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1. 已知命题:如果$a=b$,那么$|a|=|b|$.该命题的逆命题是 （
A.如果$a=b$,那么$|a|=|b|$
B.如果$|a|=|b|$,那么$a=b$
C.如果$a≠b$,那么$|a|≠|b|$
D.如果$|a|≠|b|$,那么$a≠b$
B
）A.如果$a=b$,那么$|a|=|b|$
B.如果$|a|=|b|$,那么$a=b$
C.如果$a≠b$,那么$|a|≠|b|$
D.如果$|a|≠|b|$,那么$a≠b$
答案
1.B
解析
【分析】
要得到一个命题的逆命题，首先需要明确“如果……那么……”形式命题的结构：“如果”后面的内容是题设（条件），“那么”后面的内容是结论，逆命题就是将原命题的题设和结论互换位置得到的命题。我们先拆分题干中原命题的题设和结论，再互换两者位置，最后匹配选项即可。
【解析】
原命题“如果$a=b$，那么$|a|=|b|$”中，题设为$a=b$，结论为$|a|=|b|$。
根据逆命题的定义，将题设和结论互换，得到逆命题为：如果$|a|=|b|$，那么$a=b$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
逆命题的概念；命题的结构
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查逆命题的改写方法，只要准确区分原命题的条件和结论，即可快速得出答案，出错概率较低。
【难度系数】
0.8
要得到一个命题的逆命题，首先需要明确“如果……那么……”形式命题的结构：“如果”后面的内容是题设（条件），“那么”后面的内容是结论，逆命题就是将原命题的题设和结论互换位置得到的命题。我们先拆分题干中原命题的题设和结论，再互换两者位置，最后匹配选项即可。
【解析】
原命题“如果$a=b$，那么$|a|=|b|$”中，题设为$a=b$，结论为$|a|=|b|$。
根据逆命题的定义，将题设和结论互换，得到逆命题为：如果$|a|=|b|$，那么$a=b$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
逆命题的概念；命题的结构
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查逆命题的改写方法，只要准确区分原命题的条件和结论，即可快速得出答案，出错概率较低。
【难度系数】
0.8
2.若直角三角形的一个锐角为$20°$,则另一个锐角的度数为 （
A.$20°$
B.$50°$
C.$70°$
D.$90°$
C
）A.$20°$
B.$50°$
C.$70°$
D.$90°$
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先回忆直角三角形的角的性质：直角三角形有一个内角为90°，结合三角形内角和为180°的定理，可推出直角三角形的两个锐角之和为90°（即两锐角互余）。已知其中一个锐角的度数，用90°减去已知锐角的度数，就能直接求出另一个锐角的度数。
【解析】
解：
∵直角三角形的两个锐角互余，即两个锐角的和为90°，
已知其中一个锐角为20°，
∴另一个锐角的度数为$90°-20°=70°$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念类考题，主要考查直角三角形的角的基本性质，只要掌握相关核心性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆直角三角形的角的性质：直角三角形有一个内角为90°，结合三角形内角和为180°的定理，可推出直角三角形的两个锐角之和为90°（即两锐角互余）。已知其中一个锐角的度数，用90°减去已知锐角的度数，就能直接求出另一个锐角的度数。
【解析】
解：
∵直角三角形的两个锐角互余，即两个锐角的和为90°，
已知其中一个锐角为20°，
∴另一个锐角的度数为$90°-20°=70°$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念类考题，主要考查直角三角形的角的基本性质，只要掌握相关核心性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3.用下列长度的三根木条首尾相接组成一个封闭木框,则能组成一个直角三角形木框的是
(
A.2,3,4
B.3,4,5
C.5,6,7
D.6,7,8
(
B
)A.2,3,4
B.3,4,5
C.5,6,7
D.6,7,8
答案
3.B
解析
【分析】
要判断三根木条能否组成直角三角形，可依据勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时先确定每组数据中的最长边，再计算两条短边的平方和，与最长边的平方对比，两者相等即可组成直角三角形。
【解析】
逐一验证各选项：
A选项：最长边为4，计算得$2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不能组成直角三角形；
B选项：最长边为5，计算得$3^2+4^2=9+16=25$，$5^2=25$，$25=25$，可以组成直角三角形；
C选项：最长边为7，计算得$5^2+6^2=25+36=61$，$7^2=49$，$61≠49$，不能组成直角三角形；
D选项：最长边为8，计算得$6^2+7^2=36+49=85$，$8^2=64$，$85≠64$，不能组成直角三角形。
因此符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理、勾股数
