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1.一元二次方程$3x^2 - x + 1 = 0$的根的判别式的值是
-11
。答案
1. -11.
解析
【分析】
要计算一元二次方程根的判别式的值，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应的根的判别式公式为$\Delta = b^2 - 4ac$。解题时第一步先从给定方程中准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，第二步将三个系数代入判别式公式，注意系数的符号，最后按运算规则计算出结果即可。
【解析】
首先确定一元二次方程$3x^2 - x + 1 = 0$的各项系数：
二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=1$。
根据根的判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，代入系数得：
$\Delta = (-1)^2 - 4×3×1 = 1 - 12 = -11$
【答案】
-11
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，核心考查对判别式公式的掌握，易错点是容易忽略一次项系数的负号，导致计算错误，熟练掌握公式和准确识别系数是得分关键。
【难度系数】
0.8
要计算一元二次方程根的判别式的值，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应的根的判别式公式为$\Delta = b^2 - 4ac$。解题时第一步先从给定方程中准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，第二步将三个系数代入判别式公式，注意系数的符号，最后按运算规则计算出结果即可。
【解析】
首先确定一元二次方程$3x^2 - x + 1 = 0$的各项系数：
二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=1$。
根据根的判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，代入系数得：
$\Delta = (-1)^2 - 4×3×1 = 1 - 12 = -11$
【答案】
-11
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，核心考查对判别式公式的掌握，易错点是容易忽略一次项系数的负号，导致计算错误，熟练掌握公式和准确识别系数是得分关键。
【难度系数】
0.8
2.若关于$x$的方程$kx^2 - 2x + 1 = 0$没有实数根，则$k$的取值范围是
$k＞1$
.答案
2. $k＞1$.
解析
【分析】
解题时先明确方程的类型：①若k=0，方程为一元一次方程，一元一次方程一定有实数根，不符合“没有实数根”的要求，因此排除k=0的情况；②若k≠0，方程为一元二次方程，根据根的判别式的性质，当Δ＜0时，一元二次方程没有实数根。我们只需代入系数写出判别式的表达式，列不等式求解，最后综合两种情况即可得到k的取值范围。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$k=0$时，原方程化简为$-2x+1=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，有实数根，不符合题意，舍去；
2. 当$k≠0$时，方程$kx^2 - 2x + 1 = 0$是一元二次方程，
因为方程没有实数根，所以判别式$\Delta ＜ 0$，
其中$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4× k× 1 = 4 - 4k$，
列不等式：$4 - 4k ＜ 0$，
解得：$k ＞ 1$，
综上，$k$的取值范围是$k＞1$。
【答案】
$k＞1$
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用题型，解题时需注意先判断方程的类型，牢记一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，避免因遗漏分类讨论出现错误。
【难度系数】
0.7
解题时先明确方程的类型：①若k=0，方程为一元一次方程，一元一次方程一定有实数根，不符合“没有实数根”的要求，因此排除k=0的情况；②若k≠0，方程为一元二次方程，根据根的判别式的性质，当Δ＜0时，一元二次方程没有实数根。我们只需代入系数写出判别式的表达式，列不等式求解，最后综合两种情况即可得到k的取值范围。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$k=0$时，原方程化简为$-2x+1=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，有实数根，不符合题意，舍去；
2. 当$k≠0$时，方程$kx^2 - 2x + 1 = 0$是一元二次方程，
因为方程没有实数根，所以判别式$\Delta ＜ 0$，
其中$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4× k× 1 = 4 - 4k$，
列不等式：$4 - 4k ＜ 0$，
解得：$k ＞ 1$，
综上，$k$的取值范围是$k＞1$。
【答案】
$k＞1$
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用题型，解题时需注意先判断方程的类型，牢记一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，避免因遗漏分类讨论出现错误。
【难度系数】
0.7
3.若方程$x^2 + 6x + 1 - 2m = 0$没有实数根，则m的取值范围是
$m＜-4$
.答案
3. $m＜-4$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要回忆一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：当一元二次方程没有实数根时，判别式Δ＜0。首先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，代入判别式列出关于m的不等式，再解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 6x + 1 - 2m = 0$，其中$a=1$，$b=6$，$c=1-2m$。
