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1.数学活动课上，小明对圆周率的小数点后100位数字进行了统计如下表，
则圆周率的小数点后100位数字的上四分位数、下四分位数为（
A.8，2
B.2，8
C.12，12
D.12，8
则圆周率的小数点后100位数字的上四分位数、下四分位数为（
A
）.A.8，2
B.2，8
C.12，12
D.12，8
答案
1. A
解析
【分析】
要计算这组数据的上、下四分位数，首先明确：下四分位数对应第25百分位数，上四分位数对应第75百分位数。解题步骤为：①确定总数据量n=100，计算两个四分位数对应的位置i；②若i为整数，百分位数为第i位和第i+1位数据的平均值；③按数字从小到大计算累计频数，找到对应位置的数字，即可求出结果。
【解析】
首先计算总频数：$8+8+12+11+10+8+9+8+12+14=100$，符合圆周率后100位数字的总数量。
1. 计算下四分位数：
下四分位数对应第25百分位数，位置$i_1=100×25\%=25$，$i_1$为整数，因此下四分位数是第25位和第26位数字的平均数。
按数字从小到大计算累计频数：
数字0的累计频数为8（1~8位为0），数字1的累计频数为$8+8=16$（9~16位为1），数字2的累计频数为$16+12=28$（17~28位为2）。
可见第25、26位数字均为2，因此下四分位数为$\frac{2+2}{2}=2$。
2. 计算上四分位数：
上四分位数对应第75百分位数，位置$i_2=100×75\%=75$，$i_2$为整数，因此上四分位数是第75位和第76位数字的平均数。
继续计算累计频数：
数字3累计$28+11=39$，数字4累计$39+10=49$，数字5累计$49+8=57$，数字6累计$57+9=66$，数字7累计$66+8=74$（67~74位为7），数字8累计$74+12=86$（75~86位为8）。
可见第75、76位数字均为8，因此上四分位数为$\frac{8+8}{2}=8$。
综上，上四分位数为8，下四分位数为2，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
四分位数计算，频数分布表应用，百分位数概念
【点评】
本题考查四分位数的求解，解题核心是准确计算对应百分位数的位置，结合累计频数定位对应位置的数字，要注意上下四分位数的顺序不要混淆，累计频数计算要仔细避免出错。
【难度系数】
0.65
要计算这组数据的上、下四分位数，首先明确：下四分位数对应第25百分位数，上四分位数对应第75百分位数。解题步骤为：①确定总数据量n=100，计算两个四分位数对应的位置i；②若i为整数，百分位数为第i位和第i+1位数据的平均值；③按数字从小到大计算累计频数，找到对应位置的数字，即可求出结果。
【解析】
首先计算总频数：$8+8+12+11+10+8+9+8+12+14=100$，符合圆周率后100位数字的总数量。
1. 计算下四分位数：
下四分位数对应第25百分位数，位置$i_1=100×25\%=25$，$i_1$为整数，因此下四分位数是第25位和第26位数字的平均数。
按数字从小到大计算累计频数：
数字0的累计频数为8（1~8位为0），数字1的累计频数为$8+8=16$（9~16位为1），数字2的累计频数为$16+12=28$（17~28位为2）。
可见第25、26位数字均为2，因此下四分位数为$\frac{2+2}{2}=2$。
2. 计算上四分位数：
上四分位数对应第75百分位数，位置$i_2=100×75\%=75$，$i_2$为整数，因此上四分位数是第75位和第76位数字的平均数。
继续计算累计频数：
数字3累计$28+11=39$，数字4累计$39+10=49$，数字5累计$49+8=57$，数字6累计$57+9=66$，数字7累计$66+8=74$（67~74位为7），数字8累计$74+12=86$（75~86位为8）。
可见第75、76位数字均为8，因此上四分位数为$\frac{8+8}{2}=8$。
综上，上四分位数为8，下四分位数为2，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
四分位数计算，频数分布表应用，百分位数概念
【点评】
本题考查四分位数的求解，解题核心是准确计算对应百分位数的位置，结合累计频数定位对应位置的数字，要注意上下四分位数的顺序不要混淆，累计频数计算要仔细避免出错。
【难度系数】
0.65
2. 已知甲、乙两名运动员10次投掷铅球的平均成绩相同，铅球落地点如图所示，则方差$s^{2}_{甲}\_\_\_\_\_\_s^{2}_{乙}$（填“＞”“＜”或“=”）.
