1.（常州中考）如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AB=3$，$AC=4$，则$\sin B$的值是 【 】


A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{4}{3}$

C

【分析】
要求$\sin B$的值，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。本题中$\mathrm{Rt}△ABC$的直角为$∠ A$，因此斜边是$BC$，$∠ B$的对边是$AC$，已知$AC=4$，但斜边$BC$未知，所以第一步先用勾股定理计算$BC$的长度，再代入正弦定义计算即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ A=90°$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
根据锐角正弦的定义，$\sin B$为$∠ B$的对边与斜边的比值，$∠ B$的对边是$AC$，斜边是$BC$，因此：
$\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{5}$
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查对锐角正弦定义的理解和勾股定理的简单应用，准确找到所求锐角的对边和对应斜边是解题的关键。
【难度系数】
0.85

2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$△ ABC$的三边都放大2倍，则$\cos A$的值 【 】

A.缩小$\frac{1}{2}$
B.放大2倍
C.不变
D.无法确定

C

【分析】
解题可按以下思路推导：首先回忆锐角余弦的定义，直角三角形中一个锐角的余弦值等于该角的邻边与斜边的比值；其次分析边长缩放的影响，当三边同时放大2倍时，∠A的邻边和斜边会同时扩大2倍，分子分母同乘一个不为0的数，比值不变，因此可判断cosA的大小不变。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角余弦的定义可得：
$\cos A = \frac{∠ A\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AC}{AB}$
将$△ ABC$的三边都放大2倍后，∠A的大小不变，新的邻边长度为$2AC$，新的斜边长度为$2AB$，此时：
$\cos A = \frac{2AC}{2AB} = \frac{AC}{AB}$
和原$\cos A$的数值相等，因此$\cos A$的值不变。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数的定义，比例的基本性质
【点评】
本题主要考查对锐角三角函数本质的理解，三角函数值是直角三角形对应边的比值，仅与角的大小有关，与边长的缩放无关，属于基础概念类题目。
【难度系数】
0.9

3. 若$∠ A + ∠ B = 90°, \sin A = \frac{2}{3}$, 则$\cos B$的值为 【 】

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{2}$
D.1

B

【分析】
首先观察题目条件：∠A与∠B的和为90°，说明两个角互余，要求cosB的值有两种思路：一是直接利用互余两角的三角函数关系，一个锐角的余弦等于它余角的正弦，直接对应sinA的值求解；二是结合锐角三角函数的定义，在直角三角形中分别写出sinA和cosB的表达式，对比发现二者相等，进而求出结果。
【解析】
方法一：利用互余角的三角函数关系求解
∵ $∠ A + ∠ B = 90°$
∴ $∠ B = 90° - ∠ A$
根据互余锐角的三角函数规律：$\cos(90°-α) = \sinα$
可得 $\cos B = \cos(90°-∠ A) = \sin A$
已知 $\sin A = \frac{2}{3}$，因此 $\cos B = \frac{2}{3}$
方法二：利用锐角三角函数定义验证
设在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，则$∠ A + ∠ B = 90°$，符合题设条件
根据正弦函数定义：$\sin A = \frac{∠A的对边}{斜边} = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{3}$
根据余弦函数定义：$\cos B = \frac{∠B的邻边}{斜边}$，$∠ B$的邻边为$BC$，因此$\cos B = \frac{BC}{AB}$
对比可得 $\cos B = \sin A = \frac{2}{3}$
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.互余两角的三角函数关系 2.锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查互余锐角的三角函数转化规律，熟练掌握该规律可直接快速得出答案，也可通过三角函数定义推导，进一步验证结论的正确性。
【难度系数】
0.8

4. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$, $BC=6$, $AB=10$, $CD⊥ AB$于点D,则$\tan∠ BCD$的值为 【 】

