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学习任务 有理数的混合运算
有理数混合运算的运算顺序
(1)先
(2)同级运算，从
(3)如有括号，先做
有理数混合运算的运算顺序
(1)先
乘方
，再乘除
，最后加减
；(2)同级运算，从
左
到右
进行；(3)如有括号，先做
括号内
的运算，按小括号
、中括号
、大括号
依次进行。答案
1. 乘方，乘除，加减
2. 左，右
3. 括号内，小括号，中括号，大括号
2. 左，右
3. 括号内，小括号，中括号，大括号
解析
【分析】
本题考查有理数混合运算的运算顺序识记，属于基础概念类题目，解题时只需回忆教材中明确规定的有理数混合运算顺序规则，逐一对应空缺位置填写即可：首先明确不同级运算的优先级，再记同级运算的执行顺序，最后掌握带括号时的运算规则。
【解析】
根据有理数混合运算的运算顺序规定：
(1) 不同级别的运算，优先级从高到低为乘方、乘除、加减，因此先算乘方，再算乘除，最后算加减；
(2) 同级别的运算，按照从左到右的顺序依次进行；
(3) 存在括号时，优先计算括号内的运算，括号的优先级从高到低为小括号、中括号、大括号，因此按小括号、中括号、大括号的顺序依次计算。
【答案】
(1) 乘方，乘除，加减
(2) 左，右
(3) 括号内，小括号，中括号，大括号
【知识点】
有理数混合运算顺序、括号运算优先级、同级运算规则
【点评】
本题是有理数混合运算的基础识记题，相关规则是所有有理数混合运算的核心依据，熟练掌握才能避免后续运算出现顺序错误。
【难度系数】
0.9
本题考查有理数混合运算的运算顺序识记，属于基础概念类题目，解题时只需回忆教材中明确规定的有理数混合运算顺序规则，逐一对应空缺位置填写即可：首先明确不同级运算的优先级，再记同级运算的执行顺序，最后掌握带括号时的运算规则。
【解析】
根据有理数混合运算的运算顺序规定：
(1) 不同级别的运算，优先级从高到低为乘方、乘除、加减，因此先算乘方，再算乘除，最后算加减；
(2) 同级别的运算，按照从左到右的顺序依次进行；
(3) 存在括号时，优先计算括号内的运算，括号的优先级从高到低为小括号、中括号、大括号，因此按小括号、中括号、大括号的顺序依次计算。
【答案】
(1) 乘方，乘除，加减
(2) 左，右
(3) 括号内，小括号，中括号，大括号
【知识点】
有理数混合运算顺序、括号运算优先级、同级运算规则
【点评】
本题是有理数混合运算的基础识记题，相关规则是所有有理数混合运算的核心依据，熟练掌握才能避免后续运算出现顺序错误。
【难度系数】
0.9
【例1】计算：
(1)$(-1)×(-4)+2^2÷(7-5)$；
(2)$2-2^3÷|-2|×(-7+5)$；
(3)$-(-10)^2+[(-4)^2-(3+3^2)×2]$.
解：
(1)$(-1)×(-4)+2^2÷(7-5)$；
(2)$2-2^3÷|-2|×(-7+5)$；
(3)$-(-10)^2+[(-4)^2-(3+3^2)×2]$.
解：
答案
(1) 6
(2) 10
(3) -108
(2) 10
(3) -108
解析
【分析】
这三道题均为有理数混合运算计算题，解题需严格遵循有理数混合运算顺序：1.先算乘方，再算乘除，最后算加减；2.同级运算按照从左到右的顺序计算；3.有括号时先算括号内的，按小括号、中括号的优先级依次计算。计算过程中要重点注意符号判断，比如负数乘除的符号规则、乘方的符号、绝对值的化简，避免符号错误，按照顺序分步计算即可求解。
【解析】
(1) 先计算乘方和括号内的运算：
$\begin{aligned}原式&=(-1)×(-4)+4÷(2)\\&=4+2\\&=6\end{aligned}$
(2) 先计算乘方、绝对值和括号内的运算：
$\begin{aligned}原式&=2-8÷2×(-2)\\&=2-4×(-2)\\&=2+8\\&=10\end{aligned}$
(3) 先计算乘方和小括号内的运算，再计算中括号内的运算：
$\begin{aligned}原式&=-100+[16-(3+9)×2]\\&=-100+[16-12×2]\\&=-100+[16-24]\\&=-100+(-8)\\&=-108\end{aligned}$
【答案】
(1)6；(2)10；(3)-108
【知识点】
有理数混合运算、乘方的运算、绝对值的化简
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，核心考察运算顺序的掌握和符号判断能力，计算时养成分步演算、逐项核对符号的习惯，可有效减少计算错误。
【难度系数】