答案
2. ＞
解析
【分析】
解题时首先要明确方差的作用：方差是衡量一组数据波动大小的统计量，数据波动越大，方差越大；数据越稳定，方差越小。已知甲、乙两人的平均成绩相同，因此只需对比两人铅球落地点的分散程度即可判断方差大小，落地点越分散说明成绩波动越大，对应的方差就越大。
【解析】
方差的意义为反映一组数据的离散（波动）程度：在平均成绩相同的前提下，数据波动越大，方差越大；数据越集中稳定，方差越小。
观察两人铅球落地点的分布可知，甲的落地点更分散，说明甲的投掷成绩波动更大，因此甲的方差大于乙的方差，即$s^{2}_{甲} ＞ s^{2}_{乙}$。
【答案】
＞
【知识点】
方差的意义
【点评】
本题考查方差在实际场景中的应用，解题核心是掌握方差反映数据波动程度的性质，结合图形判断数据的离散程度即可快速得出结论，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确方差的作用：方差是衡量一组数据波动大小的统计量，数据波动越大，方差越大；数据越稳定，方差越小。已知甲、乙两人的平均成绩相同，因此只需对比两人铅球落地点的分散程度即可判断方差大小，落地点越分散说明成绩波动越大，对应的方差就越大。
【解析】
方差的意义为反映一组数据的离散（波动）程度：在平均成绩相同的前提下，数据波动越大，方差越大；数据越集中稳定，方差越小。
观察两人铅球落地点的分布可知，甲的落地点更分散，说明甲的投掷成绩波动更大，因此甲的方差大于乙的方差，即$s^{2}_{甲} ＞ s^{2}_{乙}$。
【答案】
＞
【知识点】
方差的意义
【点评】
本题考查方差在实际场景中的应用，解题核心是掌握方差反映数据波动程度的性质，结合图形判断数据的离散程度即可快速得出结论，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.9
3. 已知一个样本1，3，5，x，2，它的平均数为3，则这个样本的方差是
甲
乙
2
.甲
乙
答案
3. 2
解析
【分析】
解题时首先回忆平均数和方差的计算公式，第一步先利用样本平均数求出未知数据x：根据算术平均数的定义，所有样本数据的和除以数据个数等于平均数，据此列方程即可求出x的值；第二步将所有数据代入方差公式，计算得到方差结果即可。
【解析】
第一步：求未知数据x
已知样本共有5个数据，平均数为3，根据平均数公式$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$可得：
$\frac{1+3+5+x+2}{5}=3$
化简得：$11+x=15$，解得$x=4$。
第二步：计算样本方差
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，代入$n=5$，$\bar{x}=3$，各数据分别为1、3、5、4、2：
$s^2=\frac{1}{5}×[(1-3)^2+(3-3)^2+(5-3)^2+(4-3)^2+(2-3)^2]$
$=\frac{1}{5}×(4+0+4+1+1)$
$=\frac{1}{5}×10=2$
【答案】
2
【知识点】
算术平均数计算；方差计算
【点评】
本题属于统计部分的基础题型，核心考查平均数和方差的公式应用，解题的关键是先通过平均数的定义求出未知的样本数据，再代入方差公式准确计算即可，属于应知应会的常规题目。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平均数和方差的计算公式，第一步先利用样本平均数求出未知数据x：根据算术平均数的定义，所有样本数据的和除以数据个数等于平均数，据此列方程即可求出x的值；第二步将所有数据代入方差公式，计算得到方差结果即可。
【解析】
第一步：求未知数据x
已知样本共有5个数据，平均数为3，根据平均数公式$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$可得：
$\frac{1+3+5+x+2}{5}=3$
化简得：$11+x=15$，解得$x=4$。
第二步：计算样本方差
