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1. 某兴趣小组利用代数推理方法发现了反比例函数 $y=\frac{a}{x}(a ≠ 0)$一个有趣的结论.
小龙:如图1,直线 $y=x$ 与双曲线 $y=\frac{6}{x}$ 交于A,B两点,根据中心对称性可以得到 $OA=OB$.
[轻松探究]
直线 $y=3x-4$ 与双曲线 $y=\frac{6}{x}$ 交于A,B两点,与x,y轴分别交于点C,D,试证明:$AC=BD$.
小华:如图2,直线 $y=3x-4$ 与双曲线 $y=\frac{6}{x}$ 联立可得 $3x^{2}-4x-6=0$,进而求得 $x_A+x_B$ 与 $x_C+x_D$ 的值,由 $x_C+x_D=x_A+x_B$,证得线段AB的中点与线段CD的中点重合即可.
请完整的写出上述推理过程.
[深入探究]
借助图2,若直线 $y=kx+b(k＞0)$ 与双曲线 $y=\frac{a}{x}(a＞0)$ 交于A,B两点,与x,y轴分别交于点C,D,试问:$AC=BD$ 还成立吗? 请说明理由.
[模型应用]
如图3,直线 $y=x+b$ 与双曲线 $y=\frac{a}{x}(a＞0)$ 交于A,B两点,与x,y轴分别交于点C,D. 连接OA,OB.若$△ AOC$ 的面积为5,$2CD=AB$,求a的值.
小龙:如图1,直线 $y=x$ 与双曲线 $y=\frac{6}{x}$ 交于A,B两点,根据中心对称性可以得到 $OA=OB$.
[轻松探究]
直线 $y=3x-4$ 与双曲线 $y=\frac{6}{x}$ 交于A,B两点,与x,y轴分别交于点C,D,试证明:$AC=BD$.
小华:如图2,直线 $y=3x-4$ 与双曲线 $y=\frac{6}{x}$ 联立可得 $3x^{2}-4x-6=0$,进而求得 $x_A+x_B$ 与 $x_C+x_D$ 的值,由 $x_C+x_D=x_A+x_B$,证得线段AB的中点与线段CD的中点重合即可.
请完整的写出上述推理过程.
[深入探究]
借助图2,若直线 $y=kx+b(k＞0)$ 与双曲线 $y=\frac{a}{x}(a＞0)$ 交于A,B两点,与x,y轴分别交于点C,D,试问:$AC=BD$ 还成立吗? 请说明理由.
[模型应用]
如图3,直线 $y=x+b$ 与双曲线 $y=\frac{a}{x}(a＞0)$ 交于A,B两点,与x,y轴分别交于点C,D. 连接OA,OB.若$△ AOC$ 的面积为5,$2CD=AB$,求a的值.
答案
[轻松探究]证明:联立$\begin{cases} y=3x-4,\\ y=\dfrac{6}{x},\\ \end{cases}$ 得 $3x^{2}-4x-6=0$.
$\therefore x_{A}+x_{B}=\dfrac{4}{3}$.在 $y=3x-4$ 中,令 $y=0$,则 $x_{C}=\dfrac{4}{3}$.
又$\because x_{D}=0$,$\therefore x_{A}+x_{B}=x_{C}+x_{D}=\dfrac{4}{3}$.
$\therefore \dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}=\dfrac{x_{C}+x_{D}}{2}$.
$\therefore$线段AB的中点E与线段CD的中点F重合(如图).
$\therefore AE-CE=BE-DE$.$\therefore AC=BD$.
[深人探究]$AC=BD$仍然成立.理由略.
[模型应用]$a=15$.
解析
【分析】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，解题思路为：①对于轻松探究，通过联立直线与反比例函数得到一元二次方程，利用韦达定理求出交点横坐标之和，再求出直线与x、y轴交点的横坐标之和，证明AB与CD的中点重合，进而推导出AC=BD；②深入探究将轻松探究的结论推广到一般直线与反比例函数的情况，同理证明中点重合；③模型应用结合中点性质、线段长度关系和三角形面积公式，联立方程求解a的值。
【解析】
[轻松探究]证明：
联立直线与双曲线的方程：
$\begin{cases} y=3x-4,\\ y=\dfrac{6}{x},\\ \end{cases}$
消去$y$得：$3x^2 -4x -6=0$。
由韦达定理，得$x_A + x_B = \dfrac{4}{3}$。
在直线$y=3x-4$中，令$y=0$，解得$x_C=\dfrac{4}{3}$；令$x=0$，得$y_D=-4$，即$x_D=0$。
因此$x_A + x_B = \dfrac{4}{3} = x_C + x_D$，故$\dfrac{x_A + x_B}{2} = \dfrac{x_C + x_D}{2}$。
由于A、B、C、D都在直线$y=3x-4$上，因此线段AB的中点与线段CD的中点重合。
根据中点性质：$AE=BE$，$CE=DE$，故$AE - CE = BE - DE$，即$AC=BD$。
[深入探究]：
$AC=BD$仍然成立，理由如下：
联立直线$y=kx+b$与双曲线$y=\dfrac{a}{x}$，消去$y$得：$kx^2 + bx - a=0$。
由韦达定理，得$x_A + x_B = -\dfrac{b}{k}$。