0.75
这三道题均为有理数混合运算计算题，解题需严格遵循有理数混合运算顺序：1.先算乘方，再算乘除，最后算加减；2.同级运算按照从左到右的顺序计算；3.有括号时先算括号内的，按小括号、中括号的优先级依次计算。计算过程中要重点注意符号判断，比如负数乘除的符号规则、乘方的符号、绝对值的化简，避免符号错误，按照顺序分步计算即可求解。
【解析】
(1) 先计算乘方和括号内的运算：
$\begin{aligned}原式&=(-1)×(-4)+4÷(2)\\&=4+2\\&=6\end{aligned}$
(2) 先计算乘方、绝对值和括号内的运算：
$\begin{aligned}原式&=2-8÷2×(-2)\\&=2-4×(-2)\\&=2+8\\&=10\end{aligned}$
(3) 先计算乘方和小括号内的运算，再计算中括号内的运算：
$\begin{aligned}原式&=-100+[16-(3+9)×2]\\&=-100+[16-12×2]\\&=-100+[16-24]\\&=-100+(-8)\\&=-108\end{aligned}$
【答案】
(1)6；(2)10；(3)-108
【知识点】
有理数混合运算、乘方的运算、绝对值的化简
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，核心考察运算顺序的掌握和符号判断能力，计算时养成分步演算、逐项核对符号的习惯，可有效减少计算错误。
【难度系数】
0.75
1.计算：$(-2)^2 + (-2) × 2 =$
0
。答案
1. 0
解析
【分析】
本题考查有理数的混合运算，解题要遵循有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。我们可以分步计算，先分别算出乘方、乘法的结果，再将两个结果相加即可，计算过程中要重点注意符号的判断。
【解析】
按照有理数混合运算顺序逐步计算：
1. 计算乘方：负数的偶次幂为正，因此$(-2)^2 = 4$；
2. 计算乘法：异号两数相乘得负，因此$(-2) × 2 = -4$；
3. 计算加法：$4 + (-4) = 0$。
【答案】
0
【知识点】
有理数乘方运算；有理数乘法运算；有理数混合运算顺序
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握有理数混合运算的优先级，计算时注意区分负数乘方的符号、异号相乘的符号规则，避免符号错误即可正确作答。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数的混合运算，解题要遵循有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。我们可以分步计算，先分别算出乘方、乘法的结果，再将两个结果相加即可，计算过程中要重点注意符号的判断。
【解析】
按照有理数混合运算顺序逐步计算：
1. 计算乘方：负数的偶次幂为正，因此$(-2)^2 = 4$；
2. 计算乘法：异号两数相乘得负，因此$(-2) × 2 = -4$；
3. 计算加法：$4 + (-4) = 0$。
【答案】
0
【知识点】
有理数乘方运算；有理数乘法运算；有理数混合运算顺序
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握有理数混合运算的优先级，计算时注意区分负数乘方的符号、异号相乘的符号规则，避免符号错误即可正确作答。
【难度系数】
0.8
2. 计算:
(1) $[1\dfrac{3}{5} × (1 - \dfrac{4}{9})]^2 ÷ [(1 - \dfrac{1}{6}) × (-\dfrac{2}{5})]^3$；
(2) $\left| -\dfrac{1}{2} \right|^2 - (\dfrac{1}{2})^2 + (-1)^{1020} - 1\dfrac{1}{2} × (0.5 - \dfrac{2}{3}) ÷ \dfrac{1}{4}$。
(1) $[1\dfrac{3}{5} × (1 - \dfrac{4}{9})]^2 ÷ [(1 - \dfrac{1}{6}) × (-\dfrac{2}{5})]^3$；
(2) $\left| -\dfrac{1}{2} \right|^2 - (\dfrac{1}{2})^2 + (-1)^{1020} - 1\dfrac{1}{2} × (0.5 - \dfrac{2}{3}) ÷ \dfrac{1}{4}$。
答案
(1) $-\dfrac{64}{3}$.
(2) 2.
(2) 2.