∵ 方程没有实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$，
代入系数得：$6^2 - 4×1×(1-2m) ＜ 0$，
计算化简：
$36 - 4(1-2m) ＜ 0$
$36 - 4 + 8m ＜ 0$
$32 + 8m ＜ 0$
$8m ＜ -32$
解得：$m ＜ -4$。
【答案】
$m＜-4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题关键是熟记判别式与方程根的对应关系，计算过程中要注意去括号时的符号变化，避免因计算失误出错。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要回忆一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：当一元二次方程没有实数根时，判别式Δ＜0。首先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，代入判别式列出关于m的不等式，再解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 6x + 1 - 2m = 0$，其中$a=1$，$b=6$，$c=1-2m$。
∵ 方程没有实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$，
代入系数得：$6^2 - 4×1×(1-2m) ＜ 0$，
计算化简：
$36 - 4(1-2m) ＜ 0$
$36 - 4 + 8m ＜ 0$
$32 + 8m ＜ 0$
$8m ＜ -32$
解得：$m ＜ -4$。
【答案】
$m＜-4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题关键是熟记判别式与方程根的对应关系，计算过程中要注意去括号时的符号变化，避免因计算失误出错。
【难度系数】
0.8
4.若关于$x$的方程$x^2 - 4mx - m = 0$有两个相等的实数根，则$m$的值为
0或$-\frac{1}{4}$
。答案
4. 0或$-\frac{1}{4}$.
解析
【分析】
已知一元二次方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，此时判别式Δ=b²-4ac=0。我们首先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值，代入Δ=0得到关于m的一元二次方程，求解该方程即可得到m的取值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 4mx - m = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4m$，常数项$c=-m$。
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
代入系数得：
$(-4m)^2 - 4×1×(-m) = 0$
化简计算：
$16m^2 + 4m = 0$
提取公因式$4m$得：
$4m(4m + 1) = 0$
则$4m=0$或$4m+1=0$
解得$m=0$或$m=-\frac{1}{4}$
【答案】
0或$-\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题核心是牢记一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，代入系数时注意符号不要出错，整体计算难度较低。
【难度系数】
0.8
已知一元二次方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，此时判别式Δ=b²-4ac=0。我们首先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值，代入Δ=0得到关于m的一元二次方程，求解该方程即可得到m的取值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 4mx - m = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4m$，常数项$c=-m$。
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
代入系数得：
$(-4m)^2 - 4×1×(-m) = 0$
化简计算：
$16m^2 + 4m = 0$
提取公因式$4m$得：
$4m(4m + 1) = 0$
则$4m=0$或$4m+1=0$
解得$m=0$或$m=-\frac{1}{4}$
【答案】
0或$-\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题核心是牢记一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，代入系数时注意符号不要出错，整体计算难度较低。
【难度系数】
0.8
5.若关于$x$的方程$(a-1)x^2 + 2ax - 3 + a = 0$有实数根，则$a$的取值范围是
$a≥ \frac{3}{4}$
.答案
5. $a≥ \frac{3}{4}$.
解析
【分析】
本题未明确说明方程是一元二次方程，因此需要分两种情况讨论求解：①当二次项系数为0时，方程为一元一次方程，直接判断是否存在实数根；②当二次项系数不为0时，方程为一元二次方程，根据“有实数根则判别式Δ≥0”列不等式求解，最后合并两种情况的结果即可得到a的取值范围。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$a-1=0$，即$a=1$时：
原方程化为一元一次方程$2x - 3 + 1 = 0$，即$2x-2=0$，解得$x=1$，有实数根，符合题意。
2. 当$a-1≠0$，即$a≠1$时：
原方程是一元二次方程，若方程有实数根，则判别式$\Delta ≥ 0$。
