例1 以下列选项中的数为长度的三条线段中，不能组成直角三角形的是 （ )

A.5，12，13
B.8，15，17
C.3，4，6
D.6，8，10
解析 根据勾股定理的逆定理判断.
因为 $ 5^{2}+1 2^{2}=1 3^{2}, $ $ 8^{2}+1 5^{2}=1 7^{2}, $ $ 3^{2}+4^{2}≠ 6^{2}, $ $ 6^{2}+8^{2}=1 0^{2}, $
所以A项、B项、D项中的三条线段都能组成直角三角形，以3，4，6为长度的三条线段不能组成直角三角形.
答案 C

C

根据勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方：
A选项：$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，能组成直角三角形；
B选项：$8^2+15^2=64+225=289=17^2$，能组成直角三角形；
C选项：$3^2+4^2=9+16=25≠36=6^2$，不能组成直角三角形；
D选项：$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，能组成直角三角形。
综上，不能组成直角三角形的是C选项。

例2 在满足下列条件的 $ △ A B C $中，直角三角形的个数为 ( )
$ \textcircled{1} $ $ BC=\frac{1}{3}, $ $ AC=\frac{1}{4}, $ $ AB=\frac{1}{5} $ $ \textcircled{2} $ $ BC=6, $ $ ∠ A=45° $ ;
$ \textcircled{3} $ $ ∠ A=32°, $ $ ∠ B=58° $ $ \textcircled{4} $ $ BC=7, $ $ AC=24, $ $ AB=25. $

A.2
B.3
C.4
D.1
解析可以计算出 $ \textcircled{1} $中 $ B C^{2}≠ A C^{2}+A B^{2} $ $ \textcircled{4} $中 $ B C^{2}+A C^{2}= A B^{2} $ ，根据勾股定理的逆定理， $ \textcircled{1} $不是直角三角形， $ \textcircled{4} $是直角三角形； $ \textcircled{3} $中 $ ∠ A+∠ B=90° $ ，所以也是直角三角形； $ \textcircled{2} $中根据所给条件无法判断三角形的形状.
答案 A

A

1. 对①，计算得$BC^2=\frac{1}{9}$，$AC^2+AB^2=\frac{1}{16}+\frac{1}{25}=\frac{41}{400}$，$BC^2≠AC^2+AB^2$，不是直角三角形；
2. 对②，仅已知一边和一个锐角，无法判定是否为直角三角形；
3. 对③，$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-32°-58°=90°$，是直角三角形；
4. 对④，计算得$BC^2+AC^2=7^2+24^2=625$，$AB^2=25^2=625$，即$BC^2+AC^2=AB^2$，根据勾股定理逆定理，是直角三角形。
综上，直角三角形的个数为2个。