3. 如图4,在$△ ABC$中,$AB=5\ \mathrm{cm}$,$BC=6\ \mathrm{cm}$,$∠ B=90°$,点$P$从点$A$出发沿$AB$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$B$移动,同时点$Q$从点$B$出发沿$BC$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$C$移动,当点$Q$运动到点$C$时,两点停止运动. 设运动时间为$t(t＞0)$秒,阴影部分的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$.
(1)$PB$的长为$\mathrm{cm}$(用含$t$的代数式表示);
(2)写出$S$与$t$的函数解析式及$t$的取值范围;
(3)当$S=9$时,求$t$的值;
(4)当$t$为何值时,阴影部分的面积最小?

3. (1) (5-t)
(2) S与t的函数解析式为S=t²-5t+15(0＜t≤3)
(3) t₁=2,t₂=3
(4)
∵S=t²-5t+15=(t-5/2)²+35/4,
∵1＞0,
∴当t=5/2时,阴影部分的面积S最小,最小值为35/4.

【分析】
(1) 点P沿AB以1cm/s的速度运动，t秒后运动路程AP=t cm，已知AB总长为5cm，根据PB=AB-AP即可直接写出PB的代数式。
(2) 阴影部分面积可通过“大三角形ABC的面积减去空白小三角形PBQ的面积”计算。先求出固定的△ABC面积，再用含t的代数式表示△PBQ的两条直角边长度，计算△PBQ的面积后做差就能得到S与t的函数解析式；再根据点Q从B运动到C的最长时间确定t的取值范围。
(3) 将S=9代入第(2)问得到的函数解析式，得到关于t的一元二次方程，解方程后结合t的取值范围验证解的合理性即可。
(4) 得到的S是关于t的二次函数，且二次项系数大于0，函数图象开口向上，在顶点处取得最小值，利用配方法或顶点坐标公式求出对应t的值，确认t在取值范围内即可。
【解析】
(1) 由题意得，t秒后点P的运动路程AP=1×t=t cm，
∵AB=5 cm，
∴PB=AB-AP=(5-t) cm。
(2) 计算△ABC的面积：
∵∠B=90°，AB=5 cm，BC=6 cm，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×BC=\frac{1}{2}×5×6=15\ \mathrm{cm}^2$。
t秒后点Q的运动路程BQ=2×t=2t cm，△PBQ为直角三角形，
∴$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}×PB×BQ=\frac{1}{2}×(5-t)×2t=5t-t^2$。
阴影面积$S=S_{△ ABC}-S_{△ PBQ}=15-(5t-t^2)=t^2-5t+15$。
点Q运动到点C的时间为$6÷2=3\ \mathrm{s}$，因此t的取值范围是$0＜t≤3$。
综上，S与t的函数解析式为$S=t^2-5t+15(0＜t≤3)$。
(3) 当$S=9$时，代入解析式得：
$t^2-5t+15=9$，
整理得$t^2-5t+6=0$，
因式分解得$(t-2)(t-3)=0$，
解得$t_1=2$，$t_2=3$，两个解均满足$0＜t≤3$，符合题意。
(4) 将$S=t^2-5t+15$配方得：
$S=t^2-5t+(\frac{5}{2})^2-(\frac{5}{2})^2+15=(t-\frac{5}{2})^2+\frac{35}{4}$，
∵二次项系数$1＞0$，抛物线开口向上，且$t=\frac{5}{2}$满足$0＜t≤3$，
∴当$t=\frac{5}{2}$时，阴影部分的面积S最小。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(5-t)}$
(2) $\boldsymbol{S=t^2-5t+15(0＜t≤3)}$
(3) $\boldsymbol{t=2}$或$\boldsymbol{t=3}$
(4) 当$\boldsymbol{t=\dfrac{5}{2}}$时，阴影部分面积最小。
【知识点】
二次函数的实际应用，一元二次方程的解法，二次函数的最值
【点评】
本题是动点结合二次函数的基础应用题，解题核心是根据运动过程正确表示相关线段的长度，通过面积差建立函数关系，求解时要注意结合动点的运动范围确定自变量的取值范围，避免出现不符合题意的增根。
【难度系数】
0.7

一、选择题
1. 心理学家发现,学生对概念的接受能力$y$与提出概念所用的时间$x$(单位:分)之间满足函数关系:$y=-0.1x^2+2.6x+43(0≤x≤30)$.$y$值越大,表示接受能力越强.如果学生的接受能力逐步增强,则$x$的取值范围是()