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=(2a)^2 - 4×(a-1)×(-3+a)\\&=4a^2 - 4(a^2 - 4a + 3)\\&=4a^2 - 4a^2 + 16a - 12\\&=16a - 12\end{aligned}$
令$\Delta ≥ 0$，即$16a - 12 ≥ 0$，解得$a ≥ \frac{3}{4}$。
结合$a≠1$的前提，此情况下$a$的取值范围是$a ≥ \frac{3}{4}$且$a≠1$。
将两种情况的结果合并，可得$a$的取值范围是$a ≥ \frac{3}{4}$。
【答案】
$a≥ \frac{3}{4}$
【知识点】
一元一次方程的定义，一元二次方程根的判别式，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是默认方程为一元二次方程，忽略二次项系数为0的情况，导致求出的范围漏掉$a=1$的情况。解决含参数的方程有实根类问题时，一定要先判断方程类型，分情况讨论后再合并结果。
【难度系数】
0.7
本题未明确说明方程是一元二次方程，因此需要分两种情况讨论求解：①当二次项系数为0时，方程为一元一次方程，直接判断是否存在实数根；②当二次项系数不为0时，方程为一元二次方程，根据“有实数根则判别式Δ≥0”列不等式求解，最后合并两种情况的结果即可得到a的取值范围。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$a-1=0$，即$a=1$时：
原方程化为一元一次方程$2x - 3 + 1 = 0$，即$2x-2=0$，解得$x=1$，有实数根，符合题意。
2. 当$a-1≠0$，即$a≠1$时：
原方程是一元二次方程，若方程有实数根，则判别式$\Delta ≥ 0$。
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=(2a)^2 - 4×(a-1)×(-3+a)\\&=4a^2 - 4(a^2 - 4a + 3)\\&=4a^2 - 4a^2 + 16a - 12\\&=16a - 12\end{aligned}$
令$\Delta ≥ 0$，即$16a - 12 ≥ 0$，解得$a ≥ \frac{3}{4}$。
结合$a≠1$的前提，此情况下$a$的取值范围是$a ≥ \frac{3}{4}$且$a≠1$。
将两种情况的结果合并，可得$a$的取值范围是$a ≥ \frac{3}{4}$。
【答案】
$a≥ \frac{3}{4}$
【知识点】
一元一次方程的定义，一元二次方程根的判别式，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是默认方程为一元二次方程，忽略二次项系数为0的情况，导致求出的范围漏掉$a=1$的情况。解决含参数的方程有实根类问题时，一定要先判断方程类型，分情况讨论后再合并结果。
【难度系数】
0.7
6.若关于x的一元二次方程$x^2 - 2x + m - 3 = 0$有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是
3
。答案
6. 3.
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确已知条件：题目给出的是一元二次方程，且存在两个不相等的实数根。首先回忆一元二次方程根的判别式的性质：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta = b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。接下来先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式得到关于$m$的不等式，解不等式得到$m$的取值范围，最后在取值范围内找到最大的整数即可。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x + m - 3 = 0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta ＞ 0$，
在该方程中$a=1$，$b=-2$，$c=m-3$，
代入判别式公式得：$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(m-3) ＞ 0$，
计算整理：
$4 - 4(m-3) ＞ 0$
$4 - 4m + 12 ＞ 0$
$16 - 4m ＞ 0$
$4m ＜ 16$
解得$m ＜ 4$，
因此$m$的最大整数值是3。
【答案】
3
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元一次不等式解法
3. 整数解确定
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题核心是根据方程根的情况建立参数的不等关系，求解后结合整数要求得到结果，是一元二次方程参数求解类问题的常见考法。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确已知条件：题目给出的是一元二次方程，且存在两个不相等的实数根。首先回忆一元二次方程根的判别式的性质：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta = b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。接下来先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式得到关于$m$的不等式，解不等式得到$m$的取值范围，最后在取值范围内找到最大的整数即可。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x + m - 3 = 0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta ＞ 0$，
在该方程中$a=1$，$b=-2$，$c=m-3$，
代入判别式公式得：$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(m-3) ＞ 0$，
计算整理：
$4 - 4(m-3) ＞ 0$
$4 - 4m + 12 ＞ 0$
$16 - 4m ＞ 0$
$4m ＜ 16$
解得$m ＜ 4$，
因此$m$的最大整数值是3。
