2.【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠,充满魅力. 如图①是著名的赵爽弦图,由四个全等的直角三角形拼成,用它可以证明勾股定理,思路是大正方形的面积有两种求法,一种是等于$c^{2}$,另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和,即$\dfrac{1}{2}ab× 4+(b-a)^{2}$,从而得到等式$c^{2}=\dfrac{1}{2}ab× 4+(b-a)^{2}$, 化简便得结论$a^{2}+b^{2}=c^{2}$. 这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法,我们称之为“双求法”.
【方法运用】千百年来,人们对勾股定理的证明趋之若鹜,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者. 向常春构造发现了一个新的证法: 把两个全等的直角$△ ABC$和$△ DEA$ 如图②放置,其三边长分别为$a$,$b$,$c$,$∠ BAC= ∠ DEA=90^{ \circ }$,显然$BC ⊥ AD$.
(1)请用$a$,$b$,$c$分别表示出四边形$ABDC$,梯形$AEDC$,$△ BED$的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,证明勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$;
【方法迁移】(2)请利用“双求法”解决下面的问题: 如图③,网格中小正方形的边长均为$1$,连接小正方形的三个顶点,可得$△ ABC$,则$AB$边上的高为;
(3)如图④,在$△ ABC$中,$AD$是$BC$边上的高,$AB=4$,$AC=5$,$BC=6$,设$BD=x$,求$x$的值.

2.(1)证明:$\because S_{四边形ABDC}=\frac{1}{2}c^{2},S_{梯形AEDC}=\frac{1}{2}(b+a)b,$
$S_{△ BED}=\frac{1}{2}(a-b)a,S_{四边形ABDC}=S_{梯形AEDC}+S_{△ BED},$
$\therefore \frac{1}{2}c^{2}=\frac{1}{2}(b+a)b+\frac{1}{2}(a-b)a,$
$\therefore \frac{1}{2}c^{2}=\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}ab,\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}.$
(2)$\frac{6\sqrt{5}}{5}$
(3)解:在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,由勾股定理,得$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=4^{2}-x^{2}=16-x^{2}.$
$\because BD+CD=BC=6,\therefore CD=BC-BD=6-x.$
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,由勾股定理,得$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=5^{2}-(6-x)^{2}=-11+12x-x^{2},$
$\therefore 16-x^{2}=-11+12x-x^{2},解得x=\frac{9}{4}.$