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1. (2025·宿迁期末)下列各式中，是最简二次根式的为(
A.$\sqrt{8}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
C.$\sqrt{xy^{3}}(x ＞ 0,y ＞ 0)$
D.$\sqrt{x^{2}+9}$
D
)A.$\sqrt{8}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
C.$\sqrt{xy^{3}}(x ＞ 0,y ＞ 0)$
D.$\sqrt{x^{2}+9}$
答案
1. D
2. 下列整数 $x$ 能使 $\sqrt{x - 2}$ 为最简二次根式的为(
A.10
B.20
C.30
D.40
D
)A.10
B.20
C.30
D.40
答案
2. D
解析
当$x=10$时，$\sqrt{x-2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，不是最简二次根式；
当$x=20$时，$\sqrt{x-2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，不是最简二次根式；
当$x=30$时，$\sqrt{x-2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$，不是最简二次根式；
当$x=40$时，$\sqrt{x-2}=\sqrt{38}$，是最简二次根式。
D
当$x=20$时，$\sqrt{x-2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，不是最简二次根式；
当$x=30$时，$\sqrt{x-2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$，不是最简二次根式；
当$x=40$时，$\sqrt{x-2}=\sqrt{38}$，是最简二次根式。
D
3. 化简：$\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}} =$
$\frac{1}{2}$
；$\sqrt{0.3} =$$\frac{\sqrt{30}}{10}$
；$\dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}} =$$\frac{\sqrt{21}}{3}$
.答案
3. $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{30}}{10}$ $\frac{\sqrt{21}}{3}$
解析
$\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2}$；$\sqrt{0.3}=\sqrt{\dfrac{3}{10}}=\dfrac{\sqrt{30}}{10}$；$\dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{14}×\sqrt{6}}{\sqrt{6}×\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{84}}{6}=\dfrac{2\sqrt{21}}{6}=\dfrac{\sqrt{21}}{3}$
4. 若 $A = \sqrt{12}×\sqrt{n}$，其中 $\sqrt{n}$ 为最简二次根式，$A$ 为有理数，则实数 $n$ 的值为
3
.答案
4. 3
解析
$A = \sqrt{12} × \sqrt{n} = 2\sqrt{3} × \sqrt{n} = 2\sqrt{3n}$，因为$A$为有理数，所以$\sqrt{3n}$为有理数，又因为$\sqrt{n}$是最简二次根式，所以$n = 3$。
5. 化简：
（1）$\sqrt{\dfrac{1}{18}}$；
（2）$\sqrt{3\dfrac{1}{5}}$；
（3）$\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$；
（4）$\dfrac{1}{\sqrt{12}}$.
（1）$\sqrt{\dfrac{1}{18}}$；
（2）$\sqrt{3\dfrac{1}{5}}$；
（3）$\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$；
（4）$\dfrac{1}{\sqrt{12}}$.
答案
5. (1) $\frac{\sqrt{2}}{6}$ (2) $\frac{4\sqrt{5}}{5}$ (3) $\frac{\sqrt{15}}{5}$ (4) $\frac{\sqrt{3}}{6}$
解析
（1）$\sqrt{\dfrac{1}{18}}=\sqrt{\dfrac{2}{36}}=\dfrac{\sqrt{2}}{6}$；
（2）$\sqrt{3\dfrac{1}{5}}=\sqrt{\dfrac{16}{5}}=\dfrac{4}{\sqrt{5}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$；
（3）$\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{3}×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}$；
（4）$\dfrac{1}{\sqrt{12}}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$.
（2）$\sqrt{3\dfrac{1}{5}}=\sqrt{\dfrac{16}{5}}=\dfrac{4}{\sqrt{5}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$；
（3）$\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{3}×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}$；
（4）$\dfrac{1}{\sqrt{12}}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$.