【答案】
3
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元一次不等式解法
3. 整数解确定
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题核心是根据方程根的情况建立参数的不等关系，求解后结合整数要求得到结果，是一元二次方程参数求解类问题的常见考法。
【难度系数】
0.8
7.若一元二次方程$(1 - 2k)x^2 + 8x = 6$无实数根，则$k$的最小整数值是
2
。答案
7. 2.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要结合一元二次方程的定义和根的判别式来分析：① 题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程变为一次方程，不符合题意；② 方程无实数根，说明根的判别式Δ＜0。首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别列出关于k的不等式，求解得到k的取值范围，最后在范围内找出最小整数即可。
【解析】
第一步：将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
移项得：$(1 - 2k)x^2 + 8x - 6 = 0$
第二步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0：
$1 - 2k ≠ 0$，解得 $k ≠ \frac{1}{2}$
第三步：根据方程无实数根，可得判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$，其中$a=1-2k$，$b=8$，$c=-6$，代入得：
$\Delta = 8^2 - 4 × (1 - 2k) × (-6) ＜ 0$
计算化简：
$64 + 24(1 - 2k) ＜ 0$
$64 + 24 - 48k ＜ 0$
$88 ＜ 48k$
解得：$k ＞ \frac{11}{6} \approx 1.83$
第四步：结合k的取值范围$k ＞ \frac{11}{6}$，满足条件的最小整数为2。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用；一元一次不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题时需注意先确认二次项系数不为0的隐含条件，再结合判别式列不等式求解，最后要注意题干要求的是最小整数值，避免计算符号错误。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要结合一元二次方程的定义和根的判别式来分析：① 题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程变为一次方程，不符合题意；② 方程无实数根，说明根的判别式Δ＜0。首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别列出关于k的不等式，求解得到k的取值范围，最后在范围内找出最小整数即可。
【解析】
第一步：将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
移项得：$(1 - 2k)x^2 + 8x - 6 = 0$
第二步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0：
$1 - 2k ≠ 0$，解得 $k ≠ \frac{1}{2}$
第三步：根据方程无实数根，可得判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$，其中$a=1-2k$，$b=8$，$c=-6$，代入得：
$\Delta = 8^2 - 4 × (1 - 2k) × (-6) ＜ 0$
计算化简：
$64 + 24(1 - 2k) ＜ 0$
$64 + 24 - 48k ＜ 0$
$88 ＜ 48k$
解得：$k ＞ \frac{11}{6} \approx 1.83$
第四步：结合k的取值范围$k ＞ \frac{11}{6}$，满足条件的最小整数为2。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用；一元一次不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题时需注意先确认二次项系数不为0的隐含条件，再结合判别式列不等式求解，最后要注意题干要求的是最小整数值，避免计算符号错误。
【难度系数】
0.7
8.若$|b - 1| + \sqrt{a - 4} = 0$，且一元二次方程$kx^2 + ax + b = 0$有两个实数根，则k的取值范围是
$k≤ 4$且$k≠ 0$
.答案
8. $k≤ 4$且$k≠ 0$.
解析
【分析】
解题第一步要利用非负数的性质求出a、b的值：绝对值和算术平方根都是非负数，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，据此可算出a、b的具体值。第二步结合一元二次方程的定义和根的判别式求k的取值范围：一是一元二次方程的二次项系数不能为0，即k≠0；二是方程有两个实数根说明判别式Δ≥0，代入数值解不等式后，综合两个条件就能得到k的取值范围。
【解析】
解：
∵ $|b-1|≥0$，$\sqrt{a-4}≥0$，且$|b - 1| + \sqrt{a - 4} = 0$，
∴ 两个非负数均为0，即：
$\begin{cases} b-1=0 \\ a-4=0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=4 \\ b=1 \end{cases}$
∴ 一元二次方程为$kx^2 + 4x + 1 = 0$，
∵ 该方程是一元二次方程，
∴ 二次项系数$k≠0$，
又
∵ 方程有两个实数根，
∴ 判别式$\Delta = 4^2 - 4× k × 1 ≥ 0$，
即$16 - 4k ≥ 0$，
解得$k ≤ 4$，
综上，k的取值范围是$k≤4$且$k≠0$。
【答案】
$k≤ 4$且$k≠ 0$
【知识点】
非负数的性质；一元二次方程的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题属于基础综合题，解题时需注意两个隐含限制条件，很容易遗漏一元二次方程二次项系数不为0的要求，导致答案不完整，解题时要养成读完所有条件再作答的习惯。
