14. 已知$a$、$b$、$c$分别是$△ ABC$中$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$的对边，若关于$x$的方程$(b+c)x^2 - 2ax + c - b = 0$有两个相等的实数根，且$\sin B\cos A - \cos B\sin A = 0$，试判断$△ ABC$的形状。

14. $∵$关于$x$的方程$(b+c)x^2 - 2ax + c - b = 0$有两个相等的实数根,$∴(-2a)^2-4(b+c)(c-b)=0$.化简,得$a^2+b^2-c^2=0$,即$a^2+b^2=c^2$.又$∵\sin B\cos A - \cos B\sin A = 0,∴\dfrac{b}{c}·\dfrac{b}{c}-\dfrac{a}{c}·\dfrac{a}{c}=0.∴a=b. ∴△ABC$的形状为等腰直角三角形

【分析】
解题时从两个已知条件逐步推导：①首先，一元二次方程有两个相等的实数根，对应根的判别式Δ=0，将方程的系数代入判别式化简，可得到三角形三边的平方关系，判断是否为直角三角形；②再处理三角函数的等式，结合第一步得到的直角三角形结论，利用锐角三角函数的定义，将三角函数转化为三角形边的比值，代入等式化简可得到两条边相等的关系；最后结合两个推导结论即可判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵关于x的方程$(b+c)x^2 - 2ax + c - b = 0$有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta = (-2a)^2 - 4(b+c)(c - b) = 0$，
展开化简得：$4a^2 - 4(c^2 - b^2) = 0$，
两边同时除以4得：$a^2 + b^2 - c^2 = 0$，即$a^2 + b^2 = c^2$，
∴$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C = 90°$。
又
∵$\sin B\cos A - \cos B\sin A = 0$，
在$Rt△ ABC$中，根据锐角三角函数的定义：
$\sin B = \frac{b}{c}$，$\cos A = \frac{b}{c}$，$\cos B = \frac{a}{c}$，$\sin A = \frac{a}{c}$，
代入等式得：$\frac{b}{c} · \frac{b}{c} - \frac{a}{c} · \frac{a}{c} = 0$，
整理得：$\frac{b^2 - a^2}{c^2} = 0$，
∵$c ≠ 0$，
∴$b^2 = a^2$，
又
∵a、b为三角形的边长，均为正数，
∴$a = b$。
综上，$△ ABC$是等腰直角三角形。
【答案】
$△ ABC$的形状为等腰直角三角形
【知识点】
一元二次方程根的判别式；锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，将一元二次方程的根的性质、锐角三角函数和三角形形状判定结合考查，解题时需按条件逐步推导，理清各知识点之间的关联即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

1. 计算$4\sin30°$的结果为 【 】

A.$\frac{1}{2}$
B.$2$
C.$2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$

B

【分析】
本题考查特殊角的三角函数值的应用，解题思路很清晰：首先回忆30°角的正弦值，再将该值代入原式做乘法运算，就能得到最终结果。
【解析】
根据特殊角的三角函数值，可得$\sin30°=\frac{1}{2}$，
代入原式计算：$4\sin30°=4×\frac{1}{2}=2$。
因此选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数的乘法运算
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对特殊角三角函数值的记忆，熟练掌握30°、45°、60°这三类特殊角的三角函数值，就能快速解答这类计算题。
【难度系数】
0.9

2. 如图，以点O为圆心、任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心、AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则$\tan∠ AOB$的值为 【 】

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{3}$

D

【分析】
拿到这道题首先从作图步骤切入分析：第一步以O为圆心画弧，可得OA和OB都是圆O的半径，因此OA=OB；第二步以A为圆心、AO长为半径画弧得到点B，可得AB是圆A的半径，因此AB=AO。由此可推出△AOB三条边相等，是等边三角形，进而得到∠AOB的度数，最后代入特殊角的正切值即可算出结果。
【解析】
由尺规作图的性质可得：
$OB=OA$（同圆的半径相等），
$AB=AO$（同圆的半径相等），
$\therefore OA=OB=AB$，即$△ AOB$是等边三角形，
$\therefore ∠ AOB=60°$，
$\therefore \tan∠ AOB=\tan60°=\sqrt{3}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定；特殊角的三角函数值
【点评】
本题结合基础尺规作图考查几何性质和三角函数的应用，解题核心是根据作图过程推导三角形的形状，属于基础类常考题，掌握核心概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8

