5.计算:$[(-1)^3 + (\frac{7}{12} - \frac{3}{4}) × 36] ÷ \left| - (-\frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2} \right|.$

解：
先计算中括号内的运算：
$\begin{aligned}(-1)^3 + (\frac{7}{12} - \frac{3}{4}) × 36&=-1 + \frac{7}{12}×36 - \frac{3}{4}×36\\&=-1 + 21 - 27\\&=-7\end{aligned}$
再计算绝对值内的运算：
$\begin{aligned}\left| -(-\frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2} \right|&=\left| -\frac{9}{4} + \frac{1}{2} \right|\\&=\left| -\frac{7}{4} \right|\\&=\frac{7}{4}\end{aligned}$
最后计算除法：
$\mathrm{原式}=-7 ÷ \frac{7}{4} = -7 × \frac{4}{7} = -4$
最终结果为$\boldsymbol{-4}$。

6.观察下列一组数：$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{7}$，$\frac{4}{9}$，$\frac{5}{11}$，….根据该组数的排列规律，可推出第10个数是

解：观察这组数的排列规律：
第1个数的分子是1，分母是$2×1+1=3$；
第2个数的分子是2，分母是$2×2+1=5$；
第3个数的分子是3，分母是$2×3+1=7$；
……
由此可得第$n$个数的分子为$n$，分母为$2n+1$。
当$n=10$时，分子为10，分母为$2×10+1=21$，
即第10个数是$\frac{10}{21}$。
$\frac{10}{21}$

7.阅读下面材料并回答下列问题：
你能比较 $2016^{2017}$ 与 $2017^{2016}$ 的大小吗？为了解决这个问题，我们首先写出它的一般形式，即比较 $n^{n+1}$ 与 $(n+1)^n$ 的大小（$n$ 是正整数），然后我们分析 $n=1,n=2,n=3,\dots$，从中发现规律，经归纳、猜想得出结论.
(1)通过计算，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“＜”“＞”或“=”）：
① $1^2$ $2^1$；② $2^3$ $3^2$；③ $3^4$ $4^3$；
④ $4^5$ $5^4$；⑤ $5^6$ $6^5$；…
(2)从第(1)题的结果中，经过归纳，可以猜想出 $n^{n+1}$ 与 $(n+1)^n$ 的大小关系是 .
(3)试比较 $2016^{2017}$ 与 $2017^{2016}$ 的大小.

解：
(1) 计算各组数：
① $1^2=1$，$2^1=2$，得$1^2 ＜ 2^1$；
② $2^3=8$，$3^2=9$，得$2^3 ＜ 3^2$；
③ $3^4=81$，$4^3=64$，得$3^4 ＞ 4^3$；
④ $4^5=1024$，$5^4=625$，得$4^5 ＞ 5^4$；
⑤ $5^6=15625$，$6^5=7776$，得$5^6 ＞ 6^5$。
答案依次为：$＜$，$＜$，$＞$，$＞$，$＞$。
(2) 归纳可得：
当$n=1$或$n=2$时，$n^{n+1} ＜ (n+1)^n$；当$n\ge3$且$n$为正整数时，$n^{n+1} ＞ (n+1)^n$。
(3) 因为$2016＞3$，符合$n\ge3$的正整数条件，
所以$2016^{2017} ＞ 2017^{2016}$。