【点评】
本题是基础应用类题目，主要考查勾股定理逆定理的使用，熟记常见的勾股数可以快速得出答案，提升解题速度。
【难度系数】
0.9
要判断三根木条能否组成直角三角形，可依据勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时先确定每组数据中的最长边，再计算两条短边的平方和，与最长边的平方对比，两者相等即可组成直角三角形。
【解析】
逐一验证各选项：
A选项：最长边为4，计算得$2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不能组成直角三角形；
B选项：最长边为5，计算得$3^2+4^2=9+16=25$，$5^2=25$，$25=25$，可以组成直角三角形；
C选项：最长边为7，计算得$5^2+6^2=25+36=61$，$7^2=49$，$61≠49$，不能组成直角三角形；
D选项：最长边为8，计算得$6^2+7^2=36+49=85$，$8^2=64$，$85≠64$，不能组成直角三角形。
因此符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理、勾股数
【点评】
本题是基础应用类题目，主要考查勾股定理逆定理的使用，熟记常见的勾股数可以快速得出答案，提升解题速度。
【难度系数】
0.9
4. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图,其中说明$△ COE ≌ △ DOE$的依据是 （
A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.AAS
A
）A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.AAS
答案
4.A
解析
【分析】
要判断△COE≌△DOE的依据，首先需从尺规作角平分线的步骤中找出两个三角形的对应边、对应角关系：首先回忆作图步骤，第一步以O为圆心画弧得到OC=OD，第二步以C、D为圆心画弧交于E得到CE=DE，再加上公共边OE相等，即可根据三边对应相等判定三角形全等。
【解析】
由尺规作角平分线的操作可知：
① 以点O为圆心画弧，交OA、OB于C、D，因此OC=OD；
② 分别以C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长度为半径画弧，两弧交于E，因此CE=DE；
又
∵OE是△COE和△DOE的公共边，即OE=OE。
∴△COE和△DOE的三条边对应相等，依据SSS可判定△COE≌△DOE。
【答案】
A
【知识点】
尺规作角平分线；全等三角形的判定
【点评】
本题结合尺规作图的操作考查全等三角形判定的应用，明确作图过程中得到的相等线段是解题的关键，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
要判断△COE≌△DOE的依据，首先需从尺规作角平分线的步骤中找出两个三角形的对应边、对应角关系：首先回忆作图步骤，第一步以O为圆心画弧得到OC=OD，第二步以C、D为圆心画弧交于E得到CE=DE，再加上公共边OE相等，即可根据三边对应相等判定三角形全等。
【解析】
由尺规作角平分线的操作可知：
① 以点O为圆心画弧，交OA、OB于C、D，因此OC=OD；
② 分别以C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长度为半径画弧，两弧交于E，因此CE=DE；
又
∵OE是△COE和△DOE的公共边，即OE=OE。
∴△COE和△DOE的三条边对应相等，依据SSS可判定△COE≌△DOE。
【答案】
A
【知识点】
尺规作角平分线；全等三角形的判定
【点评】
本题结合尺规作图的操作考查全等三角形判定的应用，明确作图过程中得到的相等线段是解题的关键，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
5. 如图,已知每个小正方形的边长为1,若A,B,C是小正方形的顶点,则∠CAB的度数为(
A.$60°$
B.$45°$
C.$30°$
D.$90°$
B
)A.$60°$
B.$45°$
C.$30°$
D.$90°$
答案
5.B
解析
【分析】
要求∠CAB的度数，我们可以结合网格特征，先借助勾股定理求出△ABC三边的长度，再通过三边的数量关系判断三角形的形状，进而推导角度。第一步先把三角形的每条边看作直角三角形的斜边，用勾股定理计算各边长度的平方；第二步利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形；第三步结合边的相等关系判断是否为等腰直角三角形，最终得到对应角的度数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算△ABC各边长度的平方：
1. 计算AC的长度：AC对应横向1个单位、纵向3个单位的直角三角形的斜边，因此$AC^2=1^2+3^2=10$，即$AC=\sqrt{10}$；
2. 计算BC的长度：BC对应横向3个单位、纵向1个单位的直角三角形的斜边，因此$BC^2=3^2+1^2=10$，即$BC=\sqrt{10}$；
3. 计算AB的长度：AB对应横向4个单位、纵向2个单位的直角三角形的斜边，因此$AB^2=4^2+2^2=20$，即$AB=2\sqrt{5}$。
验证三边关系：$AC^2+BC^2=10+10=20=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