【难度系数】
0.7
解题第一步要利用非负数的性质求出a、b的值：绝对值和算术平方根都是非负数，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，据此可算出a、b的具体值。第二步结合一元二次方程的定义和根的判别式求k的取值范围：一是一元二次方程的二次项系数不能为0，即k≠0；二是方程有两个实数根说明判别式Δ≥0，代入数值解不等式后，综合两个条件就能得到k的取值范围。
【解析】
解：
∵ $|b-1|≥0$，$\sqrt{a-4}≥0$，且$|b - 1| + \sqrt{a - 4} = 0$，
∴ 两个非负数均为0，即：
$\begin{cases} b-1=0 \\ a-4=0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=4 \\ b=1 \end{cases}$
∴ 一元二次方程为$kx^2 + 4x + 1 = 0$，
∵ 该方程是一元二次方程，
∴ 二次项系数$k≠0$，
又
∵ 方程有两个实数根，
∴ 判别式$\Delta = 4^2 - 4× k × 1 ≥ 0$，
即$16 - 4k ≥ 0$，
解得$k ≤ 4$，
综上，k的取值范围是$k≤4$且$k≠0$。
【答案】
$k≤ 4$且$k≠ 0$
【知识点】
非负数的性质；一元二次方程的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题属于基础综合题，解题时需注意两个隐含限制条件，很容易遗漏一元二次方程二次项系数不为0的要求，导致答案不完整，解题时要养成读完所有条件再作答的习惯。
【难度系数】
0.7
9.若一元二次方程$x^2 - 4x - m = 0$与一元二次方程$2x^2 - mx - 1 = 0$的根的判别式的值相等，则$m$的值是
$2+2\sqrt{3},2-2\sqrt{3}$
。答案
9. $2+2\sqrt{3},2-2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的判别式公式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta=b^2-4ac$。解题思路分为三步：第一步分别确定两个一元二次方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；第二步分别计算两个方程的判别式；第三步根据“两个判别式的值相等”列方程，求解得到$m$的值即可，本题中两个方程的二次项系数分别为1和2，均不为0，因此求出的$m$值都符合要求。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 4x - m = 0$：
$a_1=1$，$b_1=-4$，$c_1=-m$，
其判别式$\Delta_1=b_1^2-4a_1c_1=(-4)^2 - 4×1×(-m)=16+4m$。
对于一元二次方程$2x^2 - mx - 1 = 0$：
$a_2=2$，$b_2=-m$，$c_2=-1$，
其判别式$\Delta_2=b_2^2-4a_2c_2=(-m)^2 - 4×2×(-1)=m^2+8$。
根据题意得$\Delta_1=\Delta_2$，即：
$16+4m=m^2+8$
整理得：$m^2-4m-8=0$
用求根公式解得：
$m=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4×1×(-8)}}{2×1}=\frac{4\pm\sqrt{48}}{2}=2\pm2\sqrt{3}$
【答案】
$2+2\sqrt{3},2-2\sqrt{3}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元二次方程
【点评】
本题属于基础应用题，核心是考查根的判别式的运用，解题时要注意准确识别方程各项系数，计算判别式时注意符号问题，最后解方程时计算要仔细，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的判别式公式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta=b^2-4ac$。解题思路分为三步：第一步分别确定两个一元二次方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；第二步分别计算两个方程的判别式；第三步根据“两个判别式的值相等”列方程，求解得到$m$的值即可，本题中两个方程的二次项系数分别为1和2，均不为0，因此求出的$m$值都符合要求。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 4x - m = 0$：
$a_1=1$，$b_1=-4$，$c_1=-m$，
其判别式$\Delta_1=b_1^2-4a_1c_1=(-4)^2 - 4×1×(-m)=16+4m$。
对于一元二次方程$2x^2 - mx - 1 = 0$：
$a_2=2$，$b_2=-m$，$c_2=-1$，
其判别式$\Delta_2=b_2^2-4a_2c_2=(-m)^2 - 4×2×(-1)=m^2+8$。
根据题意得$\Delta_1=\Delta_2$，即：
$16+4m=m^2+8$
整理得：$m^2-4m-8=0$
用求根公式解得：
$m=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4×1×(-8)}}{2×1}=\frac{4\pm\sqrt{48}}{2}=2\pm2\sqrt{3}$
【答案】
$2+2\sqrt{3},2-2\sqrt{3}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元二次方程
【点评】
本题属于基础应用题，核心是考查根的判别式的运用，解题时要注意准确识别方程各项系数，计算判别式时注意符号问题，最后解方程时计算要仔细，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
10.若关于x的一元二次方程$x^2 + 2kx -1 = 0$有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 …………………………【 】
