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11. 如图,在直角三角形 ABC 中,∠ACB=90°,AB=10 cm,BC=6 cm,AC=8 cm,将三角形 ABC 沿着与 AB 垂直的方向向上平移9 cm,得到三角形 DEF,则图中阴影部分的面积为 cm².
答案
$\boldsymbol{90}$
解析
【分析】
解题时首先回忆平移的性质：平移前后的图形全等，面积、形状、大小都不发生变化，对应线段平行且相等。观察图形可知，若直接拆分计算阴影部分面积步骤较繁琐，可通过整体法分析：阴影部分面积等于长方形ABED的面积加三角形DEF的面积，再减去空白三角形ABC的面积。由于平移后△DEF和△ABC面积相等，二者可直接抵消，因此只需计算长方形ABED的面积即可得到阴影部分面积。长方形的长为AB=10cm，宽为平移的距离9cm，二者相乘就得到最终结果。
【解析】
解：由平移的性质可得，△DEF≌△ABC，因此$S_{△ DEF}=S_{△ ABC}$，且$AB// DE$，$AB=DE=10\mathrm{cm}$。
因为平移方向与AB垂直，平移距离为9cm，所以四边形ABED是长方形，长方形的宽为9cm。
长方形ABED的面积为：$10×9=90\mathrm{cm}^2$。
阴影部分面积 = $S_{长方形ABED} + S_{△ DEF} - S_{△ ABC}$，
将$S_{△ DEF}=S_{△ ABC}$代入，可得阴影部分面积为$90\mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\boldsymbol{90}$
【知识点】
平移的性质；面积割补法；长方形面积计算
【点评】
本题考查平移性质的应用，解题关键是利用平移前后图形面积相等的特点，将不规则阴影部分的面积转化为规则长方形的面积计算，避免了拆分计算各部分面积的繁琐。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平移的性质：平移前后的图形全等，面积、形状、大小都不发生变化，对应线段平行且相等。观察图形可知，若直接拆分计算阴影部分面积步骤较繁琐，可通过整体法分析：阴影部分面积等于长方形ABED的面积加三角形DEF的面积，再减去空白三角形ABC的面积。由于平移后△DEF和△ABC面积相等，二者可直接抵消，因此只需计算长方形ABED的面积即可得到阴影部分面积。长方形的长为AB=10cm，宽为平移的距离9cm，二者相乘就得到最终结果。
【解析】
解：由平移的性质可得，△DEF≌△ABC，因此$S_{△ DEF}=S_{△ ABC}$，且$AB// DE$，$AB=DE=10\mathrm{cm}$。
因为平移方向与AB垂直，平移距离为9cm，所以四边形ABED是长方形，长方形的宽为9cm。
长方形ABED的面积为：$10×9=90\mathrm{cm}^2$。
阴影部分面积 = $S_{长方形ABED} + S_{△ DEF} - S_{△ ABC}$，
将$S_{△ DEF}=S_{△ ABC}$代入，可得阴影部分面积为$90\mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\boldsymbol{90}$
【知识点】
平移的性质；面积割补法；长方形面积计算
【点评】
本题考查平移性质的应用，解题关键是利用平移前后图形面积相等的特点，将不规则阴影部分的面积转化为规则长方形的面积计算，避免了拆分计算各部分面积的繁琐。
【难度系数】
0.7
12.如图,两个完全一样的直角三角形重叠在一起,将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到三角形DFE的位置,AB=10,DO=4,若平移距离为8,则阴影部分面积为.
答案
$\boldsymbol{64}$
解析
【分析】
两个完全相同的直角三角形面积相等，二者重叠的公共部分为△OEC，同时减去公共部分面积后，剩余部分面积仍然相等，因此阴影部分面积可转化为左侧梯形ABEO的面积计算。根据平移的性质，平移距离等于对应点的连线长度，可得梯形的高BE为8；平移前后对应边相等，可知DE=AB=10，结合已知DO=4，可求出梯形的上底OE长度，最后代入梯形面积公式即可求出结果。
【解析】
∵ 将△ABC沿B到C的方向平移得到△DEF
∴ △ABC与△DEF完全相等，即$S_{△ ABC}=S_{△ DEF}$，且$DE=AB=10$，平移距离$BE=8$
∵ $S_{△ ABC} - S_{△ OEC} = S_{△ DEF} - S_{△ OEC}$
∴ $S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{梯形}ABEO}$
已知$DO=4$，则$OE = DE - DO = 10 - 4 = 6$
根据梯形面积公式$S=\frac{(上底+下底)×高}{2}$，可得：
$S_{\mathrm{梯形}ABEO} = \frac{(OE + AB)× BE}{2} = \frac{(6 + 10)× 8}{2} = 64$
【答案】
$\boldsymbol{64}$
【知识点】
平移的性质，梯形面积计算
【点评】
本题考查平移背景下的面积计算，核心解题思路是利用“两个相等面积减去同一个公共部分面积，剩余面积仍相等”的规律，将不规则的阴影面积转化为规则的梯形面积求解，是这类重叠图形面积题的常用转化技巧。
【难度系数】
0.7