6. 已知 $a = \sqrt{2} - 1$，$b = \dfrac{1}{\sqrt{2} + 1}$，则 $a$ 与 $b$ 的关系为(
A.$a = b$
B.$ab = 1$
C.$a = -b$
D.$ab = -1$
A
)A.$a = b$
B.$ab = 1$
C.$a = -b$
D.$ab = -1$
答案
6. A
解析
$b=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1$，因为$a = \sqrt{2} - 1$，所以$a = b$。A
7. 已知实数 $a$ 满足 $\sqrt{\dfrac{1 - a}{a^{2}}} = \dfrac{\sqrt{1 - a}}{a}$，则 $a$ 的取值范围是(
A.$a≤ 0$
B.$a ＜ 0$
C.$0 ＜ a≤ 1$
D.$a ＞ 0$
C
)A.$a≤ 0$
B.$a ＜ 0$
C.$0 ＜ a≤ 1$
D.$a ＞ 0$
答案
7. C
解析
要使等式$\sqrt{\dfrac{1 - a}{a^{2}}} = \dfrac{\sqrt{1 - a}}{a}$成立，需满足以下条件：
1. 根号下的数非负：$\dfrac{1 - a}{a^{2}} ≥ 0$，因为$a^{2} ＞ 0$（$a ≠ 0$），所以$1 - a ≥ 0$，即$a ≤ 1$；
2. 等式右边分母不为零：$a ≠ 0$；
3. 等式右边根号外的数非负：$a ＞ 0$（因为$\sqrt{1 - a} ≥ 0$，等式左边为非负数，所以右边也为非负数，故$a ＞ 0$）。
综上，$0 ＜ a ≤ 1$。
C
1. 根号下的数非负：$\dfrac{1 - a}{a^{2}} ≥ 0$，因为$a^{2} ＞ 0$（$a ≠ 0$），所以$1 - a ≥ 0$，即$a ≤ 1$；
2. 等式右边分母不为零：$a ≠ 0$；
3. 等式右边根号外的数非负：$a ＞ 0$（因为$\sqrt{1 - a} ≥ 0$，等式左边为非负数，所以右边也为非负数，故$a ＞ 0$）。
综上，$0 ＜ a ≤ 1$。
C
8. 设 $x ＞ 0$，$y ＞ 0$，化简 $x\sqrt{xy}÷y\sqrt{\dfrac{x}{y}}·\sqrt{\dfrac{y}{x}}$ 的结果是
$\sqrt{xy}$
.答案
8. $\sqrt{xy}$
解析
解：$x\sqrt{xy}÷y\sqrt{\dfrac{x}{y}}·\sqrt{\dfrac{y}{x}}$
$=x\sqrt{xy}× \dfrac{1}{y}\sqrt{\dfrac{y}{x}}× \sqrt{\dfrac{y}{x}}$
$=\dfrac{x}{y}\sqrt{xy× \dfrac{y}{x}× \dfrac{y}{x}}$
$=\dfrac{x}{y}\sqrt{\dfrac{y^{3}}{x}}$
$=\dfrac{x}{y}× \dfrac{y\sqrt{xy}}{x}$
$=\sqrt{xy}$
$=x\sqrt{xy}× \dfrac{1}{y}\sqrt{\dfrac{y}{x}}× \sqrt{\dfrac{y}{x}}$
$=\dfrac{x}{y}\sqrt{xy× \dfrac{y}{x}× \dfrac{y}{x}}$
$=\dfrac{x}{y}\sqrt{\dfrac{y^{3}}{x}}$
$=\dfrac{x}{y}× \dfrac{y\sqrt{xy}}{x}$
$=\sqrt{xy}$
9. (新考法·新定义题)对于有理数 $a$ 和 $b$ 定义一种新运算：$a※b = \dfrac{a + b}{\sqrt{a - b}}$，例如 $6※3 = \dfrac{6 + 3}{\sqrt{6 - 3}} = \dfrac{9}{\sqrt{3}} = \dfrac{9×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$，则 $3※(-\dfrac{1}{2}) =$
$\frac{5\sqrt{14}}{14}$
.答案
9. $\frac{5\sqrt{14}}{14}$
解析
$3※(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{3 + (-\dfrac{1}{2})}{\sqrt{3 - (-\dfrac{1}{2})}}=\dfrac{\dfrac{5}{2}}{\sqrt{\dfrac{7}{2}}}=\dfrac{\dfrac{5}{2}}{\dfrac{\sqrt{14}}{2}}=\dfrac{5}{\sqrt{14}}=\dfrac{5\sqrt{14}}{14}$