A.$k ＞ -1$
B.$-1 ＜ k ＜ 1$
C.$k ≠ 0$
D.k为任意实数
A.$k ＞ -1$
B.$-1 ＜ k ＜ 1$
C.$k ≠ 0$
D.k为任意实数
答案
10. D.
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的判别式的相关知识：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。解题步骤如下：第一步先确定题目中方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，验证a是否为0（本题中a=1，恒不为0，无需额外限制k的取值）；第二步代入判别式公式计算$\Delta$，结合平方的非负性判断$\Delta$的取值范围，即可得出k的取值范围。
【解析】
已知方程$x^2 + 2kx -1 = 0$是一元二次方程，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2k$，常数项$c=-1$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，代入系数得：
$\Delta=(2k)^2 - 4×1×(-1)=4k^2+4$
由于对任意实数k，都有$k^2≥0$，因此$4k^2+4≥4＞0$，即无论k取任意实数，$\Delta$恒大于0，方程始终有两个不相等的实数根。
因此k的取值范围是全体实数，故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式，平方的非负性
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题核心是熟练掌握判别式与根的个数的对应关系，计算判别式后结合非负性判断即可，易错点是部分同学会无理由额外限制k的取值，按步骤计算判别式就能避免错误。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的判别式的相关知识：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。解题步骤如下：第一步先确定题目中方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，验证a是否为0（本题中a=1，恒不为0，无需额外限制k的取值）；第二步代入判别式公式计算$\Delta$，结合平方的非负性判断$\Delta$的取值范围，即可得出k的取值范围。
【解析】
已知方程$x^2 + 2kx -1 = 0$是一元二次方程，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2k$，常数项$c=-1$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，代入系数得：
$\Delta=(2k)^2 - 4×1×(-1)=4k^2+4$
由于对任意实数k，都有$k^2≥0$，因此$4k^2+4≥4＞0$，即无论k取任意实数，$\Delta$恒大于0，方程始终有两个不相等的实数根。
因此k的取值范围是全体实数，故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式，平方的非负性
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题核心是熟练掌握判别式与根的个数的对应关系，计算判别式后结合非负性判断即可，易错点是部分同学会无理由额外限制k的取值，按步骤计算判别式就能避免错误。
【难度系数】
0.85
11. 下列方程中，没有实数根的是【 】
A.$x^2 + 2x - 1 = 0$
B.$x^2 + 2\sqrt{2}x + 2 = 0$
C.$x^2 + \sqrt{2}x + 1 = 0$
D.$-x^2 + x + 2 = 0$
A.$x^2 + 2x - 1 = 0$
B.$x^2 + 2\sqrt{2}x + 2 = 0$
C.$x^2 + \sqrt{2}x + 1 = 0$
D.$-x^2 + x + 2 = 0$
答案
11. C.
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否有实数根，核心方法是利用根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$的取值判断：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。解题时先确定每个选项中方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再分别计算$\Delta$的值，找到$\Delta＜0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$，逐个分析选项：
选项A：$a=1$，$b=2$，$c=-1$，$\Delta=2^2 - 4×1×(-1)=4+4=8＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
选项B：$a=1$，$b=2\sqrt{2}$，$c=2$，$\Delta=(2\sqrt{2})^2 - 4×1×2=8-8=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
选项C：$a=1$，$b=\sqrt{2}$，$c=1$，$\Delta=(\sqrt{2})^2 - 4×1×1=2-4=-2＜0$，方程没有实数根，符合要求；
选项D：$a=-1$，$b=1$，$c=2$，$\Delta=1^2 - 4×(-1)×2=1+8=9＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；判别式与根的对应关系
【点评】
本题属于基础题型，重点考查根的判别式的应用，解题时需准确提取方程各项系数，注意系数的正负号，牢记判别式不同取值对应的根的情况即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程是否有实数根，核心方法是利用根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$的取值判断：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。解题时先确定每个选项中方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再分别计算$\Delta$的值，找到$\Delta＜0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$，逐个分析选项：
选项A：$a=1$，$b=2$，$c=-1$，$\Delta=2^2 - 4×1×(-1)=4+4=8＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
选项B：$a=1$，$b=2\sqrt{2}$，$c=2$，$\Delta=(2\sqrt{2})^2 - 4×1×2=8-8=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
选项C：$a=1$，$b=\sqrt{2}$，$c=1$，$\Delta=(\sqrt{2})^2 - 4×1×1=2-4=-2＜0$，方程没有实数根，符合要求；
选项D：$a=-1$，$b=1$，$c=2$，$\Delta=1^2 - 4×(-1)×2=1+8=9＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；判别式与根的对应关系
【点评】
本题属于基础题型，重点考查根的判别式的应用，解题时需准确提取方程各项系数，注意系数的正负号，牢记判别式不同取值对应的根的情况即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
12.一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$中，$c ＜ 0$，该方程根的情况是………………【 】
