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9. 如图，DE 是 AC 边的垂直平分线，若$△ ABD$的周长是 8 cm，则$AB+BC=$
8
cm.答案
9.8
解析
【分析】
解题时先从已知条件“DE是AC边的垂直平分线”入手，回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=CD。再分析△ABD的周长组成：AB+BD+AD，将AD替换为等量CD后，周长可转化为AB+BD+CD，而BD+CD的和就是BC，因此△ABD的周长恰好等于AB+BC的长度，结合已知周长数值即可直接得到结果。
【解析】
∵DE是AC边的垂直平分线，点D在DE上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：$AD=CD$。
已知$△ ABD$的周长为8 cm，即：
$AB+BD+AD=8\ \mathrm{cm}$
将$AD=CD$代入上式，得：
$AB+BD+CD=8\ \mathrm{cm}$
又
∵$BD+CD=BC$，
∴$AB+BC=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
8
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础几何题，核心是利用线段垂直平分线的性质做等量代换，将未知的线段和与已知的三角形周长建立关联，掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件“DE是AC边的垂直平分线”入手，回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=CD。再分析△ABD的周长组成：AB+BD+AD，将AD替换为等量CD后，周长可转化为AB+BD+CD，而BD+CD的和就是BC，因此△ABD的周长恰好等于AB+BC的长度，结合已知周长数值即可直接得到结果。
【解析】
∵DE是AC边的垂直平分线，点D在DE上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：$AD=CD$。
已知$△ ABD$的周长为8 cm，即：
$AB+BD+AD=8\ \mathrm{cm}$
将$AD=CD$代入上式，得：
$AB+BD+CD=8\ \mathrm{cm}$
又
∵$BD+CD=BC$，
∴$AB+BC=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
8
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础几何题，核心是利用线段垂直平分线的性质做等量代换，将未知的线段和与已知的三角形周长建立关联，掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
10.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,点$D$,$E$分别在边$AC$,$AB$上,$BD$平分$∠ ABC$,$DE ⊥ AB$,$AB=15$,$CD=4$,则$△ ABD$的面积为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
10.30
解析
【分析】
解题时先观察题干条件：BD是∠ABC的角平分线，∠C=90°即DC⊥BC，DE⊥AB。首先想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可推出DE=CD，得到△ABD中AB边上的高DE的长度，再代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
∵BD平分∠ABC，∠C=90°（DC⊥BC），DE⊥AB
∴根据角平分线的性质，可得DE=CD
已知CD=4，
∴DE=4
又
∵AB=15，△ABD的面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，以AB为底时，高为DE
∴$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×DE=\frac{1}{2}×15×4=30$
【答案】
30
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是基础几何应用题，解题核心是利用角平分线的性质快速得到三角形的高，无需复杂的推理计算，掌握基础性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题时先观察题干条件：BD是∠ABC的角平分线，∠C=90°即DC⊥BC，DE⊥AB。首先想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可推出DE=CD，得到△ABD中AB边上的高DE的长度，再代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
∵BD平分∠ABC，∠C=90°（DC⊥BC），DE⊥AB
∴根据角平分线的性质，可得DE=CD
已知CD=4，
∴DE=4
又
∵AB=15，△ABD的面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，以AB为底时，高为DE
∴$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×DE=\frac{1}{2}×15×4=30$
【答案】
30
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是基础几何应用题，解题核心是利用角平分线的性质快速得到三角形的高，无需复杂的推理计算，掌握基础性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
11. 如图，$∠ A=∠ B=90°$，$E$ 是 $AB$ 上的一点，且 $AE=BC$，$∠ 1=∠ 2$，求证：$\mathrm{Rt}△ ADE ≌ \mathrm{Rt}△ BEC$.
答案
11. 证明:$\because ∠A=∠B=90°$,
$\therefore △ADE$ 和$△BEC$ 均为直角三角形.
$\because ∠1=∠2$,
$\therefore DE=EC$.
在$\mathrm{Rt}△ADE$ 和$\mathrm{Rt}△BEC$ 中,
$\begin{cases} DE=EC, \\ AE=BC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△BEC(\mathrm{HL}).$
$\therefore △ADE$ 和$△BEC$ 均为直角三角形.
$\because ∠1=∠2$,
$\therefore DE=EC$.