A.$0≤x≤13$
B.$13≤x≤26$
C.$0≤x≤26$
D.$13≤x≤30$

1. A

【分析】
本题考查二次函数增减性的实际应用，解题思路如下：首先明确接受能力逐步增强即y随x的增大而增大，对应二次函数的递增区间；接着回忆二次函数$y=ax^2+bx+c$的性质：当$a＜0$时抛物线开口向下，对称轴左侧函数递增、右侧递减；因此先计算抛物线对称轴，再结合题目给定的x的取值范围$0≤x≤30$，即可得到符合要求的x的区间。
【解析】
解：已知函数$y=-0.1x^2+2.6x+43$为二次函数，其中二次项系数$a=-0.1＜0$，因此抛物线开口向下。
根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-0.1$，$b=2.6$可得：
$x=-\frac{2.6}{2×(-0.1)}=13$
因为开口向下的抛物线在对称轴左侧y随x的增大而增大，因此当$x≤13$时接受能力逐步增强，结合题目给出的自变量范围$0≤x≤30$，最终得x的取值范围是$0≤x≤13$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质，二次函数对称轴计算
【点评】
本题是二次函数性质结合实际场景的基础应用题，解题关键是准确判断抛物线的开口方向、计算对称轴，再结合自变量的实际取值范围确定最终区间，避免忽略定义域导致出错。
【难度系数】
0.8

2. 某商店经营皮鞋,已知所获利润$y$(单位:元)与销售的单价$x$(单位:元)之间的关系为$y=-x^2+24x+2956$,则获利最多为()

A.3 144元
B.3 100元
C.144元
D.2 956元

2. B

【分析】
本题考查二次函数的最值应用，解题思路如下：首先明确利润y是关于销售单价x的二次函数，观察二次项系数为-1＜0，可知抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值即为抛物线顶点的纵坐标，我们可以通过配方法或者顶点坐标公式计算顶点纵坐标，即可得到最大获利。
【解析】
方法一：配方法
对函数关系式变形：
$y=-x^2+24x+2956$
$=-(x^2-24x)+2956$
$=-(x^2-24x+144-144)+2956$
$=-(x-12)^2 + 144 + 2956$
$=-(x-12)^2 + 3100$
$\because -(x-12)^2 ≤ 0$，
$\therefore$ 当$x=12$时，$y$取得最大值，最大值为3100元。
方法二：顶点坐标公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＜0$时，顶点纵坐标为函数的最大值，公式为$y_{max}=\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=-1$，$b=24$，$c=2956$，代入公式得：
$y_{max}=\frac{4×(-1)×2956 - 24^2}{4×(-1)}=\frac{-11824 - 576}{-4}=\frac{-12400}{-4}=3100$
即获利最多为3100元。
【答案】
B
【知识点】
二次函数最值，配方法，二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际利润问题中的基础应用，解题关键是判断二次函数的开口方向，明确最值取在顶点处，熟练掌握配方法或顶点坐标公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8

3. 童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利$y$(单位:元)与当天销售数量$x$(单位:件)满足函数关系式$y=-x^2+50x-500$，则要想获得最大利润当天必须卖出()

A.25件
B.20件
C.30件
D.40件

3. A

【分析】
本题是二次函数在销售利润问题中的应用，解题核心是求二次函数取最大值时对应的自变量x的值。首先观察函数表达式，二次项系数a=-1＜0，说明抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，我们可以通过二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$直接计算出利润最大时的销售数量，也可以通过配方法将函数化为顶点式求解。
【解析】
已知利润函数$y=-x^2+50x-500$，其中二次项系数$a=-1$，一次项系数$b=50$。
因为$a=-1＜0$，所以该二次函数的图象开口向下，函数存在最大值，当自变量取对称轴对应的数值时，y取得最大值。
根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入数值计算得：
$x=-\frac{50}{2×(-1)}=25$
即当天卖出25件时，可获得最大利润。
（也可通过配方法验证：$y=-x^2+50x-500=-(x-25)^2+125$，当$x=25$时，y取得最大值125元）
【答案】
A
【知识点】
二次函数最值计算；二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，主要考查对二次函数图象性质的掌握，只要熟练掌握二次函数最值的求解方法（对称轴公式法、配方法），就能快速得出结果，是二次函数应用类问题的常考基础题型。
【难度系数】
0.8