqrt{5}$，绝对值是$1+\sqrt{5}$；当$y=-\sqrt{5}$时，$x+y=1-\sqrt{5}$，相反数是$\sqrt{5}-1$，绝对值是$\sqrt{5}-1$。
解析
【分析】
本题可结合非负数的性质逐步求解：首先根据互为相反数的两个数和为0，列出关于x、y的等式；其次算术平方根和绝对值均为非负数，若两个非负数的和为0，则两个非负数各自取值为0，据此列方程即可求出x、y的值；第二问需分y取√5和-√5两种情况，分别计算x+y的值，再结合相反数、绝对值的定义求解即可。
【解析】
（1）解：
∵$\sqrt{4x - y^2 + 1}$与$|y^2 -5|$互为相反数
∴$\sqrt{4x - y^2 + 1} + |y^2 -5| = 0$
又
∵$\sqrt{4x - y^2 + 1} ≥ 0$，$|y^2 -5| ≥ 0$
∴可得方程组：
$\begin{cases} 4x - y^2 + 1 = 0 \\ y^2 - 5 = 0 \end{cases}$
由$y^2 -5=0$得$y^2=5$，解得$y=\sqrt{5}$或$y=-\sqrt{5}$
将$y^2=5$代入$4x - y^2 +1=0$，得$4x-5+1=0$，解得$x=1$。
（2）分两种情况计算：
①当$y=\sqrt{5}$时，$x+y=1+\sqrt{5}$
相反数为$-(1+\sqrt{5})=-1-\sqrt{5}$
∵$1+\sqrt{5}＞0$，
∴绝对值为$|1+\sqrt{5}|=1+\sqrt{5}$
②当$y=-\sqrt{5}$时，$x+y=1-\sqrt{5}$
相反数为$-(1-\sqrt{5})=\sqrt{5}-1$
∵$1-\sqrt{5}＜0$，
∴绝对值为$|1-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-1$
【答案】
(1) $x=1$，$y=\sqrt{5}$或$y=-\sqrt{5}$。
(2) 当$y=\sqrt{5}$时，$x+y=1+\sqrt{5}$，相反数是$-1-\sqrt{5}$，绝对值是$1+\sqrt{5}$；当$y=-\sqrt{5}$时，$x+y=1-\sqrt{5}$，相反数是$\sqrt{5}-1$，绝对值是$\sqrt{5}-1$。
【知识点】
非负数的性质，相反数的定义，绝对值的化简
【点评】
本题核心考查非负数的性质应用，解题关键是明确几个非负数的和为0时，每个非负数的取值都为0，求解时注意y的取值有两种情况，不要漏解，化简绝对值时要先判断代数式的正负再计算。
【难度系数】
0.7
本题可结合非负数的性质逐步求解：首先根据互为相反数的两个数和为0，列出关于x、y的等式；其次算术平方根和绝对值均为非负数，若两个非负数的和为0，则两个非负数各自取值为0，据此列方程即可求出x、y的值；第二问需分y取√5和-√5两种情况，分别计算x+y的值，再结合相反数、绝对值的定义求解即可。
【解析】
（1）解：
∵$\sqrt{4x - y^2 + 1}$与$|y^2 -5|$互为相反数
∴$\sqrt{4x - y^2 + 1} + |y^2 -5| = 0$
又
∵$\sqrt{4x - y^2 + 1} ≥ 0$，$|y^2 -5| ≥ 0$
∴可得方程组：
$\begin{cases} 4x - y^2 + 1 = 0 \\ y^2 - 5 = 0 \end{cases}$
由$y^2 -5=0$得$y^2=5$，解得$y=\sqrt{5}$或$y=-\sqrt{5}$
将$y^2=5$代入$4x - y^2 +1=0$，得$4x-5+1=0$，解得$x=1$。
（2）分两种情况计算：
①当$y=\sqrt{5}$时，$x+y=1+\sqrt{5}$
相反数为$-(1+\sqrt{5})=-1-\sqrt{5}$
∵$1+\sqrt{5}＞0$，
∴绝对值为$|1+\sqrt{5}|=1+\sqrt{5}$
②当$y=-\sqrt{5}$时，$x+y=1-\sqrt{5}$
相反数为$-(1-\sqrt{5})=\sqrt{5}-1$
∵$1-\sqrt{5}＜0$，
∴绝对值为$|1-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-1$
【答案】
(1) $x=1$，$y=\sqrt{5}$或$y=-\sqrt{5}$。
(2) 当$y=\sqrt{5}$时，$x+y=1+\sqrt{5}$，相反数是$-1-\sqrt{5}$，绝对值是$1+\sqrt{5}$；当$y=-\sqrt{5}$时，$x+y=1-\sqrt{5}$，相反数是$\sqrt{5}-1$，绝对值是$\sqrt{5}-1$。
【知识点】
非负数的性质，相反数的定义，绝对值的化简
【点评】
本题核心考查非负数的性质应用，解题关键是明确几个非负数的和为0时，每个非负数的取值都为0，求解时注意y的取值有两种情况，不要漏解，化简绝对值时要先判断代数式的正负再计算。
【难度系数】
0.7
