7. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$,$AE$分别是$∠ BAC$和$∠ BAF$的角平分线,$BE ⊥ AE$,连接$DE$.求证:$AB=DE$.

AB=DE得证。

要证明AB=DE，步骤如下：
1. 已知AB=AC，AD平分∠BAC，根据等腰三角形“三线合一”性质，得AD⊥BC，即∠ADB=90°；
2. 因为AD平分∠BAC，AE平分∠BAF，且∠BAC与∠BAF为邻补角（∠BAC+∠BAF=180°），所以∠DAE=∠BAD+∠BAE=½∠BAC +½∠BAF=½(∠BAC+∠BAF)=90°；
3. 又BE⊥AE，所以∠BEA=90°；
4. 四边形ADBE中，∠ADB=∠DAE=∠BEA=90°，根据“三个角是直角的四边形是矩形”，得四边形ADBE是矩形；
5. 矩形的对角线相等，因此AB=DE。

8. 如图,在四边形ABCD中,AB=DC,点E,F分别是AD,BC的中点,点G,H分别是对角线BD,AC的中点.
(1) 求证:四边形EGFH是菱形;
(2) 已知AB=1,∠ABC+∠DCB=90°,求四边形EGFH的面积.

(1) 证明成立；(2) ¼

(1) 证明：∵点E、G分别是AD、BD的中点，∴EG是△ABD的中位线，∴EG//AB，EG=½AB。
同理，点F、G分别是BC、BD的中点，∴GF是△BCD的中位线，∴GF//DC，GF=½DC。
∵AB=DC，∴EG=GF=½AB。
又∵点H、F分别是AC、BC的中点，∴HF是△ABC的中位线，∴HF//AB，HF=½AB；
点E、H分别是AD、AC的中点，∴EH是△ACD的中位线，∴EH//DC，EH=½DC。
∴EG=HF，GF=EH，∴四边形EGFH是平行四边形。
又∵EG=GF，∴平行四边形EGFH是菱形。
(2) 解：由(1)知，EG//AB，GF//DC，∴∠ABC=∠GFC，∠DCB=∠GFB。
∵∠ABC+∠DCB=90°，∴∠GFC+∠GFB=∠BFC=90°，即∠EGF=90°。
∴菱形EGFH是正方形，边长EG=½AB=½×1=½。
∴正方形EGFH的面积=½×½=¼。

9. 如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,点P是BD上的一个点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为点M,N.
(1) 求证:∠ADB=∠CDB;
(2) 若∠ADC=90°,求证:四边形MPND是正方形.

(1) 证明成立；(2) 证明成立。

(1) 证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD。在△ABD和△CBD中，$\{\begin{array}{l}AB=BC\\∠ABD=∠CBD\\BD=BD\end{array} $，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB。(2) 证明：∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°。又∵∠ADC=90°，∴四边形MPND是矩形（三个角都是直角的四边形是矩形）。由(1)知∠ADB=∠CDB，即BD平分∠ADC，∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴矩形MPND是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）。