1.【问题驱动】如何验证勾股定理及探究勾股数？
【活动操作】小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的五边形ABEFG.
【探索新知】
(1)从面积的角度思考,请用两种方法计算五边形ABEFG的面积,并写出得到等式$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的过程；
(2)如果满足等式$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的a,b,c是三个正整数,我们称a,b,c为勾股数.已知m,n是正整数且$m＞n$求证:$2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2}$是勾股数；
【灵活运用】
(3)在如图所示的五边形ABEFG中,若$a=4,b=8$,则空白部分的面积为；
(4)请写出任意一组含有85的“勾股数”:；
(5)小明在他找到的勾股数的表达式中,用$2n^{2}+4n+4$(n为任意正整数)表示一组勾股数中最大的一个数,则另两个数是,.(用含n的式子表示)

1.(1)解:如答图所示.
方法一：
$S_{五边形ABEFG}=S_{正方形ABDN}+S_{正方形MDEF}+S_{△ MFG}+S_{△ ANG}=b^{2}+a^{2}+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=a^{2}+b^{2}+ab.$
方法二：
$S_{五边形ABEFG}=S_{正方形ACFG}+S_{△ ABC}+S_{△ CEF}=c^{2}+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=c^{2}+ab,\therefore a^{2}+b^{2}+ab=c^{2}+ab,\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}.$
(2)证明:$\because (2mn)^{2}=4m^{2}n^{2},(m^{2}-n^{2})^{2}=m^{4}+n^{4}-2m^{2}n^{2},$
$\therefore (2mn)^{2}+(m^{2}-n^{2})^{2}=4m^{2}n^{2}+m^{4}+n^{4}-2m^{2}n^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}.$
$\because m,n$是正整数且$m＞n,$
$\therefore 2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2}$都是正整数，
$\therefore 2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2}$是勾股数.
(3)48
(4)85,3612,3613(答案不唯一)
(5)$2n^{2}+4n$ $4n+4$