A.没有实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.方程根的情况不能确定
A.没有实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.方程根的情况不能确定
答案
12. B.
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需结合根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号分析，解题思路如下：①先确定给定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值特征；②代入判别式公式写出$\Delta$的表达式；③结合已知条件$c＜0$和平方数的非负性判断$\Delta$的符号；④根据$\Delta$的符号对应根的三种情况得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$，二次项系数$a=1$，
根据根的判别式公式可得：
$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4×1× c = b^2 - 4c$
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$b^2 ≥ 0$，
又已知$c ＜ 0$，
∴ $-4c ＞ 0$，
因此$\Delta = b^2 + (-4c) ＞ 0$，
根据根的判别式与根的对应关系：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 非负数的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解题的关键是熟练掌握判别式的符号与根的情况的对应关系，结合已知条件推导判别式的符号即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况，需结合根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号分析，解题思路如下：①先确定给定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值特征；②代入判别式公式写出$\Delta$的表达式；③结合已知条件$c＜0$和平方数的非负性判断$\Delta$的符号；④根据$\Delta$的符号对应根的三种情况得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$，二次项系数$a=1$，
根据根的判别式公式可得：
$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4×1× c = b^2 - 4c$
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$b^2 ≥ 0$，
又已知$c ＜ 0$，
∴ $-4c ＞ 0$，
因此$\Delta = b^2 + (-4c) ＞ 0$，
根据根的判别式与根的对应关系：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 非负数的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解题的关键是熟练掌握判别式的符号与根的情况的对应关系，结合已知条件推导判别式的符号即可快速求解。
【难度系数】
0.8
13.若$m ＞ -1$,关于$x$的方程$(m - 3)x^2 - 2(m + 3)x + m = 0$的实数根有…【 】
A.2个
B.1个
C.0个
D.2个或1个
A.2个
B.1个
C.0个
D.2个或1个
答案
13. D.
解析
【分析】
要判断含参数的方程的实数根个数，首先需明确方程类型：当二次项系数为0时，方程是一元一次方程，只有1个实根；当二次项系数不为0时，方程是一元二次方程，可通过根的判别式Δ判断实根个数，再结合已知条件m＞-1综合分析即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$m-3=0$，即$m=3$时：
$m=3$满足$m＞-1$，此时原方程化为一元一次方程：
$-2×(3+3)x + 3 = 0$，即$-12x+3=0$，解得$x=\frac{1}{4}$，只有1个实数根。
2. 当$m-3≠0$，即$m≠3$时：
原方程为一元二次方程，其中$a=m-3$，$b=-2(m+3)$，$c=m$，
根的判别式$\Delta = b^2-4ac = [-2(m+3)]^2 - 4×(m-3)× m$
展开计算得：
$\Delta=4(m^2+6m+9)-4m(m-3)=4m^2+24m+36-4m^2+12m=36m+36=36(m+1)$
已知$m＞-1$，则$m+1＞0$，因此$\Delta=36(m+1)＞0$，此时一元二次方程有2个不相等的实数根。
综上，方程的实数根个数为2个或1个。
【答案】
D
【知识点】
1. 根的判别式应用
2. 分类讨论思想
3. 一次方程的解
【点评】
本题易错点是忽略二次项系数为0的情况，直接将方程当成一元二次方程计算判别式误选A。解题时需先根据最高次项系数是否为0分类讨论方程类型，再结合已知条件判断根的个数。
【难度系数】
0.7
要判断含参数的方程的实数根个数，首先需明确方程类型：当二次项系数为0时，方程是一元一次方程，只有1个实根；当二次项系数不为0时，方程是一元二次方程，可通过根的判别式Δ判断实根个数，再结合已知条件m＞-1综合分析即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$m-3=0$，即$m=3$时：
$m=3$满足$m＞-1$，此时原方程化为一元一次方程：
$-2×(3+3)x + 3 = 0$，即$-12x+3=0$，解得$x=\frac{1}{4}$，只有1个实数根。
2. 当$m-3≠0$，即$m≠3$时：
原方程为一元二次方程，其中$a=m-3$，$b=-2(m+3)$，$c=m$，
根的判别式$\Delta = b^2-4ac = [-2(m+3)]^2 - 4×(m-3)× m$
展开计算得：
$\Delta=4(m^2+6m+9)-4m(m-3)=4m^2+24m+36-4m^2+12m=36m+36=36(m+1)$
已知$m＞-1$，则$m+1＞0$，因此$\Delta=36(m+1)＞0$，此时一元二次方程有2个不相等的实数根。
综上，方程的实数根个数为2个或1个。
【答案】
D
【知识点】
1. 根的判别式应用
2. 分类讨论思想
3. 一次方程的解
【点评】
本题易错点是忽略二次项系数为0的情况，直接将方程当成一元二次方程计算判别式误选A。解题时需先根据最高次项系数是否为0分类讨论方程类型，再结合已知条件判断根的个数。
【难度系数】
0.7
14.已知关于$x$的方程$x^2 + 4x + m = 0$.