两个完全相同的直角三角形面积相等，二者重叠的公共部分为△OEC，同时减去公共部分面积后，剩余部分面积仍然相等，因此阴影部分面积可转化为左侧梯形ABEO的面积计算。根据平移的性质，平移距离等于对应点的连线长度，可得梯形的高BE为8；平移前后对应边相等，可知DE=AB=10，结合已知DO=4，可求出梯形的上底OE长度，最后代入梯形面积公式即可求出结果。
【解析】
∵ 将△ABC沿B到C的方向平移得到△DEF
∴ △ABC与△DEF完全相等，即$S_{△ ABC}=S_{△ DEF}$，且$DE=AB=10$，平移距离$BE=8$
∵ $S_{△ ABC} - S_{△ OEC} = S_{△ DEF} - S_{△ OEC}$
∴ $S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{梯形}ABEO}$
已知$DO=4$，则$OE = DE - DO = 10 - 4 = 6$
根据梯形面积公式$S=\frac{(上底+下底)×高}{2}$，可得：
$S_{\mathrm{梯形}ABEO} = \frac{(OE + AB)× BE}{2} = \frac{(6 + 10)× 8}{2} = 64$
【答案】
$\boldsymbol{64}$
【知识点】
平移的性质，梯形面积计算
【点评】
本题考查平移背景下的面积计算，核心解题思路是利用“两个相等面积减去同一个公共部分面积，剩余面积仍相等”的规律，将不规则的阴影面积转化为规则的梯形面积求解，是这类重叠图形面积题的常用转化技巧。
【难度系数】
0.7
13.如图,在长 30 m、宽 20 m 的长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路,余下部分作为耕地,道路宽为 3 m 时耕地面积为 m².
答案
$\boldsymbol{459}$
解析
【分析】
遇到长方形地块内修筑等宽道路求耕地面积的问题时，直接计算不规则道路的面积步骤繁琐，还容易重复扣除重叠部分出错。我们可以用平移思想，把两条“之”字路分别向长方形的左侧、下侧边缘平移，余下的耕地就能拼接成一个规则的新长方形，只需要计算新长方形的面积就可得到耕地面积，简化计算过程。
【解析】
根据平移的性质，平移后耕地拼接成的新长方形的长为原长减去道路宽度，宽为原宽减去道路宽度。
已知原长方形长30m，宽20m，道路宽3m：
新长方形的长：$30-3=27\ \mathrm{m}$
新长方形的宽：$20-3=17\ \mathrm{m}$
耕地面积即新长方形的面积：$27×17=459\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$\boldsymbol{459}$
【知识点】
平移的应用；长方形面积计算
【点评】
本题考查平移法在不规则图形面积计算中的应用，将零散的耕地通过平移转化为规则长方形是解题的关键，这种方法是解决这类道路占地面积问题的常用技巧，能有效规避计算道路重叠面积的错误。
【难度系数】
0.7
遇到长方形地块内修筑等宽道路求耕地面积的问题时，直接计算不规则道路的面积步骤繁琐，还容易重复扣除重叠部分出错。我们可以用平移思想，把两条“之”字路分别向长方形的左侧、下侧边缘平移，余下的耕地就能拼接成一个规则的新长方形，只需要计算新长方形的面积就可得到耕地面积，简化计算过程。
【解析】
根据平移的性质，平移后耕地拼接成的新长方形的长为原长减去道路宽度，宽为原宽减去道路宽度。
已知原长方形长30m，宽20m，道路宽3m：
新长方形的长：$30-3=27\ \mathrm{m}$
新长方形的宽：$20-3=17\ \mathrm{m}$
耕地面积即新长方形的面积：$27×17=459\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$\boldsymbol{459}$
【知识点】
平移的应用；长方形面积计算
【点评】
本题考查平移法在不规则图形面积计算中的应用，将零散的耕地通过平移转化为规则长方形是解题的关键，这种方法是解决这类道路占地面积问题的常用技巧，能有效规避计算道路重叠面积的错误。
【难度系数】
0.7
14.如图,在三角形ABC中,$AB=2\ \mathrm{cm},AC=3\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm}$,将三角形ABC沿BC方向平移$\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$得到三角形DEF,则四边形ABFD的周长为。
答案
$\boldsymbol{12\ \mathrm{cm}}$
解析
【分析】
解题时首先回忆平移的基本性质：平移后对应线段长度相等，对应点之间的连线长度等于平移距离。要求四边形ABFD的周长，我们先明确它的四条边分别是AB、BF、FD、DA，其中AB已知，FD和AC是对应边、长度相等，DA是平移距离，BF可以拆成BC加平移距离CF（CF和DA长度相等），把所有边用已知量代换后求和即可。
【解析】
根据平移的性质可知：
△ABC沿BC方向平移得到△DEF后，对应边相等，对应点连线等于平移距离，即：
$DF=AC=3\ \mathrm{cm}$，$AD=CF=\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$
四边形ABFD的周长为四条边长度之和：
