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8. 已知 $ab ＞ 0$，$a + b ＜ 0$，给出下列各式：① $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$；② $\sqrt{\dfrac{a}{b}} · \sqrt{\dfrac{b}{a}} = 1$；③ $\sqrt{ab} ÷ \sqrt{\dfrac{a}{b}} = - b$. 其中，正确的有(
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
B
)A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
答案
8. B
解析
因为$ab＞0$，$a + b＜0$，所以$a＜0$，$b＜0$。
①$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$，由于$a＜0$，$b＜0$，$\sqrt{a}$，$\sqrt{b}$无意义，故①错误。
②$\sqrt{\dfrac{a}{b}}·\sqrt{\dfrac{b}{a}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}·\dfrac{b}{a}}=\sqrt{1}=1$，故②正确。
③$\sqrt{ab}÷\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{ab÷\dfrac{a}{b}}=\sqrt{ab·\dfrac{b}{a}}=\sqrt{b^2}=|b|=-b$（因为$b＜0$），故③正确。
正确的有②③，答案选B。
①$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$，由于$a＜0$，$b＜0$，$\sqrt{a}$，$\sqrt{b}$无意义，故①错误。
②$\sqrt{\dfrac{a}{b}}·\sqrt{\dfrac{b}{a}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}·\dfrac{b}{a}}=\sqrt{1}=1$，故②正确。
③$\sqrt{ab}÷\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{ab÷\dfrac{a}{b}}=\sqrt{ab·\dfrac{b}{a}}=\sqrt{b^2}=|b|=-b$（因为$b＜0$），故③正确。
正确的有②③，答案选B。
9. 若实数 $x$，$y$ 满足 $\dfrac{\sqrt{y + 2}}{\sqrt{2x - 1}} = \sqrt{\dfrac{y + 2}{2x - 1}}$，且 $x + y = 5$，则 $x$ 的取值范围是
$\frac{1}{2} ＜ x ≤ 7$
.答案
9. $\frac{1}{2} ＜ x ≤ 7$
解析
要使等式$\dfrac{\sqrt{y + 2}}{\sqrt{2x - 1}} = \sqrt{\dfrac{y + 2}{2x - 1}}$成立，需满足：
分母$\sqrt{2x - 1}$有意义且不为$0$，则$2x - 1 ＞ 0$，解得$x ＞ \dfrac{1}{2}$；
分子$\sqrt{y + 2}$有意义，且等式右边根号下$\dfrac{y + 2}{2x - 1}$有意义，所以$y + 2 ≥ 0$，即$y ≥ -2$。
已知$x + y = 5$，则$y = 5 - x$，代入$y ≥ -2$得：$5 - x ≥ -2$，解得$x ≤ 7$。
综上，$x$的取值范围是$\dfrac{1}{2} ＜ x ≤ 7$。
$\dfrac{1}{2} ＜ x ≤ 7$
分母$\sqrt{2x - 1}$有意义且不为$0$，则$2x - 1 ＞ 0$，解得$x ＞ \dfrac{1}{2}$；
分子$\sqrt{y + 2}$有意义，且等式右边根号下$\dfrac{y + 2}{2x - 1}$有意义，所以$y + 2 ≥ 0$，即$y ≥ -2$。
已知$x + y = 5$，则$y = 5 - x$，代入$y ≥ -2$得：$5 - x ≥ -2$，解得$x ≤ 7$。
综上，$x$的取值范围是$\dfrac{1}{2} ＜ x ≤ 7$。
$\dfrac{1}{2} ＜ x ≤ 7$
10. 化简：
(1) $\sqrt{\dfrac{5}{81}} =$
(2) $\sqrt{\dfrac{b^{3}}{a^{4}}}(b ＞ 0) =$
(3) $\sqrt{\dfrac{49n}{36m^{2}}}(m ＞ 0,n ＞ 0) =$
(1) $\sqrt{\dfrac{5}{81}} =$
$\frac{\sqrt{5}}{9}$
；(2) $\sqrt{\dfrac{b^{3}}{a^{4}}}(b ＞ 0) =$
$\frac{b\sqrt{b}}{a^{2}}$
；(3) $\sqrt{\dfrac{49n}{36m^{2}}}(m ＞ 0,n ＞ 0) =$
$\frac{7\sqrt{n}}{6m}$
.答案
10. (1) $\frac{\sqrt{5}}{9}$ (2) $\frac{b\sqrt{b}}{a^{2}}$ (3) $\frac{7\sqrt{n}}{6m}$
11. 计算：
(1) $\sqrt{147} ÷ \sqrt{27}$；
(2) $\sqrt{\dfrac{9}{15}} ÷ \sqrt{\dfrac{6}{35}}$；
(3) $\dfrac{\sqrt{15} × \sqrt{80}}{4\sqrt{12}}$；
(4) $\dfrac{\sqrt{3a^{3}} · \sqrt{6b^{3}}}{\sqrt{2ab}}(a ＞ 0,b ＞ 0)$.