（1）方程有实数根，求$m$的取值范围.
（2）若方程的一个根是－1，求$m$的值及另一个根.
（1）方程有实数根，求$m$的取值范围.
（2）若方程的一个根是－1，求$m$的值及另一个根.
答案
14. (1)$m≤ 4$. (2)$m = 3$；$x = -3$.
解析
【分析】
（1）对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，方程有实数根的判定依据是判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，我们只需确定本题方程对应的$a、b、c$取值，代入判别式列不等式求解，即可得到$m$的取值范围。
（2）已知方程的一个根，有两种常规解题思路：一是将已知根直接代入原方程，先求出$m$的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），通过两根和、两根积的公式直接计算$m$和另一个根，两种方法均符合学段要求，计算简便。
【解析】
（1）方程$x^2 + 4x + m = 0$为一元二次方程，其中$a=1$，$b=4$，$c=m$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4×1× m = 16 - 4m$，
∵方程有实数根，
∴$\Delta ≥ 0$，即$16 - 4m ≥ 0$，
解不等式得：$m ≤ 4$。
（2）设方程的另一个根为$x_2$，根据根与系数的关系：
两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -4$，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m$，
将已知根$x_1=-1$代入两根和公式：$-1 + x_2 = -4$，解得$x_2=-3$，
代入两根积公式：$m = (-1)×(-3) = 3$。
【答案】
（1）$m≤ 4$；（2）$m=3$，另一个根为$x=-3$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根与系数的关系
3. 一元二次方程的解的定义
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题型，核心考察根的判别式与根的情况的对应关系、韦达定理的应用，其中用韦达定理解第二问可简化计算步骤，建议熟练掌握该方法。
【难度系数】
0.8
（1）对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，方程有实数根的判定依据是判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，我们只需确定本题方程对应的$a、b、c$取值，代入判别式列不等式求解，即可得到$m$的取值范围。
（2）已知方程的一个根，有两种常规解题思路：一是将已知根直接代入原方程，先求出$m$的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），通过两根和、两根积的公式直接计算$m$和另一个根，两种方法均符合学段要求，计算简便。
【解析】
（1）方程$x^2 + 4x + m = 0$为一元二次方程，其中$a=1$，$b=4$，$c=m$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4×1× m = 16 - 4m$，
∵方程有实数根，
∴$\Delta ≥ 0$，即$16 - 4m ≥ 0$，
解不等式得：$m ≤ 4$。
（2）设方程的另一个根为$x_2$，根据根与系数的关系：
两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -4$，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m$，
将已知根$x_1=-1$代入两根和公式：$-1 + x_2 = -4$，解得$x_2=-3$，
代入两根积公式：$m = (-1)×(-3) = 3$。
【答案】
（1）$m≤ 4$；（2）$m=3$，另一个根为$x=-3$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根与系数的关系
3. 一元二次方程的解的定义
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题型，核心考察根的判别式与根的情况的对应关系、韦达定理的应用，其中用韦达定理解第二问可简化计算步骤，建议熟练掌握该方法。
【难度系数】
0.8
