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三、解答题
1. 如图2，某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42 m.栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位:m)，与墙平行的一边长为y(单位:m)，面积为S(单位:m²).
(1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围.
(2)矩形实验田的面积S能达到750 m²吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由.
(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
1. 如图2，某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42 m.栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位:m)，与墙平行的一边长为y(单位:m)，面积为S(单位:m²).
(1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围.
(2)矩形实验田的面积S能达到750 m²吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由.
(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
答案
1. (1)
∵2x+y=80,
∴y=-2x+80.
∵S=xy,
∴S=x(-2x+80)=-2x²+80x.
∵y≤42,
∴-2x+80≤42,
∴x≥19,而y＞0,即-2x+80＞0,得x＜40,
∴19≤x＜40.
(2) 当S=750时,-2x²+80x=750,x²-40x+375=0,(x-25)(x-15)=0,
∴x=25或x=15(舍去),
∴当x=25 m时,矩形实验田的面积S能达到750 m².
(3)
∵S=-2x²+80x=-2(x²-40x)=-2(x²-40x+400-400)=-2(x-20)²+800,
∴当x=20 m时,S有最大值800 m².
∵2x+y=80,
∴y=-2x+80.
∵S=xy,
∴S=x(-2x+80)=-2x²+80x.
∵y≤42,
∴-2x+80≤42,
∴x≥19,而y＞0,即-2x+80＞0,得x＜40,
∴19≤x＜40.
(2) 当S=750时,-2x²+80x=750,x²-40x+375=0,(x-25)(x-15)=0,
∴x=25或x=15(舍去),
∴当x=25 m时,矩形实验田的面积S能达到750 m².
(3)
∵S=-2x²+80x=-2(x²-40x)=-2(x²-40x+400-400)=-2(x-20)²+800,
∴当x=20 m时,S有最大值800 m².
解析
【分析】
(1) 首先根据栅栏总长度找等量关系：2倍垂直墙的边长+平行墙的边长=80，据此可推出y与x的函数关系；再根据矩形面积=长×宽，代入y的表达式即可得到S与x的函数关系。求x的取值范围时，要结合两个实际限制：一是平行墙的边长y不能超过墙长42m，二是边长必须为正数即y＞0，联立两个不等式求解即可得到x的范围。
(2) 要判断面积能否达到750m²，只需将S=750代入S与x的函数解析式，解所得的一元二次方程，再检验方程的解是否在x的取值范围内，若有符合的解则能达到，反之不能。
(3) 对于得到的二次函数解析式，因为二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处取得最大值，先将解析式配方为顶点式，再判断顶点的横坐标是否在x的取值范围内，若在则顶点纵坐标就是最大面积，对应横坐标就是所求的x值。
【解析】
(1) 由栅栏总长为80m，可得$2x + y = 80$，整理得$y = -2x + 80$。
矩形面积$S = xy$，将y代入得$S = x(-2x + 80) = -2x^2 + 80x$。
根据实际限制：① 墙长为42m，故$y ≤ 42$，即$-2x + 80 ≤ 42$，解得$x ≥ 19$；② 边长为正，故$y ＞ 0$，即$-2x + 80 ＞ 0$，解得$x ＜ 40$。
综上，x的取值范围是$19 ≤ x ＜ 40$。
(2) 能。理由如下：
当$S = 750$时，代入S的解析式得$-2x^2 + 80x = 750$，
整理为标准一元二次方程：$x^2 - 40x + 375 = 0$，
因式分解得$(x - 25)(x - 15) = 0$，
解得$x_1 = 25$，$x_2 = 15$。
结合x的取值范围$19 ≤ x ＜ 40$，可知$x = 15$不符合要求，舍去，故$x = 25$。
即当x=25m时，面积能达到750m²。
(3) 将S的解析式配方：