在$\mathrm{Rt}△ADE$ 和$\mathrm{Rt}△BEC$ 中,
$\begin{cases} DE=EC, \\ AE=BC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△BEC(\mathrm{HL}).$
解析
【分析】
要证明两个直角三角形全等，首先结合已知∠A=∠B=90°，确定待证的两个三角形都是直角三角形；再由∠1=∠2，根据等角对等边的性质可得到两个三角形的斜边DE=EC；最后结合题目给出的直角边AE=BC的条件，即可用直角三角形全等的HL判定定理完成证明。
【解析】
证明：$\because ∠A=∠B=90°$,
$\therefore △ADE$ 和$△BEC$ 均为直角三角形。
$\because ∠1=∠2$,
$\therefore DE=EC$。
在$\mathrm{Rt}△ADE$ 和$\mathrm{Rt}△BEC$ 中,
$\begin{cases} DE=EC, \\ AE=BC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△BEC(\mathrm{HL})$。
【答案】
证明:$\because ∠A=∠B=90°$,
$\therefore △ADE$ 和$△BEC$ 均为直角三角形。
$\because ∠1=∠2$,
$\therefore DE=EC$。
在$\mathrm{Rt}△ADE$ 和$\mathrm{Rt}△BEC$ 中,
$\begin{cases} DE=EC, \\ AE=BC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△BEC(\mathrm{HL})$。
【知识点】
等角对等边；HL判定直角三角形全等
【点评】
本题是基础的几何证明题，核心考查等腰三角形的性质和直角三角形全等的判定，解题思路清晰，只要熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要证明两个直角三角形全等，首先结合已知∠A=∠B=90°，确定待证的两个三角形都是直角三角形；再由∠1=∠2，根据等角对等边的性质可得到两个三角形的斜边DE=EC；最后结合题目给出的直角边AE=BC的条件，即可用直角三角形全等的HL判定定理完成证明。
【解析】
证明：$\because ∠A=∠B=90°$,
$\therefore △ADE$ 和$△BEC$ 均为直角三角形。
$\because ∠1=∠2$,
$\therefore DE=EC$。
在$\mathrm{Rt}△ADE$ 和$\mathrm{Rt}△BEC$ 中,
$\begin{cases} DE=EC, \\ AE=BC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△BEC(\mathrm{HL})$。
【答案】
证明:$\because ∠A=∠B=90°$,
$\therefore △ADE$ 和$△BEC$ 均为直角三角形。
$\because ∠1=∠2$,
$\therefore DE=EC$。
在$\mathrm{Rt}△ADE$ 和$\mathrm{Rt}△BEC$ 中,
$\begin{cases} DE=EC, \\ AE=BC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△BEC(\mathrm{HL})$。
【知识点】
等角对等边；HL判定直角三角形全等
【点评】
本题是基础的几何证明题，核心考查等腰三角形的性质和直角三角形全等的判定，解题思路清晰，只要熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
12. 如图，直线$MN// EF$，$\mathrm{Rt}△ ABC$的直角顶点$C$在直线$MN$上，顶点$B$在直线$EF$上，$AB$交$MN$于点$D$，$∠ 1=50°$，$∠ 2=60°$，求$∠ A$的度数.
答案
12. 解:$\because MN// EF$,
$\therefore ∠BCD=∠1=50°$.
在$△BCD$ 中,$∠BCD=50°,∠2=60°$,
$\therefore ∠ABC=180°-∠BCD-∠2=70°$.
在$\mathrm{Rt}△ABC$ 中,$∠ABC=70°,∠ACB=90°$,
$\therefore ∠A=90°-∠ABC=20°$.
$\therefore ∠BCD=∠1=50°$.
在$△BCD$ 中,$∠BCD=50°,∠2=60°$,
$\therefore ∠ABC=180°-∠BCD-∠2=70°$.
在$\mathrm{Rt}△ABC$ 中,$∠ABC=70°,∠ACB=90°$,
$\therefore ∠A=90°-∠ABC=20°$.