3. 在$△ ABC$中，$∠ A=105°$，$∠ B=45°$，则$\cos C$的值为 【 】

A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

B

【分析】
要求cosC的值，首先需要先求出∠C的度数。已知△ABC中两个内角的度数，根据三角形内角和为180°，可先计算出∠C的度数，再结合特殊角的三角函数值，即可得到cosC的结果，对应选出正确选项。
【解析】
第一步：利用三角形内角和定理求∠C的度数
在△ABC中，三角形内角和为180°，已知∠A=105°，∠B=45°，因此：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 105° - 45° = 30°$
第二步：计算cosC的值
根据特殊角的三角函数值可知，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\cos C=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题型，主要考查三角形内角和定理的应用以及特殊角三角函数值的记忆，熟练掌握相关基础知识点就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.85

4. 计算:
(1) $\cos 60° + \tan 45° - \tan 30° · \sin 60° =$ ;
(2) $\tan 60° - \sin^2 45° + \tan 45° - 2\cos 30° =$ ;
(3) $\dfrac{\tan 45° - \cos 60°}{\sin 60°} · \tan 30° =$ .

4. (1) 1 (2) $\frac{1}{2}$ (3) $\frac{1}{3}$

【分析】
解决此类题目需分两步思考：第一步，准确识记30°、45°、60°这三个特殊角的正弦、余弦、正切函数值；第二步，将原式中的三角函数替换为对应数值后，按照实数四则混合运算规则（先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内的）进行计算，过程中注意二次根式的化简，最终得到最简结果即可。
【解析】
首先明确常用特殊角的三角函数值：
$\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos 60°=\frac{1}{2}$，$\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan 30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan 45°=1$，$\tan 60°=\sqrt{3}$。
(1) 代入数值计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} × \frac{\sqrt{3}}{2}\\&=\frac{3}{2} - \frac{3}{6}\\&=\frac{3}{2} - \frac{1}{2}\\&=1\end{aligned}$
(2) 代入数值计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{3} - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 1 - 2×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=\sqrt{3} - \frac{1}{2} +1 - \sqrt{3}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
(3) 代入数值计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1 - \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} × \frac{\sqrt{3}}{3}\\&=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} × \frac{\sqrt{3}}{3}\\&=\frac{1}{\sqrt{3}} × \frac{\sqrt{3}}{3}\\&=\frac{1}{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{\dfrac{1}{2}}$；(3) $\boxed{\dfrac{1}{3}}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数混合运算；二次根式化简
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查特殊角三角函数值的记忆，计算时只要熟记对应数值、遵循运算顺序，就能顺利得出结果，注意计算过程中不要记错三角函数值，避免低级运算错误。
【难度系数】
0.8

8
5. 已知下列条件，求锐角$α$：
(1) 若$\sqrt{3}\tanα -1=0$，则$α=\_\_\_\_\_\_°$；
(2) 若$\cos(90° - α)=\frac{1}{2}$，则$α=\_\_\_\_\_\_°$；
(3) 若$\tan(α +20°)=1$，则$α=$$°$；
(4) 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\sin A=\frac{1}{2}$，则$\cos B=$。

5. (1) 30 (2) 30 (3) 25 (4) $\frac{1}{2}$

【分析】
本题是特殊角三角函数值的基础计算题，解题核心是熟记30°、45°、60°三个锐角的三角函数值，结合相关性质逐步推导：
1. 对于含三角函数的方程，先整理得到三角函数的具体值，再匹配对应特殊角的角度；
2. 遇到$\cos(90°-α)$这类形式，可利用互余角的三角函数关系转换，也可将$90°-α$看作整体找对应角度；
3. 直角三角形中两锐角互余，因此一个锐角的正弦等于另一个锐角的余弦，可直接转换计算，也可先求角度再算三角函数值。
【解析】
(1) 整理方程$\sqrt{3}\tanα -1=0$，移项得$\tanα=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且$α$是锐角，
∴$α=30°$。
(2) 将$90°-α$看作整体，
∵$\cos60°=\frac{1}{2}$，
∴$90°-α=60°$，解得$α=30°$。
(3)
∵$\tan45°=1$，
∴$α+20°=45°$，解得$α=45°-20°=25°$。
(4) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，因此$∠ A+∠ B=90°$，根据互余角的三角函数关系可得$\cos B=\sin A=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)30；(2)30；(3)25；(4)$\frac{1}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；互余角的三角函数关系；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础计算题，重点考察对特殊角三角函数值的熟练掌握程度，只要牢记30°、45°、60°角的各三角函数值，掌握互余角的三角函数转换规律，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.8