$S = -2x^2 + 80x = -2(x^2 - 40x) = -2(x^2 - 40x + 400 - 400) = -2(x - 20)^2 + 800$，
∵$-2 ＜ 0$，
∴抛物线开口向下，当$x = 20$时，S取得最大值，
又
∵$x = 20$在取值范围$19 ≤ x ＜ 40$内，
∴最大值为$800m^2$。
【答案】
(1) $y = -2x + 80（19 ≤ x ＜ 40）$；$S = -2x^2 + 80x（19 ≤ x ＜ 40）$
(2) 能，x的值为25m
(3) 当x=20m时，矩形实验田的面积S最大，最大面积是800m²
【知识点】
二次函数的实际应用；一元二次方程的解法；二次函数的最值
【点评】
本题以实际生活场景为载体，考查了函数在几何面积问题中的应用，解题时需格外注意实际问题中自变量的取值范围，避免出现不符合实际的解，同时要熟练掌握二次函数配方求最值的方法。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据栅栏总长度找等量关系：2倍垂直墙的边长+平行墙的边长=80，据此可推出y与x的函数关系；再根据矩形面积=长×宽，代入y的表达式即可得到S与x的函数关系。求x的取值范围时，要结合两个实际限制：一是平行墙的边长y不能超过墙长42m，二是边长必须为正数即y＞0，联立两个不等式求解即可得到x的范围。
(2) 要判断面积能否达到750m²，只需将S=750代入S与x的函数解析式，解所得的一元二次方程，再检验方程的解是否在x的取值范围内，若有符合的解则能达到，反之不能。
(3) 对于得到的二次函数解析式，因为二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处取得最大值，先将解析式配方为顶点式，再判断顶点的横坐标是否在x的取值范围内，若在则顶点纵坐标就是最大面积，对应横坐标就是所求的x值。
【解析】
(1) 由栅栏总长为80m，可得$2x + y = 80$，整理得$y = -2x + 80$。
矩形面积$S = xy$，将y代入得$S = x(-2x + 80) = -2x^2 + 80x$。
根据实际限制：① 墙长为42m，故$y ≤ 42$，即$-2x + 80 ≤ 42$，解得$x ≥ 19$；② 边长为正，故$y ＞ 0$，即$-2x + 80 ＞ 0$，解得$x ＜ 40$。
综上，x的取值范围是$19 ≤ x ＜ 40$。
(2) 能。理由如下：
当$S = 750$时，代入S的解析式得$-2x^2 + 80x = 750$，
整理为标准一元二次方程：$x^2 - 40x + 375 = 0$，
因式分解得$(x - 25)(x - 15) = 0$，
解得$x_1 = 25$，$x_2 = 15$。
结合x的取值范围$19 ≤ x ＜ 40$，可知$x = 15$不符合要求，舍去，故$x = 25$。
即当x=25m时，面积能达到750m²。
(3) 将S的解析式配方：
$S = -2x^2 + 80x = -2(x^2 - 40x) = -2(x^2 - 40x + 400 - 400) = -2(x - 20)^2 + 800$，
∵$-2 ＜ 0$，
∴抛物线开口向下，当$x = 20$时，S取得最大值，
又
∵$x = 20$在取值范围$19 ≤ x ＜ 40$内，
∴最大值为$800m^2$。
【答案】
(1) $y = -2x + 80（19 ≤ x ＜ 40）$；$S = -2x^2 + 80x（19 ≤ x ＜ 40）$
(2) 能，x的值为25m
(3) 当x=20m时，矩形实验田的面积S最大，最大面积是800m²
【知识点】
二次函数的实际应用；一元二次方程的解法；二次函数的最值
【点评】
本题以实际生活场景为载体，考查了函数在几何面积问题中的应用，解题时需格外注意实际问题中自变量的取值范围，避免出现不符合实际的解，同时要熟练掌握二次函数配方求最值的方法。
【难度系数】
0.7
2. 如图3,二次函数$y=-x^2+2x+m$的图象与x轴的一个交点为$A(3,0)$,另一个交点为B,且与y轴交于点C,连接AC,BC.
(1)求二次函数的解析式及点B的坐标;
(2)若该二次函数的图象上有一点D(不与点C重合)使$S_{△ ABD}=S_{△ ABC}$,求点D的坐标.
(1)求二次函数的解析式及点B的坐标;
(2)若该二次函数的图象上有一点D(不与点C重合)使$S_{△ ABD}=S_{△ ABC}$,求点D的坐标.
答案
2. (1)二次函数的表达式为y = -x² + 2x + 3,B(-1,0).
(2)如图
,当点D在x轴上方时,连接BD,AD,过点D作DE⊥AB于点E.∵当x=0时,y=-x²+2x+3=3,
∴C(0,3). 当S△ABD=S△ABC时,DE=OC=3,当y=3时,-x²+2x+3=3,解得x=0或x=2,
∴点D的坐标为(2,3). 当点D在x轴下方时,-x²+2x+3=-3,解得x=1-√7或x=1+√7,
∴点D的坐标为(1-√7,-3)或(1+√7,-3). 综上所述,满足条件的点D的坐标为(2,3)或(1-√7,-3)或(1+√7,-3).