又因为$AC=BC=\sqrt{10}$，所以△ABC是等腰直角三角形，因此$∠ CAB=45°$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是网格类几何的常见题型，解题核心是利用网格的边长特征结合勾股定理求出三角形各边长度，再通过边的关系判断三角形形状，进而推导角度，掌握勾股定理及逆定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要求∠CAB的度数，我们可以结合网格特征，先借助勾股定理求出△ABC三边的长度，再通过三边的数量关系判断三角形的形状，进而推导角度。第一步先把三角形的每条边看作直角三角形的斜边，用勾股定理计算各边长度的平方；第二步利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形；第三步结合边的相等关系判断是否为等腰直角三角形，最终得到对应角的度数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算△ABC各边长度的平方：
1. 计算AC的长度：AC对应横向1个单位、纵向3个单位的直角三角形的斜边，因此$AC^2=1^2+3^2=10$，即$AC=\sqrt{10}$；
2. 计算BC的长度：BC对应横向3个单位、纵向1个单位的直角三角形的斜边，因此$BC^2=3^2+1^2=10$，即$BC=\sqrt{10}$；
3. 计算AB的长度：AB对应横向4个单位、纵向2个单位的直角三角形的斜边，因此$AB^2=4^2+2^2=20$，即$AB=2\sqrt{5}$。
验证三边关系：$AC^2+BC^2=10+10=20=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
又因为$AC=BC=\sqrt{10}$，所以△ABC是等腰直角三角形，因此$∠ CAB=45°$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是网格类几何的常见题型，解题核心是利用网格的边长特征结合勾股定理求出三角形各边长度，再通过边的关系判断三角形形状，进而推导角度，掌握勾股定理及逆定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
6.三角形内有一点,它到三角形三条边的距离都相等,同时这一点与三角形三个顶点的距离也相等,则这个三角形是 （
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰三角形
C
）A.钝角三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰三角形
答案
6.C
解析
【分析】
解题时先拆分题目给出的两个条件，对应回忆三角形相关点的性质：首先，到三角形三条边距离相等的点是三角形的内心，也就是三个内角角平分线的交点；其次，到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心，也就是三边垂直平分线的交点。题目说明这两个点是同一个点，说明该三角形的角平分线和对应边的垂直平分线完全重合，再结合不同类型三角形的性质判断即可。
【解析】
1. 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此到三角形三条边距离都相等的点，是三角形三条角平分线的交点，即三角形的内心。
2. 根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此到三角形三个顶点距离都相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点，即三角形的外心。
3. 题目中该点既是内心又是外心，说明三角形的角平分线与对应边的垂直平分线完全重合：
等腰三角形仅顶角的角平分线与底边的垂直平分线重合，底角的角平分线不与对应边的垂直平分线重合，因此内心和外心不重合，不满足条件；
只有等边三角形的三条角平分线都与对应边的垂直平分线重合，内心、外心完全重合，满足题目所有条件。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心性质；三角形外心性质；等边三角形性质
【点评】
本题重点考查三角形特殊点的几何性质，解题核心是准确区分内心和外心的定义与对应特征，牢记特殊三角形的相关性质就能快速得出结论。
【难度系数】
0.7
解题时先拆分题目给出的两个条件，对应回忆三角形相关点的性质：首先，到三角形三条边距离相等的点是三角形的内心，也就是三个内角角平分线的交点；其次，到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心，也就是三边垂直平分线的交点。题目说明这两个点是同一个点，说明该三角形的角平分线和对应边的垂直平分线完全重合，再结合不同类型三角形的性质判断即可。
【解析】
1. 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此到三角形三条边距离都相等的点，是三角形三条角平分线的交点，即三角形的内心。
2. 根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此到三角形三个顶点距离都相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点，即三角形的外心。
3. 题目中该点既是内心又是外心，说明三角形的角平分线与对应边的垂直平分线完全重合：
等腰三角形仅顶角的角平分线与底边的垂直平分线重合，底角的角平分线不与对应边的垂直平分线重合，因此内心和外心不重合，不满足条件；
