登录
2. 不等式组$\begin{cases}x - 7 ＞ 3(1 - 3x), \\ \dfrac{2 - x}{3} ≥ -1 + x\end{cases}$的解集在数轴上表示为( )
答案
2. D
解析
解不等式组：
1. 解$x - 7 ＞ 3(1 - 3x)$：
$x - 7 ＞ 3 - 9x$
$x + 9x ＞ 3 + 7$
$10x ＞ 10$
$x ＞ 1$
2. 解$\frac{2 - x}{3} ≥ -1 + x$：
$2 - x ≥ -3 + 3x$
$-x - 3x ≥ -3 - 2$
$-4x ≥ -5$
$x ≤ \frac{5}{4} = 1.25$
综上，不等式组的解集为$1 ＜ x ≤ 1.25$，在数轴上表示为选项D。
D
1. 解$x - 7 ＞ 3(1 - 3x)$：
$x - 7 ＞ 3 - 9x$
$x + 9x ＞ 3 + 7$
$10x ＞ 10$
$x ＞ 1$
2. 解$\frac{2 - x}{3} ≥ -1 + x$：
$2 - x ≥ -3 + 3x$
$-x - 3x ≥ -3 - 2$
$-4x ≥ -5$
$x ≤ \frac{5}{4} = 1.25$
综上，不等式组的解集为$1 ＜ x ≤ 1.25$，在数轴上表示为选项D。
D
3. 已知不等式组$\begin{cases}x + 2 ＞ m + n, \\ x - 1 ＜ m - 1\end{cases}$的解集为$-1 ＜ x ＜ 2$，则$(m + n)^{2025} =$( )
A.$2025$
B.$-2025$
C.$-1$
D.$1$
A.$2025$
B.$-2025$
C.$-1$
D.$1$
答案
3. D
解析
解：解不等式组$\begin{cases}x + 2 ＞ m + n \\ x - 1 ＜ m - 1\end{cases}$，得$\begin{cases}x＞m + n - 2 \\ x＜m\end{cases}$。
因为不等式组的解集为$-1＜x＜2$，所以$\begin{cases}m + n - 2=-1 \\ m=2\end{cases}$。
由$m=2$，代入$m + n - 2=-1$，得$2 + n - 2=-1$，解得$n=-1$。
则$m + n=2 + (-1)=1$，所以$(m + n)^{2025}=1^{2025}=1$。
D
因为不等式组的解集为$-1＜x＜2$，所以$\begin{cases}m + n - 2=-1 \\ m=2\end{cases}$。
由$m=2$，代入$m + n - 2=-1$，得$2 + n - 2=-1$，解得$n=-1$。
则$m + n=2 + (-1)=1$，所以$(m + n)^{2025}=1^{2025}=1$。
D
4. 不等式组$\begin{cases}11 - 2(x - 3) ≥ 3(x - 1), \\ x - 2 ＞ \dfrac{1 - 2x}{3}\end{cases}$的解集是 ______ 。
答案
4. $ \dfrac { 7 } { 5 } ＜ x ≤ 4 $
解析
解不等式组：
1. 解不等式 $11 - 2(x - 3) ≥ 3(x - 1)$：
$ 11 - 2x + 6 ≥ 3x - 3 \\ 17 - 2x ≥ 3x - 3 \\ -5x ≥ -20 \\ x ≤ 4 $
2. 解不等式 $x - 2 ＞ \dfrac{1 - 2x}{3}$：
$ 3(x - 2) ＞ 1 - 2x \\ 3x - 6 ＞ 1 - 2x \\ 5x ＞ 7 \\ x ＞ \dfrac{7}{5} $
综上，不等式组的解集为 $\dfrac{7}{5} ＜ x ≤ 4$。
$\dfrac{7}{5} ＜ x ≤ 4$
1. 解不等式 $11 - 2(x - 3) ≥ 3(x - 1)$：
$ 11 - 2x + 6 ≥ 3x - 3 \\ 17 - 2x ≥ 3x - 3 \\ -5x ≥ -20 \\ x ≤ 4 $
2. 解不等式 $x - 2 ＞ \dfrac{1 - 2x}{3}$：
$ 3(x - 2) ＞ 1 - 2x \\ 3x - 6 ＞ 1 - 2x \\ 5x ＞ 7 \\ x ＞ \dfrac{7}{5} $
综上，不等式组的解集为 $\dfrac{7}{5} ＜ x ≤ 4$。
$\dfrac{7}{5} ＜ x ≤ 4$
5. 若不等式组$\begin{cases}x - b ＜ 0, \\ x + a ＞ 0\end{cases}$的解集为$2 ＜ x ＜ 3$，则$a =$ ______ ，$b =$ ______ 。
答案
5. $ - 2 $ 3
解析
解不等式组$\begin{cases}x - b ＜ 0 \\ x + a ＞ 0\end{cases}$，得$-a ＜ x ＜ b$。
因为解集为$2 ＜ x ＜ 3$，所以$-a = 2$，$b = 3$，解得$a = -2$，$b = 3$。
$-2$；$3$
因为解集为$2 ＜ x ＜ 3$，所以$-a = 2$，$b = 3$，解得$a = -2$，$b = 3$。
$-2$；$3$
6. 已知$\dfrac{3}{4} ＜ \dfrac{x}{36} ＜ \dfrac{8}{9}$，且$\dfrac{x}{36}$是最简分数，则$x =$
