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【例】试判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由. 
答案
解:相似.理由如下:
在Rt△ABC中,BC=√(AB²-AC²)=√(3²-2.4²)=1.8.
在Rt△DEF中,DF=√(DE²-EF²)=√(6²-3.6²)=4.8.
∴ AB/DE = BC/EF = AC/DF = 1/2 ,
∴△ABC∽△DEF.
在Rt△ABC中,BC=√(AB²-AC²)=√(3²-2.4²)=1.8.
在Rt△DEF中,DF=√(DE²-EF²)=√(6²-3.6²)=4.8.
∴ AB/DE = BC/EF = AC/DF = 1/2 ,
∴△ABC∽△DEF.
解析
【分析】
要判断两个直角三角形是否相似，可先借助勾股定理分别求出两个三角形未知的直角边长，再验证三组对应边的比值是否相等，若比值相等，根据“三边对应成比例的两个三角形相似”即可判定两三角形相似，具体步骤为：①计算Rt△ABC中BC的长度；②计算Rt△DEF中DF的长度；③计算三组对应边的比值，判断是否相等。
【解析】
两个三角形相似，理由如下：
在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{3^2-2.4^2}=\sqrt{9-5.76}=\sqrt{3.24}=1.8$
在Rt△DEF中，∠F=90°，由勾股定理得：
$DF=\sqrt{DE^2-EF^2}=\sqrt{6^2-3.6^2}=\sqrt{36-12.96}=\sqrt{23.04}=4.8$
计算对应边的比值：$\frac{AB}{DE}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{1.8}{3.6}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{2.4}{4.8}=\frac{1}{2}$
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=\frac{1}{2}$
根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ DEF$。
【答案】
相似，理由：在Rt△ABC中，$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{3^2-2.4^2}=1.8$；在Rt△DEF中，$DF=\sqrt{DE^2-EF^2}=\sqrt{6^2-3.6^2}=4.8$，因此$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=\frac{1}{2}$，故$△ ABC ∽ △ DEF$。
【知识点】
勾股定理、相似三角形判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题核心是先通过勾股定理计算未知边长，再验证三边对应成比例即可得出结论，解题时需注意对应边的匹配，避免比值计算出错。
【难度系数】
0.8
要判断两个直角三角形是否相似，可先借助勾股定理分别求出两个三角形未知的直角边长，再验证三组对应边的比值是否相等，若比值相等，根据“三边对应成比例的两个三角形相似”即可判定两三角形相似，具体步骤为：①计算Rt△ABC中BC的长度；②计算Rt△DEF中DF的长度；③计算三组对应边的比值，判断是否相等。
【解析】
两个三角形相似，理由如下：
在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{3^2-2.4^2}=\sqrt{9-5.76}=\sqrt{3.24}=1.8$
在Rt△DEF中，∠F=90°，由勾股定理得：
$DF=\sqrt{DE^2-EF^2}=\sqrt{6^2-3.6^2}=\sqrt{36-12.96}=\sqrt{23.04}=4.8$
计算对应边的比值：$\frac{AB}{DE}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{1.8}{3.6}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{2.4}{4.8}=\frac{1}{2}$
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=\frac{1}{2}$
根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ DEF$。
