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8. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,M 是直角边AC 上一点,MN ⊥ AB 于点 N,AN =3,AM =4,求 cos B 的值.
答案
$∵∠C=90°, MN⊥AB,∴∠C=∠ANM=90°. 又∵∠A=∠A,∴△AMN∽△ABC. ∴\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AN}{AM}=\dfrac{3}{4}. 设AC=3x, AB=4x. 由勾股定理,得BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{7}x. 在Rt△ABC中,\cos B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{\sqrt{7}x}{4x}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$
解析
【分析】
要求cosB的值，根据余弦的定义，需先得到Rt△ABC中∠B的邻边BC与斜边AB的比值。观察图形可得：∠C=∠ANM=90°，且∠A是△AMN和△ABC的公共角，因此可先证明两个三角形相似，通过相似三角形的性质得到△ABC中边的比例关系，再结合勾股定理表示出BC的长度，最后代入余弦定义计算即可。
【解析】
解：
∵∠C=90°，MN⊥AB，
∴∠C=∠ANM=90°，
又
∵∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AN}{AM}=\dfrac{3}{4}$，
设$AC=3x$，$AB=4x$（$x＞0$），
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(4x)^2-(3x)^2}=\sqrt{7}x$，
∴$\cos B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{\sqrt{7}x}{4x}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{7}}{4}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题是锐角三角函数与相似三角形、勾股定理结合的基础题型，解题核心是通过公共角和直角证明三角形相似，将已知线段的比例转化为所求三角形的边长比例，计算过程中参数x可直接约去，无需求解x的具体值，这类题是三角函数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
要求cosB的值，根据余弦的定义，需先得到Rt△ABC中∠B的邻边BC与斜边AB的比值。观察图形可得：∠C=∠ANM=90°，且∠A是△AMN和△ABC的公共角，因此可先证明两个三角形相似，通过相似三角形的性质得到△ABC中边的比例关系，再结合勾股定理表示出BC的长度，最后代入余弦定义计算即可。
【解析】
解：
∵∠C=90°，MN⊥AB，
∴∠C=∠ANM=90°，
又
∵∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AN}{AM}=\dfrac{3}{4}$，
设$AC=3x$，$AB=4x$（$x＞0$），
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(4x)^2-(3x)^2}=\sqrt{7}x$，
∴$\cos B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{\sqrt{7}x}{4x}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{7}}{4}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题是锐角三角函数与相似三角形、勾股定理结合的基础题型，解题核心是通过公共角和直角证明三角形相似，将已知线段的比例转化为所求三角形的边长比例，计算过程中参数x可直接约去，无需求解x的具体值，这类题是三角函数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
9. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\sin A=\dfrac{4}{5}$，则$\cos A=$ 【 】
A.$\dfrac{5}{3}$
B.$\dfrac{3}{5}$
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{3}{4}$
A.$\dfrac{5}{3}$
B.$\dfrac{3}{5}$
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{3}{4}$
答案
B
解析
【分析】
本题是直角三角形中已知锐角正弦值求余弦值的基础题。解题时可从锐角三角函数的定义出发：先根据sinA的比值设出直角三角形的对应边长，再利用勾股定理求出第三边，最后根据余弦的定义计算cosA的值；也可利用同角锐角三角函数的平方关系直接求解，两种方法均符合学段知识要求，其中定义法更直观易懂。
【解析】
方法一（定义法）：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦的定义，$\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$。