29 或 31
。答案
6. 29 或 31
解析
将不等式$\dfrac{3}{4} ＜ \dfrac{x}{36} ＜ \dfrac{8}{9}$各项乘以36，得$27 ＜ x ＜ 32$，则$x$可能为28，29，30，31。
因为$\dfrac{x}{36}$是最简分数，即$x$与36互质。
$28$与36的最大公因数为4，不互质；
$29$与36互质；
$30$与36的最大公因数为6，不互质；
$31$与36互质。
所以$x = 29$或$31$。
29 或 31
因为$\dfrac{x}{36}$是最简分数，即$x$与36互质。
$28$与36的最大公因数为4，不互质；
$29$与36互质；
$30$与36的最大公因数为6，不互质；
$31$与36互质。
所以$x = 29$或$31$。
29 或 31
7. 解不等式组$\begin{cases}3(x - 2) ＞ 5x - 8, \\ \dfrac{2x - 1}{3} ≥ \dfrac{x}{2} - 1, \end{cases}$并把解集在数轴上表示出来。
答案
7. $ - 4 ≤ x ＜ 1 $
解析
解：解不等式$3(x - 2) ＞ 5x - 8$，
$3x - 6 ＞ 5x - 8$，
$3x - 5x ＞ -8 + 6$，
$-2x ＞ -2$，
$x ＜ 1$。
解不等式$\dfrac{2x - 1}{3} ≥ \dfrac{x}{2} - 1$，
$2(2x - 1) ≥ 3x - 6$，
$4x - 2 ≥ 3x - 6$，
$4x - 3x ≥ -6 + 2$，
$x ≥ -4$。
所以不等式组的解集为$-4 ≤ x ＜ 1$。
数轴表示（此处文字描述，实际考试需画出数轴）：在数轴上，从$-4$（包括$-4$，用实心点）向右画，到$1$（不包括$1$，用空心圈）结束。
$3x - 6 ＞ 5x - 8$，
$3x - 5x ＞ -8 + 6$，
$-2x ＞ -2$，
$x ＜ 1$。
解不等式$\dfrac{2x - 1}{3} ≥ \dfrac{x}{2} - 1$，
$2(2x - 1) ≥ 3x - 6$，
$4x - 2 ≥ 3x - 6$，
$4x - 3x ≥ -6 + 2$，
$x ≥ -4$。
所以不等式组的解集为$-4 ≤ x ＜ 1$。
数轴表示（此处文字描述，实际考试需画出数轴）：在数轴上，从$-4$（包括$-4$，用实心点）向右画，到$1$（不包括$1$，用空心圈）结束。
8. 已知方程组$\begin{cases}x + y = -7 - m, \\ x - y = 1 + 3m \end{cases}$的解$x$，$y$的值都小于$1$，求$m$的取值范围。
答案
8. $ - \dfrac { 5 } { 2 } ＜ m ＜ 4 $
解析
解：解方程组$\begin{cases}x + y = -7 - m \\ x - y = 1 + 3m\end{cases}$，
两式相加得：$2x = -6 + 2m$，解得$x = m - 3$，
两式相减得：$2y = -8 - 4m$，解得$y = -2m - 4$，
因为$x ＜ 1$且$y ＜ 1$，
所以$\begin{cases}m - 3 ＜ 1 \\ -2m - 4 ＜ 1\end{cases}$，
解$m - 3 ＜ 1$得$m ＜ 4$，
解$-2m - 4 ＜ 1$得$-2m ＜ 5$，即$m ＞ -\dfrac{5}{2}$，
综上，$-\dfrac{5}{2} ＜ m ＜ 4$。
两式相加得：$2x = -6 + 2m$，解得$x = m - 3$，
两式相减得：$2y = -8 - 4m$，解得$y = -2m - 4$，
因为$x ＜ 1$且$y ＜ 1$，
所以$\begin{cases}m - 3 ＜ 1 \\ -2m - 4 ＜ 1\end{cases}$，
解$m - 3 ＜ 1$得$m ＜ 4$，
解$-2m - 4 ＜ 1$得$-2m ＜ 5$，即$m ＞ -\dfrac{5}{2}$，
综上，$-\dfrac{5}{2} ＜ m ＜ 4$。
9. 已知关于$x$，$y$的方程组：
$\begin{cases}2x - 3y = -2 + 7a, \\ x + 3y = -7 - a。 \end{cases}$
(1)若方程组中的$x$为非正数，$y$为负数，求$a$的取值范围，并写出$a$的最小整数解；
(2)若$-1 ＜ x ≤ 4$，求$y$的取值范围。
$\begin{cases}2x - 3y = -2 + 7a, \\ x + 3y = -7 - a。 \end{cases}$
(1)若方程组中的$x$为非正数，$y$为负数，求$a$的取值范围，并写出$a$的最小整数解；
(2)若$-1 ＜ x ≤ 4$，求$y$的取值范围。
答案
9. (1) $ - \dfrac { 4 } { 3 } ＜ a ≤ \dfrac { 3 } { 2 } $ 最小整数解为 $ - 1 $
(2) $ - \dfrac { 29 } { 6 } ≤ y ＜ - \dfrac { 7 } { 3 } $
(2) $ - \dfrac { 29 } { 6 } ≤ y ＜ - \dfrac { 7 } { 3 } $
