【例1】已知二次函数$y=\frac{1}{2}x^2 -2x -1$.
(1)用配方法将其化成$y = a(x-h)^2 +k$的形式.
(2)画出它的图象.
(3)说明抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$怎样平移能得到抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 -2x -1$.

(1)$y=\frac{1}{2}x^2 -2x -1=\frac{1}{2}(x^2 -4x)-1=\frac{1}{2}(x-2)^2 -3$.
(2)图象略.
(3)抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$先向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度得到抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 -2x -1$.

【变式】将二次函数$y=x^2 -4x -3$化为$y=a(x-h)^2 +k$的形式，正确的是（）

A.$y=(x-2)^2 +1$
B.$y=(x-2)^2 -7$
C.$y=(x+2)^2 +1$
D.$y=(x+2)^2 -7$

B

【例2】已知抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 +2x -\frac{5}{2}$。
(1)求出抛物线的顶点坐标、对称轴、最值；
(2)求出抛物线与y轴的交点坐标。

(1)由题意,得$a=\frac{1}{2},b=2,c=-\frac{5}{2}$,
∴对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×\frac{1}{2}}=-2$,
顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×\frac{1}{2}×(-\frac{5}{2})-2^2}{4×\frac{1}{2}}=-\frac{9}{2}$,
∴顶点坐标为$(-2,-\frac{9}{2})$.
$\because a=\frac{1}{2}＞0$,
$\therefore y_{最小值}=-\frac{9}{2}$.
(2)当$x=0$时,$y=-\frac{5}{2}$,
∴抛物线与y轴的交点坐标为$(0,-\frac{5}{2})$.

【变式】抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$中，y与x的部分对应值如表：

下列结论中，正确的是（）

A.抛物线开口向上
B.对称轴是直线$x=4$
C.当$x＞4$时，y随x的增大而减小
D.当$x＜4.5$时，y随x的增大而增大

D

1. 由表格可知，x=3和x=6时y值均为18，根据二次函数对称性，抛物线对称轴为直线$x=\frac{3+6}{2}=4.5$。
2. 将(1,8)、(3,18)、(6,18)代入$y=ax^2+bx+c$，解得$a=-1$，$b=9$，$c=0$，即抛物线解析式为$y=-x^2+9x$。
3. 分析选项：
A：$a=-1＜0$，抛物线开口向下，A错误；
B：对称轴是直线$x=4.5$，B错误；
C：开口向下，对称轴为$x=4.5$，当$x＞4.5$时y随x增大而减小，$4＜x＜4.5$时y随x增大而增大，C错误；
D：开口向下，对称轴为$x=4.5$，因此当$x＜4.5$时，y随x的增大而增大，D正确。

1. 抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 - x + 2$ 的对称轴为（）

A.直线 $x=1$
B.直线 $x=2$
C.直线 $x=-1$
D.直线 $x=-2$

1. A