A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{3}$

A

【分析】
要求$\tan∠BCD$的值，可先分析角的数量关系：在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$CD⊥AB$，可得$∠BCD+∠B=90°$，$∠A+∠B=90°$，根据同角的余角相等，可推出$∠BCD=∠A$，因此只需计算$\tan∠A$即可得到结果。接下来先用勾股定理求出$AC$的长度，再结合正切的定义计算$\tan∠A$的值即可。
【解析】
解：在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$BC=6$，$AB=10$，
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$，
∵$CD⊥AB$，
∴$∠CDB=90°$，
∴$∠BCD+∠B=90°$，
又
∵$∠A+∠B=90°$，
∴$∠BCD=∠A$（同角的余角相等），
∴$\tan∠BCD=\tan∠A=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，余角的性质
【点评】
本题的解题核心是利用互余关系将未知角转化为直角三角形的已知锐角，简化了计算步骤，需要熟练掌握直角三角形的角的关系和锐角三角函数的定义。
【难度系数】
0.7

5. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，则$∠ A$的余弦值为________。

$\dfrac{3}{5}$

【分析】
要解决本题，首先明确锐角余弦的定义：直角三角形中，一个锐角的余弦值等于该角的邻边长度与斜边长度的比值。解题时先通过勾股定理计算出直角三角形的斜边长度，再找到∠A的邻边，最后代入余弦定义计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$
∴ 根据勾股定理，斜边$AB$的长度为：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
根据锐角余弦的定义，$∠ A$的邻边为$AC$，因此：
$\cos A=\frac{∠ A\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\dfrac{3}{5}$
【知识点】
勾股定理；锐角余弦的定义
【点评】
本题是基础题，解题核心是熟记锐角三角函数中余弦的定义，结合勾股定理求出斜边长度后即可快速求解，注意不要混淆邻边和对边的对应关系。
【难度系数】
0.9

6. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，若两直角边$a$、$b$满足$|2b - 10| + \sqrt{12 - a} = 0$，则三角形中最小的角的正切值是________。

$\dfrac{5}{12}$

【分析】
解题思路分为三步：第一步，根据绝对值和算术平方根的非负性，两个非负数相加和为0，则每个非负数都为0，据此列方程求出两条直角边a、b的长度；第二步，依据直角三角形“小边对小角”的边角关系，确定最短直角边对应的角是最小角；第三步，根据正切的定义（锐角的正切值等于对边与邻边的比值），计算最小角的正切值即可。
【解析】
解：
∵ 绝对值和算术平方根均为非负数，即$|2b - 10|≥0$，$\sqrt{12 - a}≥0$，且$|2b - 10| + \sqrt{12 - a} = 0$
∴ $\begin{cases}2b - 10 = 0 \\12 - a = 0 \end{cases}$
解得：$\begin{cases}a = 12 \\b = 5 \end{cases}$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据“小边对小角”的性质，长度为5的直角边所对的锐角为最小角。
根据正切的定义：锐角的正切值=对边长度÷邻边长度
可得最小角的正切值为$\frac{5}{12}$。
【答案】
$\dfrac{5}{12}$
【知识点】
非负数的性质、直角三角形边角关系、正切的定义
【点评】
本题属于基础综合题，将非负数的性质与锐角三角函数的基础定义结合考查，解题核心是先求出两条直角边的长度，再结合直角三角形边与角的对应关系确定最小角，熟练掌握基础概念就能快速求解。
【难度系数】
0.7

7. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=8$,$BC=4$,求$\cos A$和$\tan A$的值.

$∵∠C=90°, AB=8, BC=4,∴AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}. ∴\cos A=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{4\sqrt{3}}{8}=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\tan A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{4}{4\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

【分析】
本题是直角三角形中锐角三角函数的求解问题，解题思路分两步：首先，已知直角三角形的斜边和一条直角边，可先通过勾股定理计算出第三条边AC的长度，为三角函数计算准备条件；其次，回忆锐角三角函数的定义，明确∠A的余弦是其邻边与斜边的比值，正切是其对边与邻边的比值，代入对应边长计算并化简即可得到结果。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=8$，$BC=4$，
∴由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，
根据锐角三角函数的定义：
$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{4\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\cos A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan A=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
勾股定理，余弦的定义，正切的定义
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题型，核心是掌握勾股定理和锐角三角函数的对应定义，计算时注意将结果中的二次根式化为最简形式，可有效避免失分。
【难度系数】
0.8