【答案】
相似，理由：在Rt△ABC中，$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{3^2-2.4^2}=1.8$；在Rt△DEF中，$DF=\sqrt{DE^2-EF^2}=\sqrt{6^2-3.6^2}=4.8$，因此$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=\frac{1}{2}$，故$△ ABC ∽ △ DEF$。
【知识点】
勾股定理、相似三角形判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题核心是先通过勾股定理计算未知边长，再验证三边对应成比例即可得出结论，解题时需注意对应边的匹配，避免比值计算出错。
【难度系数】
0.8
【变式1】(2025廊坊月考)图中三角形相似的是（
A.①和②
B.①和③
C.②和③
D.③和④
A
）A.①和②
B.①和③
C.②和③
D.③和④
答案
A
解析
【分析】要判断两个三角形是否相似，已知四个三角形的三边长，优先采用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理。解题步骤为：①将每个三角形的三边按从小到大的顺序排列；②分别计算选项中两个三角形对应边的比值；③若三组比值都相等，则两个三角形相似，否则不相似。
【解析】首先将四个三角形的三边长按从小到大的顺序整理：
①：15，20，25；
②：27，36，45；
③：15，15，20；
④：30，30，42。
逐一验证选项：
A. ①和②：$\frac{15}{27}=\frac{5}{9}$，$\frac{20}{36}=\frac{5}{9}$，$\frac{25}{45}=\frac{5}{9}$，三组对应边比值均相等，故两三角形相似，符合要求。
B. ①和③：$\frac{15}{15}=1$，$\frac{20}{15}=\frac{4}{3}$，比值不相等，不相似，排除。
C. ②和③：$\frac{27}{15}=\frac{9}{5}$，$\frac{36}{15}=\frac{12}{5}$，比值不相等，不相似，排除。
D. ③和④：$\frac{15}{30}=\frac{1}{2}$，$\frac{20}{42}=\frac{10}{21}≠\frac{1}{2}$，比值不相等，不相似，排除。
综上，答案选A。
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定；比例化简
【点评】本题考查相似三角形的判定方法，解题时注意要将三角形三边按大小排序后再计算对应边的比值，避免因对应边匹配错误导致判断失误，属于基础类考题。
【难度系数】0.7
【解析】首先将四个三角形的三边长按从小到大的顺序整理：
①：15，20，25；
②：27，36，45；
③：15，15，20；
④：30，30，42。
逐一验证选项：
A. ①和②：$\frac{15}{27}=\frac{5}{9}$，$\frac{20}{36}=\frac{5}{9}$，$\frac{25}{45}=\frac{5}{9}$，三组对应边比值均相等，故两三角形相似，符合要求。
B. ①和③：$\frac{15}{15}=1$，$\frac{20}{15}=\frac{4}{3}$，比值不相等，不相似，排除。
C. ②和③：$\frac{27}{15}=\frac{9}{5}$，$\frac{36}{15}=\frac{12}{5}$，比值不相等，不相似，排除。
D. ③和④：$\frac{15}{30}=\frac{1}{2}$，$\frac{20}{42}=\frac{10}{21}≠\frac{1}{2}$，比值不相等，不相似，排除。
综上，答案选A。
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定；比例化简
【点评】本题考查相似三角形的判定方法，解题时注意要将三角形三边按大小排序后再计算对应边的比值，避免因对应边匹配错误导致判断失误，属于基础类考题。
【难度系数】0.7
【变式2】如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,$△ ABC$和$△ DEF$的顶点都在格点上.求证:$△ ABC ∽ △ DEF$.
答案
证明:由图可知,AB=EF=√(1²+1²)=√2,AC=√(1²+2²)=√5,DF=√(1²+3²)=√10,
∴ BC/EF = AB/DE = AC/DF = √2/2 ,
∴△ABC∽△DEF.
∴ BC/EF = AB/DE = AC/DF = √2/2 ,
∴△ABC∽△DEF.