解析
【分析】
(1) 已知二次函数图象过点A(3,0)，利用待定系数法，将A点坐标代入函数解析式即可求出未知参数m，得到二次函数完整解析式；再令解析式中y=0，解一元二次方程即可得到x轴另一交点B的坐标。
(2) △ABD与△ABC同底为AB，要使两个三角形面积相等，只需AB边上的高相等，即点D到x轴的距离等于点C到x轴的距离。先求出点C的纵坐标，得到点D纵坐标的两种可能（3或-3），分别代入二次函数解析式求解x，排除与C重合的点即可得到所有符合条件的D点坐标。
【解析】
(1) 将点A(3,0)代入二次函数$y=-x^2+2x+m$中，得：
$0=-3^2+2×3+m$，解得$m=3$，
因此二次函数的解析式为$y=-x^2+2x+3$。
令$y=0$，则$-x^2+2x+3=0$，整理得$x^2-2x-3=0$，
因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$，
所以点B的坐标为$(-1,0)$。
(2) 先求点C坐标：令$x=0$，代入解析式得$y=3$，故$C(0,3)$，$OC=3$。
由于$△ ABD$和$△ ABC$的底均为AB，若$S_{△ ABD}=S_{△ ABC}$，则点D到x轴（AB所在直线）的距离等于$OC=3$，即点D的纵坐标为3或-3。
① 当点D纵坐标为3时：代入解析式得$-x^2+2x+3=3$，
整理得$x^2-2x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=2$，
$x=0$对应点C，不符合“不与点C重合”的条件，故舍去，此时$D(2,3)$。
② 当点D纵坐标为-3时：代入解析式得$-x^2+2x+3=-3$，
整理得$x^2-2x-6=0$，由求根公式得$x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4×1×(-6)}}{2×1}=1\pm\sqrt{7}$，
此时点D坐标为$(1+\sqrt{7},-3)$或$(1-\sqrt{7},-3)$。
综上，所有符合条件的D点坐标为$(2,3)$、$(1+\sqrt{7},-3)$、$(1-\sqrt{7},-3)$。
【答案】
(1) 二次函数的表达式为$y = -x^2 + 2x + 3$，$B(-1,0)$。
(2) 如图，满足条件的点D的坐标为$(2,3)$或$(1-\sqrt{7},-3)$或$(1+\sqrt{7},-3)$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数与坐标轴交点，同底三角形面积关系
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，第一问考查待定系数法求解析式及函数与坐标轴交点的求解，属于常规考点；第二问将面积相等转化为点到直线的距离相等，需要分点在x轴上方、下方两种情况讨论，解题时注意排除不符合要求的点，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
(1) 已知二次函数图象过点A(3,0)，利用待定系数法，将A点坐标代入函数解析式即可求出未知参数m，得到二次函数完整解析式；再令解析式中y=0，解一元二次方程即可得到x轴另一交点B的坐标。
(2) △ABD与△ABC同底为AB，要使两个三角形面积相等，只需AB边上的高相等，即点D到x轴的距离等于点C到x轴的距离。先求出点C的纵坐标，得到点D纵坐标的两种可能（3或-3），分别代入二次函数解析式求解x，排除与C重合的点即可得到所有符合条件的D点坐标。
【解析】
(1) 将点A(3,0)代入二次函数$y=-x^2+2x+m$中，得：
$0=-3^2+2×3+m$，解得$m=3$，
因此二次函数的解析式为$y=-x^2+2x+3$。
令$y=0$，则$-x^2+2x+3=0$，整理得$x^2-2x-3=0$，
因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$，
所以点B的坐标为$(-1,0)$。
(2) 先求点C坐标：令$x=0$，代入解析式得$y=3$，故$C(0,3)$，$OC=3$。
由于$△ ABD$和$△ ABC$的底均为AB，若$S_{△ ABD}=S_{△ ABC}$，则点D到x轴（AB所在直线）的距离等于$OC=3$，即点D的纵坐标为3或-3。
① 当点D纵坐标为3时：代入解析式得$-x^2+2x+3=3$，
整理得$x^2-2x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=2$，
$x=0$对应点C，不符合“不与点C重合”的条件，故舍去，此时$D(2,3)$。
② 当点D纵坐标为-3时：代入解析式得$-x^2+2x+3=-3$，
整理得$x^2-2x-6=0$，由求根公式得$x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4×1×(-6)}}{2×1}=1\pm\sqrt{7}$，
此时点D坐标为$(1+\sqrt{7},-3)$或$(1-\sqrt{7},-3)$。
综上，所有符合条件的D点坐标为$(2,3)$、$(1+\sqrt{7},-3)$、$(1-\sqrt{7},-3)$。
【答案】
(1) 二次函数的表达式为$y = -x^2 + 2x + 3$，$B(-1,0)$。
(2) 如图
，满足条件的点D的坐标为$(2,3)$或$(1-\sqrt{7},-3)$或$(1+\sqrt{7},-3)$。【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数与坐标轴交点，同底三角形面积关系
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，第一问考查待定系数法求解析式及函数与坐标轴交点的求解，属于常规考点；第二问将面积相等转化为点到直线的距离相等，需要分点在x轴上方、下方两种情况讨论，解题时注意排除不符合要求的点，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
