9.(1)设$n$为正整数，图3-10中大正方形的面积为1个平方单位.

根据图3-10可得：
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots + \frac{1}{2^n} = 1 - \frac{1}{2^n}.$
运用代数方法进行验证：
设 $S = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots + \frac{1}{2^{n-1}} + \frac{1}{2^n},$
$2S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots + \frac{1}{2^{n-1}},$
将以上两式相减，得 $S = 1 - \frac{1}{2^n}.$
(2)观察图3-11，你得出了什么结论？

结合图3-11可得出结论：
$\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{3^n} = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3^n}).$
试用代数方法进行验证.
(3)观察图3-12，你得出了什么结论？

试结合图3-12先猜想：
$\frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \dots + \frac{1}{4^n} = \underline{\hspace{5cm}},$
然后用代数方法进行验证.
(4)设$m,n$均为正整数，猜想：
$\frac{1}{m} + \frac{1}{m^2} + \frac{1}{m^3} + \dots + \frac{1}{m^n} = \underline{\hspace{5cm}},$
并尝试用代数方法验证你得到的结论.
(5)如果$x ≠ 0,n$为正整数，根据以上研究过程中得到的结论猜想：
$1 + x + x^2 + \dots + x^n = \underline{\hspace{5cm}},$
并用代数方法验证你得到的结论.

(2)、(3)、(4)、(5) 的验证方法可仿照(1)略。
(3) 结合图形可以得到
$3(\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\dots+\frac{1}{4^n})=1-\frac{1}{4^n}.$
$\therefore \frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\dots+\frac{1}{4^n}=\frac{1}{3}(1-\frac{1}{4^n}).$
(4) $\frac{1}{m-1}(1-\frac{1}{m^n}).$
(5) $\frac{1-x^{n+1}}{1-x}.$