登录
16. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$CE$是$△ ABC$的角平分线，$CD ⊥ AB$，垂足为$D$，延长$CE$与外角$∠ ABG$的平分线交于点$F$。若$∠ A = 60°$，求$∠ DCE + ∠ F$的度数。
答案
解：
∵ ∠ACB=90°，∠A=60°，
∴ ∠ABC=180°-90°-60°=30°。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ADC=90°，
∴ ∠ACD=90°-∠A=30°。
∵ CE平分∠ACB，
∴ ∠ACE=∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∴ ∠DCE=∠ACE - ∠ACD=45°-30°=15°。
∵ ∠ABG是△ABC的外角，
∴ ∠ABG=180°-∠ABC=150°，
∵ BF平分∠ABG，
∴ ∠FBG=$\frac{1}{2}$∠ABG=75°。
又∵ ∠FBG是△BCF的外角，
∴ ∠FBG=∠F + ∠BCF，
∴ ∠F=∠FBG - ∠BCF=75°-45°=30°。
∴ ∠DCE + ∠F=15°+30°=45°。
答：∠DCE+∠F的度数为45°。
∵ ∠ACB=90°，∠A=60°，
∴ ∠ABC=180°-90°-60°=30°。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ADC=90°，
∴ ∠ACD=90°-∠A=30°。
∵ CE平分∠ACB，
∴ ∠ACE=∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∴ ∠DCE=∠ACE - ∠ACD=45°-30°=15°。
∵ ∠ABG是△ABC的外角，
∴ ∠ABG=180°-∠ABC=150°，
∵ BF平分∠ABG，
∴ ∠FBG=$\frac{1}{2}$∠ABG=75°。
又∵ ∠FBG是△BCF的外角，
∴ ∠FBG=∠F + ∠BCF，
∴ ∠F=∠FBG - ∠BCF=75°-45°=30°。
∴ ∠DCE + ∠F=15°+30°=45°。
答：∠DCE+∠F的度数为45°。
解析
【分析】
本题要求∠DCE与∠F的度数和，可采用分步求解的思路：①先求∠DCE：在Rt△ABC中先求出∠ABC的度数，结合CD⊥AB的条件求出∠ACD的度数，再根据CE是∠ACB的角平分线得到∠ACE的度数，两者作差即可得到∠DCE；②再求∠F：先根据三角形外角的性质求出△ABC的外角∠ABG的度数，结合BF是∠ABG的角平分线求出∠FBG的度数，再利用∠FBG是△BCF的外角的性质，即可求出∠F的度数；③最后将两个角的度数相加得到结果。
【解析】
解：
∵ ∠ACB=90°，∠A=60°，
∴ ∠ABC=180°-90°-60°=30°。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ADC=90°，
∴ ∠ACD=90°-∠A=30°。
∵ CE平分∠ACB，
∴ ∠ACE=∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∴ ∠DCE=∠ACE - ∠ACD=45°-30°=15°。
∵ ∠ABG是△ABC的外角，
∴ ∠ABG=180°-∠ABC=150°，
∵ BF平分∠ABG，
∴ ∠FBG=$\frac{1}{2}$∠ABG=75°。
又
∵ ∠FBG是△BCF的外角，
∴ ∠FBG=∠F + ∠BCF，
∴ ∠F=∠FBG - ∠BCF=75°-45°=30°。
∴ ∠DCE + ∠F=15°+30°=45°。
【答案】
45°
【知识点】
直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，解题的关键是理清图中各角的和差关系，熟练运用三角形内角和、角平分线定义、外角性质分步计算未知角，只要梳理清楚角之间的关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题要求∠DCE与∠F的度数和，可采用分步求解的思路：①先求∠DCE：在Rt△ABC中先求出∠ABC的度数，结合CD⊥AB的条件求出∠ACD的度数，再根据CE是∠ACB的角平分线得到∠ACE的度数，两者作差即可得到∠DCE；②再求∠F：先根据三角形外角的性质求出△ABC的外角∠ABG的度数，结合BF是∠ABG的角平分线求出∠FBG的度数，再利用∠FBG是△BCF的外角的性质，即可求出∠F的度数；③最后将两个角的度数相加得到结果。
【解析】
解：
∵ ∠ACB=90°，∠A=60°，
∴ ∠ABC=180°-90°-60°=30°。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ADC=90°，
∴ ∠ACD=90°-∠A=30°。
∵ CE平分∠ACB，
∴ ∠ACE=∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∴ ∠DCE=∠ACE - ∠ACD=45°-30°=15°。
∵ ∠ABG是△ABC的外角，
∴ ∠ABG=180°-∠ABC=150°，
∵ BF平分∠ABG，
∴ ∠FBG=$\frac{1}{2}$∠ABG=75°。
又
∵ ∠FBG是△BCF的外角，
∴ ∠FBG=∠F + ∠BCF，
∴ ∠F=∠FBG - ∠BCF=75°-45°=30°。
∴ ∠DCE + ∠F=15°+30°=45°。
【答案】
45°
【知识点】
直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，解题的关键是理清图中各角的和差关系，熟练运用三角形内角和、角平分线定义、外角性质分步计算未知角，只要梳理清楚角之间的关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
17. 在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ ABC=40°$，$P$是射线$BC$上一动点（与$B$，$C$点不重合），连接$AP$，过点$C$作$CD ⊥ AP$于点$D$，直线$CD$交直线$AB$于点$E$，设$∠ APC=α$.