解析
【分析】
这两道题均为有理数混合运算，解题遵循“先算括号内，再算乘方，后算乘除，最后算加减”的运算顺序，遇到带分数先化为假分数，有绝对值先计算绝对值结果，计算过程中重点注意符号变化：负数的奇次幂为负，偶次幂为正，乘除运算中负号的个数决定最终结果符号。第(1)题先分别计算两个中括号内的运算，再算乘方，最后做除法；第(2)题先算绝对值、乘方、括号内的减法，再算乘除，最后算加减即可。
【解析】
(1) 计算$[1\dfrac{3}{5} × (1 - \dfrac{4}{9})]^2 ÷ [(1 - \dfrac{1}{6}) × (-\dfrac{2}{5})]^3$
第一步：化带分数为假分数，计算小括号内的运算
$1\dfrac{3}{5}=\dfrac{8}{5}$，$1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9}$，$1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$
原式=$[\dfrac{8}{5} × \dfrac{5}{9}]^2 ÷ [\dfrac{5}{6} × (-\dfrac{2}{5})]^3$
第二步：计算中括号内的乘法
原式=$(\dfrac{8}{9})^2 ÷ (-\dfrac{1}{3})^3$
第三步：计算乘方
原式=$\dfrac{64}{81} ÷ (-\dfrac{1}{27})$
第四步：将除法转化为乘法计算
原式=$\dfrac{64}{81} × (-27)=-\dfrac{64}{3}$
(2) 计算$\left| -\dfrac{1}{2} \right|^2 - (\dfrac{1}{2})^2 + (-1)^{1020} - 1\dfrac{1}{2} × (0.5 - \dfrac{2}{3}) ÷ \dfrac{1}{4}$
第一步：化带分数、小数为分数，计算绝对值、乘方、小括号内的运算
$\left| -\dfrac{1}{2} \right|=\dfrac{1}{2}$，$(-1)^{1020}=1$，$1\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$，$0.5=\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{1}{6}$
原式=$(\dfrac{1}{2})^2 - (\dfrac{1}{2})^2 + 1 - \dfrac{3}{2} × (-\dfrac{1}{6}) ÷ \dfrac{1}{4}$
第二步：计算乘除法
原式=$\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}+1 - \dfrac{3}{2} × (-\dfrac{1}{6}) ×4$
=$0+1 - (-1)$
第三步：计算加减法
原式=$1+1=2$
【答案】
(1) $-\dfrac{64}{3}$；(2) $2$
【知识点】
有理数混合运算，乘方的运算，绝对值的化简
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的规则，计算时需牢记运算顺序，注意负数乘方、乘除运算的符号变化，细心计算即可避免出错。
【难度系数】
0.7
这两道题均为有理数混合运算，解题遵循“先算括号内，再算乘方，后算乘除，最后算加减”的运算顺序，遇到带分数先化为假分数，有绝对值先计算绝对值结果，计算过程中重点注意符号变化：负数的奇次幂为负，偶次幂为正，乘除运算中负号的个数决定最终结果符号。第(1)题先分别计算两个中括号内的运算，再算乘方，最后做除法；第(2)题先算绝对值、乘方、括号内的减法，再算乘除，最后算加减即可。
【解析】
(1) 计算$[1\dfrac{3}{5} × (1 - \dfrac{4}{9})]^2 ÷ [(1 - \dfrac{1}{6}) × (-\dfrac{2}{5})]^3$
第一步：化带分数为假分数，计算小括号内的运算
$1\dfrac{3}{5}=\dfrac{8}{5}$，$1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9}$，$1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$
原式=$[\dfrac{8}{5} × \dfrac{5}{9}]^2 ÷ [\dfrac{5}{6} × (-\dfrac{2}{5})]^3$
第二步：计算中括号内的乘法
原式=$(\dfrac{8}{9})^2 ÷ (-\dfrac{1}{3})^3$
第三步：计算乘方
原式=$\dfrac{64}{81} ÷ (-\dfrac{1}{27})$
第四步：将除法转化为乘法计算
原式=$\dfrac{64}{81} × (-27)=-\dfrac{64}{3}$
(2) 计算$\left| -\dfrac{1}{2} \right|^2 - (\dfrac{1}{2})^2 + (-1)^{1020} - 1\dfrac{1}{2} × (0.5 - \dfrac{2}{3}) ÷ \dfrac{1}{4}$
第一步：化带分数、小数为分数，计算绝对值、乘方、小括号内的运算
$\left| -\dfrac{1}{2} \right|=\dfrac{1}{2}$，$(-1)^{1020}=1$，$1\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$，$0.5=\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{1}{6}$
原式=$(\dfrac{1}{2})^2 - (\dfrac{1}{2})^2 + 1 - \dfrac{3}{2} × (-\dfrac{1}{6}) ÷ \dfrac{1}{4}$
第二步：计算乘除法
原式=$\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}+1 - \dfrac{3}{2} × (-\dfrac{1}{6}) ×4$
=$0+1 - (-1)$
第三步：计算加减法
原式=$1+1=2$
【答案】
(1) $-\dfrac{64}{3}$；(2) $2$
【知识点】
有理数混合运算，乘方的运算，绝对值的化简
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的规则，计算时需牢记运算顺序，注意负数乘方、乘除运算的符号变化，细心计算即可避免出错。
【难度系数】
0.7