只有等边三角形的三条角平分线都与对应边的垂直平分线重合，内心、外心完全重合，满足题目所有条件。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心性质；三角形外心性质；等边三角形性质
【点评】
本题重点考查三角形特殊点的几何性质，解题核心是准确区分内心和外心的定义与对应特征，牢记特殊三角形的相关性质就能快速得出结论。
【难度系数】
0.7
7.若点 $ P $ 在线段 $ AB $ 的垂直平分线上，且 $ PA = 7 $，则 $ PB = \_\_\_\_\_\_ $。
答案
7.7
解析
【分析】
解题时先提取题干关键信息：点P在线段AB的垂直平分线上，已知PA的长度求PB的长度。首先回忆线段垂直平分线的核心性质：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等，由此可知PA和PB长度相等，直接代入PA的数值就能得到PB的结果。
【解析】
解：
∵点P在线段AB的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
∴$PB=PA$，
又
∵$PA=7$，
∴$PB=7$。
【答案】
7
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是对基础几何性质的直接考查，读懂题干条件、牢记相关性质即可快速得出答案，属于基础题。
【难度系数】
0.9
解题时先提取题干关键信息：点P在线段AB的垂直平分线上，已知PA的长度求PB的长度。首先回忆线段垂直平分线的核心性质：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等，由此可知PA和PB长度相等，直接代入PA的数值就能得到PB的结果。
【解析】
解：
∵点P在线段AB的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
∴$PB=PA$，
又
∵$PA=7$，
∴$PB=7$。
【答案】
7
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是对基础几何性质的直接考查，读懂题干条件、牢记相关性质即可快速得出答案，属于基础题。
【难度系数】
0.9
8. [开放性]如图，$AB ⊥ BC$，$AD ⊥ DC$. 要利用“HL”证明$\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ ADC$，可以添加一个条件：______.
答案
8.AB=AD(或BC=DC)
解析
【分析】
要使用“HL”证明两个直角三角形全等，需满足“斜边和一条直角边对应相等”的条件。首先观察图形，Rt△ABC和Rt△ADC的斜边都是公共边AC，已经满足斜边相等的要求，因此只需再添加一组对应直角边相等即可，可选AB=AD或者BC=DC。
【解析】
解：
∵$AB ⊥ BC$，$AD ⊥ DC$，
∴$∠ B=∠ D=90°$，即$△ ABC$和$△ ADC$均为直角三角形。
两个三角形的斜边$AC$为公共边，因此$AC=AC$，已经满足HL判定的斜边相等条件：
1. 若添加条件$AB=AD$，可得$\begin{cases} AC=AC \\ AB=AD \end{cases}$，可证$\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ ADC\mathrm{(HL)}$；
2. 若添加条件$BC=DC$，可得$\begin{cases} AC=AC \\ BC=DC \end{cases}$，可证$\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ ADC\mathrm{(HL)}$。
【答案】
AB=AD(或BC=DC)
【知识点】
1. HL全等判定定理
2. 公共边的性质
【点评】
本题是开放性基础题，考查直角三角形HL全等判定的应用，解题关键是识别出两个三角形共有的斜边这一隐含条件，再结合HL的判定要求补充缺少的条件即可。
【难度系数】
0.8
要使用“HL”证明两个直角三角形全等，需满足“斜边和一条直角边对应相等”的条件。首先观察图形，Rt△ABC和Rt△ADC的斜边都是公共边AC，已经满足斜边相等的要求，因此只需再添加一组对应直角边相等即可，可选AB=AD或者BC=DC。
【解析】
解：
∵$AB ⊥ BC$，$AD ⊥ DC$，
∴$∠ B=∠ D=90°$，即$△ ABC$和$△ ADC$均为直角三角形。
两个三角形的斜边$AC$为公共边，因此$AC=AC$，已经满足HL判定的斜边相等条件：
1. 若添加条件$AB=AD$，可得$\begin{cases} AC=AC \\ AB=AD \end{cases}$，可证$\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ ADC\mathrm{(HL)}$；
2. 若添加条件$BC=DC$，可得$\begin{cases} AC=AC \\ BC=DC \end{cases}$，可证$\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ ADC\mathrm{(HL)}$。
【答案】
AB=AD(或BC=DC)
【知识点】
1. HL全等判定定理
2. 公共边的性质
【点评】
本题是开放性基础题，考查直角三角形HL全等判定的应用，解题关键是识别出两个三角形共有的斜边这一隐含条件，再结合HL的判定要求补充缺少的条件即可。
【难度系数】
0.8