设$BC=4k$（$k＞0$），则$AB=5k$，由勾股定理可得$∠A$的邻边$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(5k)^2-(4k)^2}=\sqrt{9k^2}=3k$。
再根据余弦的定义，$\cos A=\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}$。
方法二（同角三角函数关系法）：
因为$∠A$是直角三角形的锐角，满足$\sin^2A+\cos^2A=1$，代入$\sin A=\frac{4}{5}$得：
$\cos A=\sqrt{1-\sin^2A}=\sqrt{1-(\frac{4}{5})^2}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$（锐角的余弦值为正，故只取正根）。
综上本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数的定义、勾股定理、同角三角函数基本关系
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础考查题，两种解题方法都紧扣核心知识点，解题时需注意明确锐角三角函数中对边、邻边、斜边的对应关系，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.85
本题是直角三角形中已知锐角正弦值求余弦值的基础题。解题时可从锐角三角函数的定义出发：先根据sinA的比值设出直角三角形的对应边长，再利用勾股定理求出第三边，最后根据余弦的定义计算cosA的值；也可利用同角锐角三角函数的平方关系直接求解，两种方法均符合学段知识要求，其中定义法更直观易懂。
【解析】
方法一（定义法）：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦的定义，$\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$。
设$BC=4k$（$k＞0$），则$AB=5k$，由勾股定理可得$∠A$的邻边$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(5k)^2-(4k)^2}=\sqrt{9k^2}=3k$。
再根据余弦的定义，$\cos A=\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}$。
方法二（同角三角函数关系法）：
因为$∠A$是直角三角形的锐角，满足$\sin^2A+\cos^2A=1$，代入$\sin A=\frac{4}{5}$得：
$\cos A=\sqrt{1-\sin^2A}=\sqrt{1-(\frac{4}{5})^2}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$（锐角的余弦值为正，故只取正根）。
综上本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数的定义、勾股定理、同角三角函数基本关系
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础考查题，两种解题方法都紧扣核心知识点，解题时需注意明确锐角三角函数中对边、邻边、斜边的对应关系，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.85
10. 如图,在四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点.若EF=2,BC=5,CD=3,则$\tan C=$ 【 】
A.$\frac{4}{3}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
A.$\frac{4}{3}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
答案
A
解析
【分析】
首先观察到E、F是AB、AD的中点，可通过连接BD构造三角形中位线，利用中位线定理求出BD的长度；再结合△BCD的三边长度，用勾股定理的逆定理判断△BCD为直角三角形，最后根据正切的定义计算tanC的数值即可得到答案。
【解析】
解：连接BD，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
根据三角形中位线定理可得：BD=2EF=2×2=4。
在△BCD中，CD=3，BD=4，BC=5，
∵CD²+BD²=3²+4²=25，BC²=5²=25，
∴CD²+BD²=BC²，
由勾股定理的逆定理可知△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°。
根据正切的定义，在Rt△BCD中：
$\tan C=\frac{\mathrm{∠C的对边}}{\mathrm{∠C的邻边}}=\frac{BD}{CD}=\frac{4}{3}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理，勾股定理逆定理，正切的定义
【点评】
本题是基础综合题，解题的关键是添加辅助线BD构造三角形中位线和直角三角形，将分散的已知条件整合到同一个三角形中求解，考查了学生对基础定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察到E、F是AB、AD的中点，可通过连接BD构造三角形中位线，利用中位线定理求出BD的长度；再结合△BCD的三边长度，用勾股定理的逆定理判断△BCD为直角三角形，最后根据正切的定义计算tanC的数值即可得到答案。
【解析】