(1)若点$P$在线段$BC$上，且$α=60°$，如图1，直接写出$∠ PAB$的大小；
(2)若点$P$在线段$BC$上运动，如图2，求$∠ AED$的大小（用含$α$的式子表示）；
(3)若点$P$在$BC$的延长线上运动，且$α ≠ 50°$，直接写出$∠ AED$的大小（用含$α$的式子表示）.
(1)若点$P$在线段$BC$上，且$α=60°$，如图1，直接写出$∠ PAB$的大小；
(2)若点$P$在线段$BC$上运动，如图2，求$∠ AED$的大小（用含$α$的式子表示）；
(3)若点$P$在$BC$的延长线上运动，且$α ≠ 50°$，直接写出$∠ AED$的大小（用含$α$的式子表示）.
答案
解：
(1) $∠ PAB = 20°$
(2) 在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ ABC=40°$，
$\therefore ∠ BAC = 90° - 40° = 50°$，
$\because ∠ APC = α$，$∠ ACP=90°$，
$\therefore ∠ CAP = 90° - α$，
$\therefore ∠ PAB = ∠ BAC - ∠ CAP = 50° - (90° - α) = α - 40°$，
$\because CD ⊥ AP$，
$\therefore ∠ ADE = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ AED + ∠ PAB = 90°$，
$\therefore ∠ AED = 90° - (α - 40°) = 130° - α$。
(3) 当点$E$在直线$AB$上、线段$AB$的延长线上时，$∠ AED = α - 40°$；
当点$E$在直线$AB$上、线段$BA$的延长线上时，$∠ AED = 130° - α$。
(1) $∠ PAB = 20°$
(2) 在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ ABC=40°$，
$\therefore ∠ BAC = 90° - 40° = 50°$，
$\because ∠ APC = α$，$∠ ACP=90°$，
$\therefore ∠ CAP = 90° - α$，
$\therefore ∠ PAB = ∠ BAC - ∠ CAP = 50° - (90° - α) = α - 40°$，
$\because CD ⊥ AP$，
$\therefore ∠ ADE = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ AED + ∠ PAB = 90°$，
$\therefore ∠ AED = 90° - (α - 40°) = 130° - α$。
(3) 当点$E$在直线$AB$上、线段$AB$的延长线上时，$∠ AED = α - 40°$；
当点$E$在直线$AB$上、线段$BA$的延长线上时，$∠ AED = 130° - α$。
解析
【分析】
(1) 可利用三角形外角性质求解：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，∠APC是△ABP的外角，已知∠APC和∠B的度数，作差即可得到∠PAB。
(2) 先根据Rt△ABC的内角关系求出∠BAC的度数，再在Rt△ACP中求出∠CAP的度数，作差得到∠PAB；再结合CD⊥AP得到△ADE是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，即可用含α的式子表示出∠AED。
(3) 点P在BC延长线上时，需分两种情况讨论：①CE交线段AB的延长线于点E；②CE交线段BA的延长线于点E，分别结合角度和差关系、直角三角形的性质推导∠AED的表达式即可。
【解析】
(1)
∵∠APC是△ABP的外角，
∴∠APC=∠ABC+∠PAB，已知α=60°，∠ABC=40°，
∴∠PAB=60°-40°=20°。
(2) 在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=40°，
$\therefore ∠BAC = 90° - ∠ABC = 90° - 40° = 50°$，
∵∠APC = α，∠ACP=90°，在Rt△ACP中，∠CAP + ∠APC = 90°，
$\therefore ∠CAP = 90° - α$，
$\therefore ∠PAB = ∠BAC - ∠CAP = 50° - (90° - α) = α - 40°$，