解析
【分析】
要证明两个三角形相似，我们可以选用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理。首先结合网格中小正方形边长为1的条件，利用勾股定理分别计算△ABC和△DEF的各边长度，再计算三组对应边的比值，若三组比值相等即可证明两个三角形相似。
【解析】
证明：由图中网格边长为1，结合勾股定理计算各边长度：
$AB=EF=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$BC=1$，$DE=2$，
$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$DF=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
因此对应边比值为：
$\frac{BC}{EF}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AB}{DE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得$\frac{BC}{EF}=\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
根据三边对应成比例的两个三角形相似，故$△ ABC ∽ △ DEF$。
【答案】
$△ ABC ∽ △ DEF$，得证。
【知识点】
勾股定理；相似三角形SSS判定
【点评】
本题是网格类几何证明基础题，核心是借助勾股定理计算格点线段长度，再通过验证三边成比例证明相似，解题时要注意准确计算边长、找对对应边，避免比值计算错误。
【难度系数】
0.7
要证明两个三角形相似，我们可以选用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理。首先结合网格中小正方形边长为1的条件，利用勾股定理分别计算△ABC和△DEF的各边长度，再计算三组对应边的比值，若三组比值相等即可证明两个三角形相似。
【解析】
证明：由图中网格边长为1，结合勾股定理计算各边长度：
$AB=EF=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$BC=1$，$DE=2$，
$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$DF=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
因此对应边比值为：
$\frac{BC}{EF}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AB}{DE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得$\frac{BC}{EF}=\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
根据三边对应成比例的两个三角形相似，故$△ ABC ∽ △ DEF$。
【答案】
$△ ABC ∽ △ DEF$，得证。
【知识点】
勾股定理；相似三角形SSS判定
【点评】
本题是网格类几何证明基础题，核心是借助勾股定理计算格点线段长度，再通过验证三边成比例证明相似，解题时要注意准确计算边长、找对对应边，避免比值计算错误。
【难度系数】
0.7
1.若$△ ABC$的三边长分别是3,5,6,则与$△ ABC$相似的$△ DEF$的边可能是(
A.$DE=6,DF=8,EF=10$
B.$DE=9,EF=18,DF=25$
C.$DE=1,EF=2,DF=2.5$
D.$DE=6,DF=10,EF=12$
D
)A.$DE=6,DF=8,EF=10$
B.$DE=9,EF=18,DF=25$
C.$DE=1,EF=2,DF=2.5$
D.$DE=6,DF=10,EF=12$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断哪个选项中的三角形与△ABC相似，需用到相似三角形的判定定理：三组对应边成比例的两个三角形相似。解题时先将△ABC的三边按从小到大的顺序排列，得到三边的比例关系，再将每个选项中三角形的三边也按从小到大排序，计算其三边的比值，和△ABC的三边比一致的即为正确答案。
【解析】
首先将△ABC的三边长从小到大排序：3，5，6，因此△ABC的三边比为3:5:6。
逐个分析选项：
A选项：△DEF的三边长为6，8，10，从小到大排序后为6，8，10，三边比为6:8:10=3:4:5，与3:5:6不相等，不符合要求；
B选项：△DEF的三边长为9，18，25，从小到大排序后为9，18，25，三边比为9:18:25，与3:5:6不相等，不符合要求；
C选项：△DEF的三边长为1，2，2.5，从小到大排序后为1，2，2.5，三边比为1:2:2.5=2:4:5，与3:5:6不相等，不符合要求；
D选项：△DEF的三边长为6，10，12，从小到大排序后为6，10，12，三边比为6:10:12=3:5:6，与△ABC的三边比完全相等，因此两三角形相似，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、比的化简
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题的核心是先将三角形三边按大小排序后再验证比值，能有效避免因对应边匹配错误导致的判断错误，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的前提。
【难度系数】
0.8
要判断哪个选项中的三角形与△ABC相似，需用到相似三角形的判定定理：三组对应边成比例的两个三角形相似。解题时先将△ABC的三边按从小到大的顺序排列，得到三边的比例关系，再将每个选项中三角形的三边也按从小到大排序，计算其三边的比值，和△ABC的三边比一致的即为正确答案。
【解析】
首先将△ABC的三边长从小到大排序：3，5，6，因此△ABC的三边比为3:5:6。
逐个分析选项：
A选项：△DEF的三边长为6，8，10，从小到大排序后为6，8，10，三边比为6:8:10=3:4:5，与3:5:6不相等，不符合要求；
B选项：△DEF的三边长为9，18，25，从小到大排序后为9，18，25，三边比为9:18:25，与3:5:6不相等，不符合要求；
C选项：△DEF的三边长为1，2，2.5，从小到大排序后为1，2，2.5，三边比为1:2:2.5=2:4:5，与3:5:6不相等，不符合要求；
D选项：△DEF的三边长为6，10，12，从小到大排序后为6，10，12，三边比为6:10:12=3:5:6，与△ABC的三边比完全相等，因此两三角形相似，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、比的化简
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题的核心是先将三角形三边按大小排序后再验证比值，能有效避免因对应边匹配错误导致的判断错误，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的前提。
【难度系数】
0.8
2. 在$△ ABC$和$△ DEF$中，$AB=2$，$BC=3$，$AC=DF=4$，$DE=6$，$EF=8$，那么一定与$∠ A$相等的角是（
A.$∠ C$