解：连接BD，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
根据三角形中位线定理可得：BD=2EF=2×2=4。
在△BCD中，CD=3，BD=4，BC=5，
∵CD²+BD²=3²+4²=25，BC²=5²=25，
∴CD²+BD²=BC²，
由勾股定理的逆定理可知△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°。
根据正切的定义，在Rt△BCD中：
$\tan C=\frac{\mathrm{∠C的对边}}{\mathrm{∠C的邻边}}=\frac{BD}{CD}=\frac{4}{3}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理，勾股定理逆定理，正切的定义
【点评】
本题是基础综合题，解题的关键是添加辅助线BD构造三角形中位线和直角三角形，将分散的已知条件整合到同一个三角形中求解，考查了学生对基础定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
11. 对于锐角α，已知$\sinα=\cos40°$，则α=
$50°$
.答案
11. $50°$
解析
【分析】
解题时首先观察等式特征：等式左边是锐角α的正弦值，右边是40°角的余弦值，因此需要用到互余两角的三角函数转换关系：对于任意锐角x，均满足sinx = cos(90°-x)、cosx = sin(90°-x)。我们可以先将cos40°转换为正弦形式，再结合α是锐角、相同正弦值对应的锐角唯一的特点，即可求出α的度数。
【解析】
解：根据互余两角的三角函数关系可得：
$\cos40°=\sin(90°-40°)=\sin50°$
已知$\sinα=\cos40°$，因此$\sinα=\sin50°$
又因为α是锐角，锐角的正弦值与角度一一对应，所以$α=50°$
【答案】
$50°$
【知识点】
1. 互余两角的三角函数关系
2. 锐角三角函数的性质
【点评】
本题是基础类题型，核心考查正弦与余弦的互余转换规律，解题时需注意题干中锐角的限定条件，排除不符合要求的角度解，熟练掌握三角函数的基本转换关系就能快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察等式特征：等式左边是锐角α的正弦值，右边是40°角的余弦值，因此需要用到互余两角的三角函数转换关系：对于任意锐角x，均满足sinx = cos(90°-x)、cosx = sin(90°-x)。我们可以先将cos40°转换为正弦形式，再结合α是锐角、相同正弦值对应的锐角唯一的特点，即可求出α的度数。
【解析】
解：根据互余两角的三角函数关系可得：
$\cos40°=\sin(90°-40°)=\sin50°$
已知$\sinα=\cos40°$，因此$\sinα=\sin50°$
又因为α是锐角，锐角的正弦值与角度一一对应，所以$α=50°$
【答案】
$50°$
【知识点】
1. 互余两角的三角函数关系
2. 锐角三角函数的性质
【点评】
本题是基础类题型，核心考查正弦与余弦的互余转换规律，解题时需注意题干中锐角的限定条件，排除不符合要求的角度解，熟练掌握三角函数的基本转换关系就能快速作答。
【难度系数】
0.9
12. (1)(遂宁期末)如图①，实线部分是一个正方体展开图，点A、B、C、D、E均在$△ MBN$的边上，则$\cos N=$
(2)(南通中考)如图②，网格图中每个小正方形的面积都为1.经过网格点A的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中$△ BMN$的面积为3，则$\sin∠ MNB$的值为
$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
。(2)(南通中考)如图②，网格图中每个小正方形的面积都为1.经过网格点A的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中$△ BMN$的面积为3，则$\sin∠ MNB$的值为
$\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
。答案
12. (1) $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ (2) $\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
解析
【分析】
(1) 求$\cos N$需利用余弦的定义：直角三角形中锐角的余弦是邻边与斜边的比值。首先将$∠ N$置于$\mathrm{Rt}△ MBN$中，设小正方形边长为1，先确定两条直角边的长度，再用勾股定理求斜边，最后代入定义计算即可。
(2) 求$\sin∠ MNB$需先得到$\mathrm{Rt}△ MBN$的直角边长度：结合网格特点，设小正方形边长为1，利用$△ BMN$的面积为3、直线过点A的条件列方程求出两条直角边，再用勾股定理求斜边，最后代入正弦定义化简计算即可。
【解析】
(1) 设正方体展开图中每个小正方形的边长为1，由图可知$∠ B=90°$，$MB=3$，$BN=6$。
由勾股定理得：$MN=\sqrt{MB^2+BN^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}$。
根据余弦的定义：$\cos N=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BN}{MN}=\frac{6}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
(2) 设每个小正方形的边长为1，记$BN=a$，$BM=b$，$∠ B=90°$。