(1) $\sqrt{147} ÷ \sqrt{27}$；
(2) $\sqrt{\dfrac{9}{15}} ÷ \sqrt{\dfrac{6}{35}}$；
(3) $\dfrac{\sqrt{15} × \sqrt{80}}{4\sqrt{12}}$；
(4) $\dfrac{\sqrt{3a^{3}} · \sqrt{6b^{3}}}{\sqrt{2ab}}(a ＞ 0,b ＞ 0)$.
答案
11. (1) $\frac{7}{3}$ (2) $\frac{\sqrt{14}}{2}$ (3) $\frac{5}{2}$ (4) $3ab$
解析
解：原式$=\dfrac{\sqrt{3a^{3} · 6b^{3}}}{\sqrt{2ab}}$
$=\dfrac{\sqrt{18a^{3}b^{3}}}{\sqrt{2ab}}$
$=\sqrt{\dfrac{18a^{3}b^{3}}{2ab}}$
$=\sqrt{9a^{2}b^{2}}$
$=3ab$
$=\dfrac{\sqrt{18a^{3}b^{3}}}{\sqrt{2ab}}$
$=\sqrt{\dfrac{18a^{3}b^{3}}{2ab}}$
$=\sqrt{9a^{2}b^{2}}$
$=3ab$
12. 已知实数 $x$，$y$ 满足 $y = \dfrac{\sqrt{(x - 1)^{2}}}{x - 1} + 3$，且 $x ＜ 1$，化简 $y\sqrt{3y} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{y^{4}}} · \sqrt{\dfrac{1}{y}}$，并求值.
答案
12. 由题意，得 $y = \frac{|x - 1|}{x - 1} + 3$. $\because x ＜ 1$，即 $x - 1 ＜ 0$，$\therefore y = \frac{-(x - 1)}{x - 1} + 3 = -1 + 3 = 2$. $\therefore$ 原式 $= y\sqrt{3y} · y^{2} · \frac{\sqrt{y}}{y} = \sqrt{3}y^{3} = \sqrt{3} × 2^{3} = 8\sqrt{3}$
解析
解：由题意，得$y = \dfrac{|x - 1|}{x - 1} + 3$.
$\because x ＜ 1$，即$x - 1 ＜ 0$，
$\therefore y = \dfrac{-(x - 1)}{x - 1} + 3 = -1 + 3 = 2$.
原式$= y\sqrt{3y} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{y^{4}}} · \sqrt{\dfrac{1}{y}}$
$= y\sqrt{3y} · y^{2} · \dfrac{\sqrt{y}}{y}$
$= \sqrt{3}y^{3}$.
将$y = 2$代入，得$\sqrt{3} × 2^{3} = 8\sqrt{3}$.
故答案为$8\sqrt{3}$.
$\because x ＜ 1$，即$x - 1 ＜ 0$，
$\therefore y = \dfrac{-(x - 1)}{x - 1} + 3 = -1 + 3 = 2$.
原式$= y\sqrt{3y} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{y^{4}}} · \sqrt{\dfrac{1}{y}}$
$= y\sqrt{3y} · y^{2} · \dfrac{\sqrt{y}}{y}$
$= \sqrt{3}y^{3}$.
将$y = 2$代入，得$\sqrt{3} × 2^{3} = 8\sqrt{3}$.
故答案为$8\sqrt{3}$.