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察已知条件有$MN// EF$，可利用平行线的内错角相等的性质，得到$∠ BCD$与$∠ 1$相等；接着在$△ BCD$中，根据三角形内角和为$180°$，结合已知的$∠ 2$和刚求出的$∠ BCD$，就能算出$∠ ABC$的度数；最后在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，利用直角三角形两锐角互余的性质，用$90°$减去$∠ ABC$的度数即可得到$∠ A$的度数。
【解析】
解：$\because MN// EF$，
$\therefore ∠ BCD=∠ 1=50°$。
在$△ BCD$中，$∠ BCD=50°$，$∠ 2=60°$，
$\therefore ∠ ABC=180°-∠ BCD-∠ 2=180°-50°-60°=70°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=70°$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ A=90°-∠ ABC=90°-70°=20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
平行线的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题关键是通过平行线的性质完成角的等量转化，再结合三角形内角和相关性质逐步推导所求角的度数，逻辑清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先观察已知条件有$MN// EF$，可利用平行线的内错角相等的性质，得到$∠ BCD$与$∠ 1$相等；接着在$△ BCD$中，根据三角形内角和为$180°$，结合已知的$∠ 2$和刚求出的$∠ BCD$，就能算出$∠ ABC$的度数；最后在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，利用直角三角形两锐角互余的性质，用$90°$减去$∠ ABC$的度数即可得到$∠ A$的度数。
【解析】
解：$\because MN// EF$，
$\therefore ∠ BCD=∠ 1=50°$。
在$△ BCD$中，$∠ BCD=50°$，$∠ 2=60°$，
$\therefore ∠ ABC=180°-∠ BCD-∠ 2=180°-50°-60°=70°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=70°$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ A=90°-∠ ABC=90°-70°=20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
平行线的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题关键是通过平行线的性质完成角的等量转化，再结合三角形内角和相关性质逐步推导所求角的度数，逻辑清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.8
13. 如图，OC 平分$∠ AOB$，$OA=OB$，P 为 OC 上一点，$PE⊥ AC$，$PF⊥ BC$，垂足分别为 E，F. 求证：$PE=PF$.
答案
13. 证明:$\because OC$ 平分$∠AOB$,$\therefore ∠AOC=∠BOC$. 在$△AOC$ 和$△BOC$ 中,$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠AOC=∠BOC, \\ OC=OC, \end{cases}$
$\therefore △AOC≌△BOC$,$\therefore ∠ACO=∠BCO$.
又 $PE⊥AC$,$PF⊥BC$,$\therefore PE=PF$.
$\therefore △AOC≌△BOC$,$\therefore ∠ACO=∠BCO$.
又 $PE⊥AC$,$PF⊥BC$,$\therefore PE=PF$.
解析
【分析】
要证明PE=PF，观察可知PE、PF是点P到AC、BC的垂线段，根据角平分线的性质，只需证明OC平分∠ACB，即∠ACO=∠BCO即可。要得到这组角相等，可证明它们所在的△AOC和△BOC全等：已知OC平分∠AOB，可得∠AOC=∠BOC，再结合已知OA=OB、公共边OC，满足SAS的全等判定条件，证得三角形全等后即可推出对应角相等，最终利用角平分线的性质得到PE=PF。
【解析】
证明：$\because OC$ 平分$∠AOB$，$\therefore ∠AOC=∠BOC$。
在$△AOC$ 和$△BOC$ 中，
$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠AOC=∠BOC, \\ OC=OC, \end{cases}$
$\therefore △AOC≌△BOC$，$\therefore ∠ACO=∠BCO$，即OC是∠ACB的角平分线。
$\because P$为OC上一点，且$PE⊥AC$，$PF⊥BC$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$PE=PF$。
【答案】
证明:$\because OC$ 平分$∠AOB$,$\therefore ∠AOC=∠BOC$. 在$△AOC$ 和$△BOC$ 中,$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠AOC=∠BOC, \\ OC=OC, \end{cases}$
$\therefore △AOC≌△BOC$,$\therefore ∠ACO=∠BCO$.
又 $PE⊥AC$,$PF⊥BC$,$\therefore PE=PF$.
【知识点】
全等三角形判定（SAS），全等三角形的性质，角平分线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考察逻辑推导能力，解题时可通过逆推待证结论、顺推已知条件的方式找到证明思路，需熟练掌握全等三角形和角平分线的相关定理应用。
【难度系数】
0.7
要证明PE=PF，观察可知PE、PF是点P到AC、BC的垂线段，根据角平分线的性质，只需证明OC平分∠ACB，即∠ACO=∠BCO即可。要得到这组角相等，可证明它们所在的△AOC和△BOC全等：已知OC平分∠AOB，可得∠AOC=∠BOC，再结合已知OA=OB、公共边OC，满足SAS的全等判定条件，证得三角形全等后即可推出对应角相等，最终利用角平分线的性质得到PE=PF。
【解析】
证明：$\because OC$ 平分$∠AOB$，$\therefore ∠AOC=∠BOC$。
在$△AOC$ 和$△BOC$ 中，
$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠AOC=∠BOC, \\ OC=OC, \end{cases}$
$\therefore △AOC≌△BOC$，$\therefore ∠ACO=∠BCO$，即OC是∠ACB的角平分线。
$\because P$为OC上一点，且$PE⊥AC$，$PF⊥BC$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$PE=PF$。
【答案】
证明:$\because OC$ 平分$∠AOB$,$\therefore ∠AOC=∠BOC$. 在$△AOC$ 和$△BOC$ 中,$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠AOC=∠BOC, \\ OC=OC, \end{cases}$
$\therefore △AOC≌△BOC$,$\therefore ∠ACO=∠BCO$.