由$△ BMN$的面积为3，得$\frac{1}{2}ab=3$，即$ab=6$。
过点A分别作$AP⊥ BN$于P，$AQ⊥ BM$于Q，易得$AP=1$，$AQ=1$，且$△ NAP ∽ △ NMB$，则$\frac{AP}{MB}=\frac{NP}{NB}$，即$\frac{1}{b}=\frac{a-1}{a}$，整理得$a+b=ab=6$。
联立$\begin{cases}ab=6\\a+b=6\end{cases}$，可知$a,b$是方程$t^2-6t+6=0$的两根，解得$t=3\pm\sqrt{3}$。
因为$∠ MNB$为较小锐角，故$b＜a$，即$BM=3-\sqrt{3}$，$BN=3+\sqrt{3}$。
由勾股定理得：$MN=\sqrt{BM^2+BN^2}=\sqrt{(3-\sqrt{3})^2+(3+\sqrt{3})^2}=2\sqrt{6}$。
根据正弦的定义：$\sin∠ MNB=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BM}{MN}=\frac{3-\sqrt{3}}{2\sqrt{6}}=\frac{(3-\sqrt{3})×\sqrt{6}}{2\sqrt{6}×\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$。
【答案】
(1) $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$；(2) $\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合展开图、网格背景考查锐角三角函数的计算，解题关键是将所求角置于直角三角形中，结合图形性质求出直角三角形的各边长，计算时要注意二次根式的化简规范。
【难度系数】
0.6
(1) 求$\cos N$需利用余弦的定义：直角三角形中锐角的余弦是邻边与斜边的比值。首先将$∠ N$置于$\mathrm{Rt}△ MBN$中，设小正方形边长为1，先确定两条直角边的长度，再用勾股定理求斜边，最后代入定义计算即可。
(2) 求$\sin∠ MNB$需先得到$\mathrm{Rt}△ MBN$的直角边长度：结合网格特点，设小正方形边长为1，利用$△ BMN$的面积为3、直线过点A的条件列方程求出两条直角边，再用勾股定理求斜边，最后代入正弦定义化简计算即可。
【解析】
(1) 设正方体展开图中每个小正方形的边长为1，由图可知$∠ B=90°$，$MB=3$，$BN=6$。
由勾股定理得：$MN=\sqrt{MB^2+BN^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}$。
根据余弦的定义：$\cos N=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BN}{MN}=\frac{6}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
(2) 设每个小正方形的边长为1，记$BN=a$，$BM=b$，$∠ B=90°$。
由$△ BMN$的面积为3，得$\frac{1}{2}ab=3$，即$ab=6$。
过点A分别作$AP⊥ BN$于P，$AQ⊥ BM$于Q，易得$AP=1$，$AQ=1$，且$△ NAP ∽ △ NMB$，则$\frac{AP}{MB}=\frac{NP}{NB}$，即$\frac{1}{b}=\frac{a-1}{a}$，整理得$a+b=ab=6$。
联立$\begin{cases}ab=6\\a+b=6\end{cases}$，可知$a,b$是方程$t^2-6t+6=0$的两根，解得$t=3\pm\sqrt{3}$。
因为$∠ MNB$为较小锐角，故$b＜a$，即$BM=3-\sqrt{3}$，$BN=3+\sqrt{3}$。
由勾股定理得：$MN=\sqrt{BM^2+BN^2}=\sqrt{(3-\sqrt{3})^2+(3+\sqrt{3})^2}=2\sqrt{6}$。
根据正弦的定义：$\sin∠ MNB=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BM}{MN}=\frac{3-\sqrt{3}}{2\sqrt{6}}=\frac{(3-\sqrt{3})×\sqrt{6}}{2\sqrt{6}×\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$。
【答案】
(1) $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$；(2) $\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合展开图、网格背景考查锐角三角函数的计算，解题关键是将所求角置于直角三角形中，结合图形性质求出直角三角形的各边长，计算时要注意二次根式的化简规范。
【难度系数】
0.6
13.（攀枝花中考）如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$的对边分别为$a$、$b$、$c$。
（1）根据锐角三角函数的定义，求证：$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$；
（2）若$\sin A = \frac{1}{3}$，求$\cos A$的值。
（1）根据锐角三角函数的定义，求证：$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$；
（2）若$\sin A = \frac{1}{3}$，求$\cos A$的值。
答案
13. （1）在Rt△ABC中，∠C=90°.