∵CD ⊥ AP，$\therefore ∠ADE = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ AED + ∠ PAB = 90°$，
$\therefore ∠ AED = 90° - (α - 40°) = 130° - α$。
(3) 当点P在BC的延长线上时，分两种情况：
①当α＞50°时，CE交AB的延长线于E，由三角形外角性质可得∠APC=∠AED+∠ABC，$\therefore ∠AED=α-40°$；
②当α＜50°时，CE交BA的延长线于E，同理可得$∠PAB=40°-α$，在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠AED=90°-(40°-α)=130°-α$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20°}$
(2) $\boldsymbol{∠AED=130° - α}$
(3) 当$\boldsymbol{α＞50°}$时，$\boldsymbol{∠AED=α - 40°}$；当$\boldsymbol{α＜50°}$时，$\boldsymbol{∠AED=130° - α}$
【知识点】
直角三角形的性质，三角形外角性质，分类讨论思想
【点评】
本题属于三角形角度计算的动点类题型，综合考查了三角形内角和、外角性质以及直角三角形的角度关系，解题时要注意结合动点的不同位置分析角度的和差变化，涉及射线、直线上的动点问题需分类讨论，避免遗漏情况。
【难度系数】
0.6
(1) 可利用三角形外角性质求解：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，∠APC是△ABP的外角，已知∠APC和∠B的度数，作差即可得到∠PAB。
(2) 先根据Rt△ABC的内角关系求出∠BAC的度数，再在Rt△ACP中求出∠CAP的度数，作差得到∠PAB；再结合CD⊥AP得到△ADE是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，即可用含α的式子表示出∠AED。
(3) 点P在BC延长线上时，需分两种情况讨论：①CE交线段AB的延长线于点E；②CE交线段BA的延长线于点E，分别结合角度和差关系、直角三角形的性质推导∠AED的表达式即可。
【解析】
(1)
∵∠APC是△ABP的外角，
∴∠APC=∠ABC+∠PAB，已知α=60°，∠ABC=40°，
∴∠PAB=60°-40°=20°。
(2) 在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=40°，
$\therefore ∠BAC = 90° - ∠ABC = 90° - 40° = 50°$，
∵∠APC = α，∠ACP=90°，在Rt△ACP中，∠CAP + ∠APC = 90°，
$\therefore ∠CAP = 90° - α$，
$\therefore ∠PAB = ∠BAC - ∠CAP = 50° - (90° - α) = α - 40°$，
∵CD ⊥ AP，$\therefore ∠ADE = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ AED + ∠ PAB = 90°$，
$\therefore ∠ AED = 90° - (α - 40°) = 130° - α$。
(3) 当点P在BC的延长线上时，分两种情况：
①当α＞50°时，CE交AB的延长线于E，由三角形外角性质可得∠APC=∠AED+∠ABC，$\therefore ∠AED=α-40°$；
②当α＜50°时，CE交BA的延长线于E，同理可得$∠PAB=40°-α$，在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠AED=90°-(40°-α)=130°-α$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20°}$
(2) $\boldsymbol{∠AED=130° - α}$
(3) 当$\boldsymbol{α＞50°}$时，$\boldsymbol{∠AED=α - 40°}$；当$\boldsymbol{α＜50°}$时，$\boldsymbol{∠AED=130° - α}$
【知识点】
直角三角形的性质，三角形外角性质，分类讨论思想
【点评】
本题属于三角形角度计算的动点类题型，综合考查了三角形内角和、外角性质以及直角三角形的角度关系，解题时要注意结合动点的不同位置分析角度的和差变化，涉及射线、直线上的动点问题需分类讨论，避免遗漏情况。
【难度系数】
0.6