又 $PE⊥AC$,$PF⊥BC$,$\therefore PE=PF$.
【知识点】
全等三角形判定（SAS），全等三角形的性质，角平分线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考察逻辑推导能力，解题时可通过逆推待证结论、顺推已知条件的方式找到证明思路，需熟练掌握全等三角形和角平分线的相关定理应用。
【难度系数】
0.7
14.下列条件中，$a,b,c$分别为$△ ABC$的三边长，不能判定$△ ABC$为直角三角形的是（
A.$a=8,b=15,c=17$
B.$a:b:c=2:3:4$
C.$a^2+b^2=c^2$
D.$∠ A+∠ B=∠ C$
B
）A.$a=8,b=15,c=17$
B.$a:b:c=2:3:4$
C.$a^2+b^2=c^2$
D.$∠ A+∠ B=∠ C$
答案
14.B
解析
【分析】
本题考查直角三角形的判定，可从边、角两个判定方向逐一分析选项：若给出边的条件，就依据勾股定理逆定理，先找到最长边，验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方；若给出角的条件，就结合三角形内角和为180°，推导是否存在90°的内角，最终选出不能判定的选项。
【解析】
直角三角形有两类常用判定方法：①勾股定理逆定理：若三角形三边满足两条短边的平方和等于最长边的平方，则为直角三角形；②角的判定：有一个内角为90°的三角形是直角三角形，三角形内角和为180°。
选项A：三边长为8、15、17，最长边为17，计算得$8^2+15^2=64+225=289=17^2$，满足勾股定理逆定理，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
选项B：边长比为2:3:4，设三边长分别为$2k、3k、4k(k＞0)$，最长边为$4k$，计算得$(2k)^2+(3k)^2=4k^2+9k^2=13k^2$，$(4k)^2=16k^2$，$13k^2≠16k^2$，不满足勾股定理逆定理，不能判定△ABC是直角三角形，符合题意。
选项C：$a^2+b^2=c^2$是勾股定理逆定理的直接表述，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
选项D：已知$∠A+∠B=∠C$，结合三角形内角和$∠A+∠B+∠C=180°$，代入得$2∠C=180°$，解得$∠C=90°$，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理逆定理；三角形内角和定理；直角三角形判定
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查直角三角形的两类判定逻辑，需要注意运用勾股定理逆定理时，必须验证两条短边的平方和与最长边平方的等量关系，避免因边长顺序搞错出现计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查直角三角形的判定，可从边、角两个判定方向逐一分析选项：若给出边的条件，就依据勾股定理逆定理，先找到最长边，验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方；若给出角的条件，就结合三角形内角和为180°，推导是否存在90°的内角，最终选出不能判定的选项。
【解析】
直角三角形有两类常用判定方法：①勾股定理逆定理：若三角形三边满足两条短边的平方和等于最长边的平方，则为直角三角形；②角的判定：有一个内角为90°的三角形是直角三角形，三角形内角和为180°。
选项A：三边长为8、15、17，最长边为17，计算得$8^2+15^2=64+225=289=17^2$，满足勾股定理逆定理，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
选项B：边长比为2:3:4，设三边长分别为$2k、3k、4k(k＞0)$，最长边为$4k$，计算得$(2k)^2+(3k)^2=4k^2+9k^2=13k^2$，$(4k)^2=16k^2$，$13k^2≠16k^2$，不满足勾股定理逆定理，不能判定△ABC是直角三角形，符合题意。
选项C：$a^2+b^2=c^2$是勾股定理逆定理的直接表述，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
选项D：已知$∠A+∠B=∠C$，结合三角形内角和$∠A+∠B+∠C=180°$，代入得$2∠C=180°$，解得$∠C=90°$，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理逆定理；三角形内角和定理；直角三角形判定
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查直角三角形的两类判定逻辑，需要注意运用勾股定理逆定理时，必须验证两条短边的平方和与最长边平方的等量关系，避免因边长顺序搞错出现计算错误。
【难度系数】
0.8
