10. 如图,在四边形ABCD中,BC=CD,∠C=2∠BAD,点O是四边形ABCD内一点,且OA=OB=OD.求证:
(1) ∠BOD=∠C;
(2) 四边形OBCD是菱形.

(1) 证明成立，∠BOD=∠C；
(2) 证明成立，四边形OBCD是菱形。

(1) 已知OA=OB=OD，由等腰三角形性质得∠OAB=∠OBA，∠OAD=∠ODA。因此∠BAD=∠OAB+∠OAD，而∠BOD是△AOB和△AOD的外角，故∠BOD=∠OAB+∠OBA+∠OAD+∠ODA=2∠BAD。又题目给出∠C=2∠BAD，所以∠BOD=∠C。
(2) 连接OC，在△OBC和△ODC中，OB=OD，BC=CD，OC=OC，所以△OBC≌△ODC（SSS），得∠BOC=∠DOC，∠BCO=∠DCO。由(1)知∠BOD=∠C，而∠BOD=∠BOC+∠DOC，∠C=∠BCO+∠DCO，故∠BOC=∠BCO，所以OB=BC。结合OB=OD，BC=CD，得OB=BC=CD=OD，根据“四条边相等的四边形是菱形”，可证四边形OBCD是菱形。

11. 如图,在$□ ABCD$中,点$E,F$分别是$AB,CD$的中点,$AF$与$DE$相交于点$G$,$CE$与$BF$相交于点$H$.
(1) 求证:四边形$EHFG$是平行四边形;
(2) 当$□ ABCD$满足什么条件时,四边形$EHFG$是矩形? 并说明理由;
(3) 当$□ ABCD$满足什么条件时,四边形$EHFG$是正方形?(不要求说明理由).

(1) 四边形EHFG是平行四边形，证明如上；
(2) 当□ABCD是矩形时，四边形EHFG是矩形；
(3) 当□ABCD是正方形时，四边形EHFG是正方形。

(1) 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD。
∵E、F分别是AB、CD的中点，∴EB=½AB，FD=½CD，AE=½AB，CF=½CD，∴EB=FD，AE=CF，且EB//FD，AE//CF。
∴四边形EBFD和四边形AECF都是平行四边形，∴DE//BF，AF//CE，即EG//FH，GF//EH。
∴四边形EHFG是平行四边形。
(2) 当□ABCD是矩形时，四边形EHFG是矩形。
理由：∵□ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AB=CD，AB//CD。
∵E、F分别是AB、CD中点，∴BE=½AB，CF=½CD，∴BE=CF，又BC=BC，∴△EBC≌△FCB（SAS），∴∠BEC=∠CFB。
由(1)知四边形EHFG是平行四边形，又∵矩形ABCD中，∠ABC=90°，可推得∠GEH=90°，∴平行四边形EHFG是矩形。
(3) 当□ABCD是正方形时，四边形EHFG是正方形。