例1 如图，已知$△ ABC ≌ △ DCB$，指出所有的对应边和对应角.

【思路导析】(1)公共边$BC$和$CB$是对应边，它们所对的$∠ A$和$∠ D$是对应角，最短边$AB$和$DC$是对应边，它们所对的$∠ ACB$和$∠ DBC$是对应角.(2)对应顶点的夹边是对应边，对应边所对的角是对应角.
【请你解答】

解：
对应边：AB与DC，AC与DB，BC与CB是对应边；
对应角：∠A与∠D，∠ABC与∠DCB，∠ACB与∠DBC是对应角。

【分析】
要找全等三角形的对应边和对应角，可通过两个方法推导：第一，利用全等三角形的书写规则，书写全等表达式时对应顶点按顺序排列，因此△ABC≌△DCB中，A对应D、B对应C、C对应B，对应顶点连接的边是对应边，对应边所对的角是对应角；第二，结合图形特征判断，公共边一定是对应边，公共边所对的角是对应角，长度相等的边是对应边，大小相等的角是对应角，结合两类方法就能找出全部对应元素。
【解析】
1. 先识别公共边：BC是△ABC和△DCB的公共边，因此BC与CB是对应边；公共边所对的角分别为∠A和∠D，故∠A与∠D是对应角。
2. 结合全等的书写顺序找对应边：△ABC≌△DCB的对应顶点为A↔D、B↔C、C↔B，因此对应顶点的夹边为对应边，即AB与DC对应，AC与DB对应。
3. 找剩余对应角：AB边所对的角是∠ACB，DC边所对的角是∠DBC，因此∠ACB与∠DBC是对应角；剩余的∠ABC与∠DCB即为最后一组对应角。
【答案】
对应边：AB与DC，AC与DB，BC与CB是对应边；
对应角：∠A与∠D，∠ABC与∠DCB，∠ACB与∠DBC是对应角。
【知识点】
全等三角形对应关系、对应边识别、对应角识别
【点评】
本题是全等三角形的基础题型，核心考查全等三角形对应元素的识别方法，解题时既可以通过全等符号的书写顺序快速锁定对应顶点，也可以结合公共边等图形特征辅助判断，熟练掌握这类基础题型是后续学习全等三角形证明与应用的前提。
【难度系数】
0.8

例2 如图，已知△ABC≌△DEF，△DEF的周长为32 cm，DE=9 cm，EF=12 cm，求△ABC各边的长。

【思路导析】由△ABC≌△DEF，知两个三角形的三边对应相等。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧

解：
∵ △DEF的周长为32 cm，DE=9 cm，EF=12 cm，
∴ DF = 32 - DE - EF = 32 - 9 - 12 = 11 cm。
∵ △ABC ≌ △DEF，
∴ AB = DE = 9 cm，BC = EF = 12 cm，AC = DF = 11 cm。
答：△ABC的三边长分别为AB=9 cm，BC=12 cm，AC=11 cm。

【分析】
已知△ABC和△DEF全等，根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边长度相等，因此要求△ABC的各边长，只需要先求出△DEF的全部边长即可。首先利用三角形周长等于三边之和的关系，结合已知的△DEF周长和两条边长，先算出未知边DF的长度，再根据全等对应边相等的关系，对应得到△ABC的三边长。
【解析】
解：
∵ △DEF的周长为32 cm，DE=9 cm，EF=12 cm，
∴ DF = 32 - DE - EF = 32 - 9 - 12 = 11 cm。
∵ △ABC ≌ △DEF，
∴ AB = DE = 9 cm，BC = EF = 12 cm，AC = DF = 11 cm。
【答案】
△ABC的三边长分别为AB=9 cm，BC=12 cm，AC=11 cm。
【知识点】
全等三角形的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题，解题关键是找准全等三角形的对应边，先求出已知三角形的所有边长，再通过对应关系转换得到所求三角形的边长，解题时注意不要混淆对应边的对应关系。
【难度系数】
0.9

