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知识点 求不等式组解集的方法
同大取
同大取
大
，同小取小
，大小小大中间
找，大大小小找不到。答案
大 小 中间
例 1 解不等式组$\begin{cases}2 - x ＜ 0, \\ \dfrac{x}{4} ≤ \dfrac{x + 1}{5}, \end{cases}$并把它的解集在数轴上表示出来。
答案
【点拨】先解不等式组中的每一个不等式，再根据“同大取大”“同小取小”“大小小大中间找”“大大小小无处找”把解集表示出来。需要注意的是：大于向右画，小于向左画；包括端点用“实心点”，不包括端点用“空心圈”；数轴上没有端点的值时，写出端点的值。
【解】由$2 - x ＜ 0$，得$x ＞ 2$。
由$\dfrac{x}{4} ≤ \dfrac{x + 1}{5}$，得$5x ≤ 4(x + 1)$，
所以$5x ≤ 4x + 4$，解得$x ≤ 4$。
所以不等式组的解集为$2 ＜ x ≤ 4$。
解集在数轴上表示如图所示。
【变式训练 1】解不等式组：
$\begin{cases}2(x + 5) ＜ 5x - 1, \\ \dfrac{2x}{3} - \dfrac{3x - 1}{4} ≤ 1。 \end{cases}$
$\begin{cases}2(x + 5) ＜ 5x - 1, \\ \dfrac{2x}{3} - \dfrac{3x - 1}{4} ≤ 1。 \end{cases}$
答案
$ x ＞ \dfrac { 11 } { 3 } $
解析
解：解不等式$2(x + 5) ＜ 5x - 1$，
去括号得$2x + 10 ＜ 5x - 1$，
移项得$2x - 5x ＜ -1 - 10$，
合并同类项得$-3x ＜ -11$，
系数化为$1$得$x ＞ \dfrac{11}{3}$。
解不等式$\dfrac{2x}{3} - \dfrac{3x - 1}{4} ≤ 1$，
去分母得$8x - 3(3x - 1) ≤ 12$，
去括号得$8x - 9x + 3 ≤ 12$，
移项得$8x - 9x ≤ 12 - 3$，
合并同类项得$-x ≤ 9$，
系数化为$1$得$x ≥ -9$。
所以不等式组的解集为$x ＞ \dfrac{11}{3}$。
去括号得$2x + 10 ＜ 5x - 1$，
移项得$2x - 5x ＜ -1 - 10$，
合并同类项得$-3x ＜ -11$，
系数化为$1$得$x ＞ \dfrac{11}{3}$。
解不等式$\dfrac{2x}{3} - \dfrac{3x - 1}{4} ≤ 1$，
去分母得$8x - 3(3x - 1) ≤ 12$，
去括号得$8x - 9x + 3 ≤ 12$，
移项得$8x - 9x ≤ 12 - 3$，
合并同类项得$-x ≤ 9$，
系数化为$1$得$x ≥ -9$。
所以不等式组的解集为$x ＞ \dfrac{11}{3}$。
例 2 已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}2x - y = 1 + 2a, \\ x + 4y = 2 + a。 \end{cases}$若此方程组的解满足$-1 ＜ x + y ≤ 3$，求$a$的取值范围。
答案
【点拨】先把$a$当作已知数求出$x$，$y$的值，再由$-1 ＜ x + y ≤ 3$得到关于$a$的不等式组，从而求出$a$的取值范围。
【解】$\begin{cases}2x - y = 1 + 2a, ① \\ x + 4y = 2 + a。 ② \end{cases}$
① + ②，得$3x + 3y = 3a + 3$。
解得$x + y = 1 + a$。
因为$-1 ＜ x + y ≤ 3$，
所以$-1 ＜ 1 + a ≤ 3$，
所以$-2 ＜ a ≤ 2$。
【解】$\begin{cases}2x - y = 1 + 2a, ① \\ x + 4y = 2 + a。 ② \end{cases}$
① + ②，得$3x + 3y = 3a + 3$。
解得$x + y = 1 + a$。
因为$-1 ＜ x + y ≤ 3$，
所以$-1 ＜ 1 + a ≤ 3$，
所以$-2 ＜ a ≤ 2$。
【变式训练 2】若关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x + 2y = 3k - 1, \\ 2x + y = 7\end{cases}$的解满足$0 ＜ x + y ＜ 4$，则$k$的取值范围是 ______ 。
答案
$ - 2 ＜ k ＜ 2 $
解析
$\begin{cases}x + 2y = 3k - 1, \\ 2x + y = 7\end{cases}$
将两个方程相加得：$3x + 3y = 3k + 6$，即$x + y = k + 2$
因为$0 ＜ x + y ＜ 4$，所以$0 ＜ k + 2 ＜ 4$
解得$-2 ＜ k ＜ 2$
$-2 ＜ k ＜ 2$
将两个方程相加得：$3x + 3y = 3k + 6$，即$x + y = k + 2$
因为$0 ＜ x + y ＜ 4$，所以$0 ＜ k + 2 ＜ 4$
解得$-2 ＜ k ＜ 2$
$-2 ＜ k ＜ 2$
1. 已知点$P(x - 2, 6 - 2x)$是平面直角坐标系中第二象限内的点，则$x$的取值范围在数轴上表示正确的是(
C
)答案
1. C
解析
解：
∵点$P(x - 2, 6 - 2x)$在第二象限，
∴$\begin{cases}x - 2 ＜ 0 \\ 6 - 2x ＞ 0\end{cases}$，
解$x - 2 ＜ 0$得$x ＜ 2$，
解$6 - 2x ＞ 0$得$x ＜ 3$，
∴$x$的取值范围是$x ＜ 2$。
在数轴上表示为选项C。
C
∵点$P(x - 2, 6 - 2x)$在第二象限，
∴$\begin{cases}x - 2 ＜ 0 \\ 6 - 2x ＞ 0\end{cases}$，
解$x - 2 ＜ 0$得$x ＜ 2$，
解$6 - 2x ＞ 0$得$x ＜ 3$，
∴$x$的取值范围是$x ＜ 2$。
在数轴上表示为选项C。
C