B.$∠ D$
C.$∠ E$
D.$∠ F$
D
）A.$∠ C$
B.$∠ D$
C.$∠ E$
D.$∠ F$
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查相似三角形的判定及性质应用，解题思路如下：首先整理两个三角形的所有边长，通过计算边长比值判断两个三角形是否相似；若满足三边对应成比例则两三角形相似，再根据对应边所对的角为对应角，即可找到与∠A相等的角。
【解析】
先列出两个三角形的各边长度：
△ABC中，$AB=2$，$BC=3$，$AC=4$；
△DEF中，$DE=6$，$EF=8$，$DF=4$。
计算三组对应边的比值：
$\frac{AB}{DF}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{DE}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{EF}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
因此$\frac{AB}{DF}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{EF}$，根据“三边对应成比例的两个三角形相似”，可得$△ ABC ∽ △ FDE$。
根据相似三角形对应角相等，∠A与∠F是对应角，因此$∠A=∠F$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础题型，解题核心是准确匹配两个三角形的对应边，避免对应关系混淆导致角的对应错误。
【难度系数】
0.7
本题考查相似三角形的判定及性质应用，解题思路如下：首先整理两个三角形的所有边长，通过计算边长比值判断两个三角形是否相似；若满足三边对应成比例则两三角形相似，再根据对应边所对的角为对应角，即可找到与∠A相等的角。
【解析】
先列出两个三角形的各边长度：
△ABC中，$AB=2$，$BC=3$，$AC=4$；
△DEF中，$DE=6$，$EF=8$，$DF=4$。
计算三组对应边的比值：
$\frac{AB}{DF}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{DE}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{EF}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
因此$\frac{AB}{DF}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{EF}$，根据“三边对应成比例的两个三角形相似”，可得$△ ABC ∽ △ FDE$。
根据相似三角形对应角相等，∠A与∠F是对应角，因此$∠A=∠F$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础题型，解题核心是准确匹配两个三角形的对应边，避免对应关系混淆导致角的对应错误。
【难度系数】
0.7
3.如图,在大小为$4×4$的正方形网格中,是相似三角形的是（
A.①和②
B.②和③
C.①和③
D.②和④
C
）A.①和②
B.②和③
C.①和③
D.②和④
答案
3. C
解析
【分析】
要判断网格中的相似三角形，依据相似三角形“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，我们可以先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别求出4个三角形的三边长，再将各三角形的边长按从小到大排序，计算两组边的比值，若两个三角形的三边比值对应相等，则这两个三角形相似。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别计算各三角形的三边长：
三角形①的三边长从小到大依次为：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$2$，$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
三角形②的三边长从小到大依次为：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$3$；
三角形③的三边长从小到大依次为：$2$，$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$；
三角形④的三边长从小到大依次为：$3$，$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$\sqrt{4^2+3^2}=5$。
对比边长比值：
三角形①和③的三边比为 $\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，三边对应成比例，因此①和③是相似三角形。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题是典型的网格几何题，解题核心是先通过勾股定理准确计算各三角形的边长，再利用相似三角形的判定定理验证边长比例关系，能有效考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
要判断网格中的相似三角形，依据相似三角形“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，我们可以先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别求出4个三角形的三边长，再将各三角形的边长按从小到大排序，计算两组边的比值，若两个三角形的三边比值对应相等，则这两个三角形相似。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别计算各三角形的三边长：
三角形①的三边长从小到大依次为：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$2$，$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
三角形②的三边长从小到大依次为：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$3$；
三角形③的三边长从小到大依次为：$2$，$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$；
三角形④的三边长从小到大依次为：$3$，$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$\sqrt{4^2+3^2}=5$。
对比边长比值：
三角形①和③的三边比为 $\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，三边对应成比例，因此①和③是相似三角形。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题是典型的网格几何题，解题核心是先通过勾股定理准确计算各三角形的边长，再利用相似三角形的判定定理验证边长比例关系，能有效考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