∴$a^2+b^2=c^2$，$\sin A=\dfrac{a}{c},\cos A=\dfrac{b}{c}$. $∴\sin^2 A + \cos^2 A = (\dfrac{a}{c})^2 + (\dfrac{b}{c})^2 = \dfrac{a^2}{c^2}+\dfrac{b^2}{c^2}=\dfrac{a^2+b^2}{c^2}=\dfrac{c^2}{c^2}=1$ （2）$∵\sin^2 A + \cos^2 A =1,∴\dfrac{1}{9}+\cos^2 A=1.∴\cos^2 A=\dfrac{8}{9}.∴\cos A=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ 或 $\cos A=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$(舍去). $∴\cos A$的值为$\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
∴$a^2+b^2=c^2$，$\sin A=\dfrac{a}{c},\cos A=\dfrac{b}{c}$. $∴\sin^2 A + \cos^2 A = (\dfrac{a}{c})^2 + (\dfrac{b}{c})^2 = \dfrac{a^2}{c^2}+\dfrac{b^2}{c^2}=\dfrac{a^2+b^2}{c^2}=\dfrac{c^2}{c^2}=1$ （2）$∵\sin^2 A + \cos^2 A =1,∴\dfrac{1}{9}+\cos^2 A=1.∴\cos^2 A=\dfrac{8}{9}.∴\cos A=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ 或 $\cos A=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$(舍去). $∴\cos A$的值为$\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
解析
【分析】
（1）要证明$\sin^2 A + \cos^2 A =1$，首先结合锐角三角函数的定义，分别写出$\sin A$和$\cos A$关于直角三角形三边的表达式，再将两个表达式平方后求和，最后结合勾股定理$a^2+b^2=c^2$化简即可完成证明。
（2）第（1）问已经证明了同角的正弦和余弦的平方和为1，直接将$\sin A=\frac{1}{3}$代入该公式，计算得到$\cos^2 A$的值，再结合$∠ A$是锐角、余弦值为正数的性质，舍去负的结果即可得到$\cos A$的取值。
【解析】
（1）证明：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
由勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2$，
根据锐角三角函数的定义可知：$\sin A = \frac{a}{c}$，$\cos A = \frac{b}{c}$，
$\begin{aligned}\therefore \sin^2 A + \cos^2 A &= (\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 \\&= \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} \\&= \frac{a^2 + b^2}{c^2} \\&= \frac{c^2}{c^2} = 1\end{aligned}$
（2）解：由（1）的结论可得$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$，
将$\sin A = \frac{1}{3}$代入上式得：$(\frac{1}{3})^2 + \cos^2 A = 1$，
即$\frac{1}{9} + \cos^2 A =1$，解得$\cos^2 A = \frac{8}{9}$，
$\because ∠ A$是锐角，$\therefore \cos A ＞0$，
$\therefore \cos A = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$（负根不符合题意舍去）。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，同角三角函数基本关系
【点评】
本题从锐角三角函数的定义出发，结合勾股定理推导了同角正弦、余弦的平方关系，再直接应用该关系求解三角函数值，解题时要注意锐角的三角函数值均为正数，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
（1）要证明$\sin^2 A + \cos^2 A =1$，首先结合锐角三角函数的定义，分别写出$\sin A$和$\cos A$关于直角三角形三边的表达式，再将两个表达式平方后求和，最后结合勾股定理$a^2+b^2=c^2$化简即可完成证明。
（2）第（1）问已经证明了同角的正弦和余弦的平方和为1，直接将$\sin A=\frac{1}{3}$代入该公式，计算得到$\cos^2 A$的值，再结合$∠ A$是锐角、余弦值为正数的性质，舍去负的结果即可得到$\cos A$的取值。
【解析】
（1）证明：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
由勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2$，
根据锐角三角函数的定义可知：$\sin A = \frac{a}{c}$，$\cos A = \frac{b}{c}$，
$\begin{aligned}\therefore \sin^2 A + \cos^2 A &= (\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 \\&= \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} \\&= \frac{a^2 + b^2}{c^2} \\&= \frac{c^2}{c^2} = 1\end{aligned}$
（2）解：由（1）的结论可得$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$，
将$\sin A = \frac{1}{3}$代入上式得：$(\frac{1}{3})^2 + \cos^2 A = 1$，
即$\frac{1}{9} + \cos^2 A =1$，解得$\cos^2 A = \frac{8}{9}$，
$\because ∠ A$是锐角，$\therefore \cos A ＞0$，
$\therefore \cos A = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$（负根不符合题意舍去）。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，同角三角函数基本关系
【点评】
本题从锐角三角函数的定义出发，结合勾股定理推导了同角正弦、余弦的平方关系，再直接应用该关系求解三角函数值，解题时要注意锐角的三角函数值均为正数，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