例3 如图，A，D，E三点在同一条直线上，且$△ BAD ≌ △ ACE$，AB与CA，AD与CE是对应边。

(1)试说明$BD=DE+CE$；
(2)$△ ABD$满足什么条件时，$BD// CE$？请说明理由。
【思路导析】(1)要说明$BD=DE+CE$，而图中$AD+DE=AE$，因此需说明$AE=BD$，$CE=AD$。(2)要找$△ ABD$满足的条件，可将$BD// CE$当作已知条件，再得出$△ ABD$中角或线段的关系。
【示范解答】(1)因为$△ BAD ≌ △ ACE$，BD与AE，AD与CE是对应边，所以$BD=AE$，$AD=CE$。
又因为$AE=AD+DE$，所以$AE=CE+DE$，所以$BD=DE+CE$。
(2)当$△ ABD$满足$∠ ADB=90°$时，$BD// CE$。
理由：因为$△ BAD ≌ △ ACE$，所以$∠ ADB=∠ CEA$。
若$∠ ADB=90°$，则$∠ CEA=90°$。
又因为$∠ ADB + ∠ BDE = 180°$，所以$∠ BDE=90°$。
所以$∠ BDE=∠ CED$，所以$BD// CE$。

解：(1) 因为$△ BAD ≌ △ ACE$，BD与AE，AD与CE是对应边，
所以$BD=AE$，$AD=CE$。
又因为A，D，E三点在同一条直线上，所以$AE=AD+DE$，
代入$AD=CE$可得$AE=CE+DE$，
因此$BD=DE+CE$。
(2) 当$△ ABD$满足$∠ ADB=90°$时，$BD// CE$，理由如下：
因为$△ BAD ≌ △ ACE$，所以$∠ ADB = ∠ CEA$。
若$∠ ADB=90°$，则$∠ CEA=90°$。
又因为A，D，E三点在同一条直线上，$∠ ADB + ∠ BDE = 180°$，
所以$∠ BDE=180° - 90°=90°$。
因此$∠ BDE = ∠ CED=90°$，内错角相等，两直线平行，可得$BD// CE$。

【分析】
(1) 要推导$BD=DE+CE$，先观察线段和差关系：A、D、E共线，可得$AE=AD+DE$。结合已知$△ BAD ≌ △ ACE$，利用全等三角形对应边相等的性质，证明$BD=AE$、$CE=AD$，再通过等量代换即可得到结论。
(2) 要得到$BD // CE$，可依据平行线的判定定理，找到对应相等的角或互补的角。结合全等三角形对应角相等的性质，将BD、CE被直线AE所截形成的角进行转化，反向推导就能得出$△ ABD$需要满足的条件。
【解析】
(1) 因为$△ BAD ≌ △ ACE$，BD与AE，AD与CE是对应边，根据全等三角形对应边相等，可得$BD=AE$，$AD=CE$。
又因为A，D，E三点在同一条直线上，根据线段和的定义，$AE=AD+DE$，将$AD=CE$代入得$AE=CE+DE$，因此$BD=DE+CE$。
(2) 当$△ ABD$满足$∠ ADB=90°$时，$BD // CE$，理由如下：
因为$△ BAD ≌ △ ACE$，根据全等三角形对应角相等，可得$∠ ADB = ∠ CEA$。
若$∠ ADB=90°$，则$∠ CEA=90°$。
又因为A，D，E三点在同一条直线上，$∠ ADB + ∠ BDE = 180°$（平角的定义），所以$∠ BDE=180° - 90°=90°$。
因此$∠ BDE = ∠ CED=90°$，根据内错角相等，两直线平行，可得$BD // CE$。
【答案】
(1) $BD=DE+CE$，证明见解析；
(2) 当$△ ABD$满足$∠ ADB=90°$时，$BD // CE$，理由见解析。
【知识点】
全等三角形的性质，平行线的判定，线段的和差关系
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题型，解题关键是利用全等三角形对应边、对应角相等的性质做等量转换，结合线段和差、平行线判定的知识解决问题，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7