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，代入$n=5$，$\bar{x}=3$，各数据分别为1、3、5、4、2：
$s^2=\frac{1}{5}×[(1-3)^2+(3-3)^2+(5-3)^2+(4-3)^2+(2-3)^2]$
$=\frac{1}{5}×(4+0+4+1+1)$
$=\frac{1}{5}×10=2$
【答案】
2
【知识点】
算术平均数计算；方差计算
【点评】
本题属于统计部分的基础题型，核心考查平均数和方差的公式应用，解题的关键是先通过平均数的定义求出未知的样本数据，再代入方差公式准确计算即可，属于应知应会的常规题目。
【难度系数】
0.8
4. 有一组整数数据：5，5，7，8，9，7，13，11，6，10，a，b. 如图表示的是这组数据的箱线图. 若数据中$a ＜ b$，则$a$的值等于
7
.答案
4. 7
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先回忆箱线图的核心要素：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，明确各统计量的计算规则；2. 先将已知的10个数据从小到大排序，结合箱线图的最值确定a、b的取值范围；3. 根据数据总个数为12（偶数），明确下四分位数是排序后前6个数据的中位数；4. 采用分类讨论的思路，分别验证a＜7、a＞7的情况是否符合箱线图的下四分位数特征，排除矛盾的取值，最终得到a的取值。
【解析】
解：① 将已知的10个整数从小到大排序：5，5，6，7，7，8，9，10，11，13。
② 由箱线图可知这组数据的最小值为5、最大值为13，结合a＜b的条件，可得$5≤ a ＜ b ≤13$。
③ 分类验证a的取值：
若$a＜7$：则a≤6，排序后前4个数据中至少有3个小于等于6，计算得下四分位数小于7，与箱线图的下四分位数为7矛盾，不符合要求；
若$a＞7$：则a≥8，排序后前4个数据为5，5，6，7，下四分位数为$(6+7)÷2=6.5＜7$，也与箱线图特征矛盾，不符合要求。
④ 因此a只能等于7，代入验证后符合所有箱线图特征和a＜b的限制条件。
【答案】
7
【知识点】
箱线图的认识，数据排序，四分位数计算
【点评】
本题重点考查箱线图统计意义的运用，需要结合数据排序、分类讨论的方法排除不符合条件的取值，解题的核心是准确理解箱线图各部分代表的统计特征，同时注意整数取值和a＜b的限制条件。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：1. 先回忆箱线图的核心要素：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，明确各统计量的计算规则；2. 先将已知的10个数据从小到大排序，结合箱线图的最值确定a、b的取值范围；3. 根据数据总个数为12（偶数），明确下四分位数是排序后前6个数据的中位数；4. 采用分类讨论的思路，分别验证a＜7、a＞7的情况是否符合箱线图的下四分位数特征，排除矛盾的取值，最终得到a的取值。
【解析】
解：① 将已知的10个整数从小到大排序：5，5，6，7，7，8，9，10，11，13。
② 由箱线图可知这组数据的最小值为5、最大值为13，结合a＜b的条件，可得$5≤ a ＜ b ≤13$。
③ 分类验证a的取值：
若$a＜7$：则a≤6，排序后前4个数据中至少有3个小于等于6，计算得下四分位数小于7，与箱线图的下四分位数为7矛盾，不符合要求；
若$a＞7$：则a≥8，排序后前4个数据为5，5，6，7，下四分位数为$(6+7)÷2=6.5＜7$，也与箱线图特征矛盾，不符合要求。
④ 因此a只能等于7，代入验证后符合所有箱线图特征和a＜b的限制条件。
【答案】
7
【知识点】
箱线图的认识，数据排序，四分位数计算
【点评】
本题重点考查箱线图统计意义的运用，需要结合数据排序、分类讨论的方法排除不符合条件的取值，解题的核心是准确理解箱线图各部分代表的统计特征，同时注意整数取值和a＜b的限制条件。
【难度系数】
0.65