$\begin{aligned}C_{ABFD}&=AB+BF+FD+DA\\&=AB+(BC+CF)+AC+AD\\&=2+(4+\frac{3}{2})+3+\frac{3}{2}\\&=2+4+3+(\frac{3}{2}+\frac{3}{2})\\&=9+3\\&=12\ \mathrm{cm}\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{12\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
平移的性质，周长计算，线段和差计算
【点评】
本题重点考查平移性质的实际应用，解题的核心是抓住平移过程中不变的线段长度，通过线段代换简化计算，无需单独求解未知线段，降低了计算量。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平移的基本性质：平移后对应线段长度相等，对应点之间的连线长度等于平移距离。要求四边形ABFD的周长，我们先明确它的四条边分别是AB、BF、FD、DA，其中AB已知，FD和AC是对应边、长度相等，DA是平移距离，BF可以拆成BC加平移距离CF（CF和DA长度相等），把所有边用已知量代换后求和即可。
【解析】
根据平移的性质可知：
△ABC沿BC方向平移得到△DEF后，对应边相等，对应点连线等于平移距离，即：
$DF=AC=3\ \mathrm{cm}$，$AD=CF=\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$
四边形ABFD的周长为四条边长度之和：
$\begin{aligned}C_{ABFD}&=AB+BF+FD+DA\\&=AB+(BC+CF)+AC+AD\\&=2+(4+\frac{3}{2})+3+\frac{3}{2}\\&=2+4+3+(\frac{3}{2}+\frac{3}{2})\\&=9+3\\&=12\ \mathrm{cm}\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{12\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
平移的性质，周长计算，线段和差计算
【点评】
本题重点考查平移性质的实际应用，解题的核心是抓住平移过程中不变的线段长度，通过线段代换简化计算，无需单独求解未知线段，降低了计算量。
【难度系数】
0.8
15. 如图，三角形ABC的边长AB=4 cm，BC=6 cm，AC=3 cm，将三角形ABC沿BC方向平移a cm(a＜6 cm)，得到三角形DEF，连接AD，则阴影部分的周长为cm.
答案
$\boldsymbol{13}$
解析
【分析】
解题时先回忆平移的性质：图形平移后，对应线段相等，对应点的连线长度等于平移距离。首先观察阴影部分的周长组成，发现可以通过平移性质将阴影部分的零散边合并为已知的△ABC的边和平移相关线段，其中平移距离a会在计算中抵消，无需单独求出a的数值。具体步骤为：先列出平移得到的相等线段，再拆分阴影周长的各边，合并后代入已知边长计算即可。
【解析】
根据平移的性质可得：
$AD = BE = a\ \mathrm{cm}$，$DE = AB = 4\ \mathrm{cm}$，$AC = 3\ \mathrm{cm}$，$BC = 6\ \mathrm{cm}$。
设AC与DE的交点为O，阴影部分的周长为：
$AO + OD + AD + OE + OC + EC$
对线段分组合并：
$=(AO + OC) + (OD + OE) + AD + EC$
$=AC + DE + AD + (BC - BE)$
代入数值计算：
$=3 + 4 + a + (6 - a)$
$=3+4+6$
$=13(\mathrm{cm})$
【答案】
$\boldsymbol{13}$
【知识点】
平移的性质，周长计算，线段和差计算
【点评】
本题解题的核心是利用平移的性质对阴影部分的周长进行转化，将未知的零散线段合并为已知长度的线段，平移距离a在计算过程中自动抵消，不需要求解a的具体值，考查了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆平移的性质：图形平移后，对应线段相等，对应点的连线长度等于平移距离。首先观察阴影部分的周长组成，发现可以通过平移性质将阴影部分的零散边合并为已知的△ABC的边和平移相关线段，其中平移距离a会在计算中抵消，无需单独求出a的数值。具体步骤为：先列出平移得到的相等线段，再拆分阴影周长的各边，合并后代入已知边长计算即可。
【解析】
根据平移的性质可得：
$AD = BE = a\ \mathrm{cm}$，$DE = AB = 4\ \mathrm{cm}$，$AC = 3\ \mathrm{cm}$，$BC = 6\ \mathrm{cm}$。
设AC与DE的交点为O，阴影部分的周长为：
$AO + OD + AD + OE + OC + EC$
对线段分组合并：
$=(AO + OC) + (OD + OE) + AD + EC$
$=AC + DE + AD + (BC - BE)$
代入数值计算：
$=3 + 4 + a + (6 - a)$
$=3+4+6$
$=13(\mathrm{cm})$
【答案】
$\boldsymbol{13}$
【知识点】
平移的性质，周长计算，线段和差计算
【点评】
本题解题的核心是利用平移的性质对阴影部分的周长进行转化，将未知的零散线段合并为已知长度的线段，平移距离a在计算过程中自动抵消，不需要求解a的具体值，考查了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