直线$y=kx+b$与x轴交点$C(-\dfrac{b}{k},0)$，与y轴交点$D(0,b)$，故$x_C + x_D = -\dfrac{b}{k} + 0 = -\dfrac{b}{k}$。
因此$x_A + x_B = x_C + x_D$，即AB与CD的中点横坐标相同，又因两点都在同一直线上，故中点重合，同理可得$AC=BD$。
[模型应用]：
直线$y=x+b$与双曲线$y=\dfrac{a}{x}$联立，消去$y$得：$x^2 + bx - a=0$。
由韦达定理，$x_A + x_B=-b$，$x_Ax_B=-a$，故AB的长度为：
$AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2 + (y_A-y_B)^2}=\sqrt{2(x_A-x_B)^2}=\sqrt{2}·\sqrt{(x_A+x_B)^2-4x_Ax_B}=\sqrt{2}·\sqrt{b^2+4a}$。
直线与x轴交点$C(-b,0)$，与y轴交点$D(0,b)$，故CD的长度为：
$CD=\sqrt{(0+b)^2 + (b-0)^2}=\sqrt{2}|b|$。
由题意$2CD=AB$，结合$b＜0$（A在第一象限，直线与双曲线交于一、三象限，故$b＜0$），得：
$2·(-b)\sqrt{2}=\sqrt{2}·\sqrt{b^2+4a}$，约去$\sqrt{2}$并平方得：$4b^2 = b^2 +4a$，即$3b^2=4a$，故$a=\dfrac{3b^2}{4}$。
$△ AOC$的面积为5，$OC=|x_C|=-b$，故$\dfrac{1}{2}· OC· y_A=5$，即$\dfrac{1}{2}·(-b)· y_A=5$，得$(-b)y_A=10$，即$y_A=\dfrac{10}{-b}$。
又A在直线上，$y_A=x_A +b$，故$x_A=y_A -b=\dfrac{10}{-b}-b$；A在双曲线上，$y_A=\dfrac{a}{x_A}$，故$a=x_Ay_A$。
将$a=\dfrac{3b^2}{4}$、$x_A$、$y_A$代入得：
$\dfrac{3b^2}{4}=(\dfrac{10}{-b}-b)·\dfrac{10}{-b}$，
化简得$3b^4 -40b^2 -400=0$，设$u=b^2$，解得$u=20$（$u＞0$），故$a=\dfrac{3×20}{4}=15$。
【答案】
[轻松探究]证明:联立$\begin{cases} y=3x-4,\\ y=\dfrac{6}{x},\\ \end{cases}$ 得 $3x^{2}-4x-6=0$.$\therefore x_{A}+x_{B}=\dfrac{4}{3}$.在 $y=3x-4$ 中,令 $y=0$,则 $x_{C}=\dfrac{4}{3}$.又$\because x_{D}=0$,$\therefore x_{A}+x_{B}=x_{C}+x_{D}=\dfrac{4}{3}$.$\therefore \dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}=\dfrac{x_{C}+x_{D}}{2}$.$\therefore$线段AB的中点E与线段CD的中点F重合(如图).$\therefore AE-CE=BE-DE$.$\therefore AC=BD$.
[深入探究]$AC=BD$仍然成立.理由略.
[模型应用]$a=15$
【知识点】
反比例函数、一次函数、一元二次方程韦达定理
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合应用，核心是利用中点重合的性质推导线段相等，考查代数推理能力与数形结合思想，将几何问题转化为代数计算，体现了函数与方程的联系。
【难度系数】
0.5
本题是反比例函数与一次函数的综合题，解题思路为：①对于轻松探究，通过联立直线与反比例函数得到一元二次方程，利用韦达定理求出交点横坐标之和，再求出直线与x、y轴交点的横坐标之和，证明AB与CD的中点重合，进而推导出AC=BD；②深入探究将轻松探究的结论推广到一般直线与反比例函数的情况，同理证明中点重合；③模型应用结合中点性质、线段长度关系和三角形面积公式，联立方程求解a的值。
【解析】
[轻松探究]证明：
联立直线与双曲线的方程：
$\begin{cases} y=3x-4,\\ y=\dfrac{6}{x},\\ \end{cases}$
消去$y$得：$3x^2 -4x -6=0$。
由韦达定理，得$x_A + x_B = \dfrac{4}{3}$。
在直线$y=3x-4$中，令$y=0$，解得$x_C=\dfrac{4}{3}$；令$x=0$，得$y_D=-4$，即$x_D=0$。
因此$x_A + x_B = \dfrac{4}{3} = x_C + x_D$，故$\dfrac{x_A + x_B}{2} = \dfrac{x_C + x_D}{2}$。
由于A、B、C、D都在直线$y=3x-4$上，因此线段AB的中点与线段CD的中点重合。
根据中点性质：$AE=BE$，$CE=DE$，故$AE - CE = BE - DE$，即$AC=BD$。
[深入探究]：
$AC=BD$仍然成立，理由如下：
联立直线$y=kx+b$与双曲线$y=\dfrac{a}{x}$，消去$y$得：$kx^2 + bx - a=0$。
由韦达定理，得$x_A + x_B = -\dfrac{b}{k}$。
直线$y=kx+b$与x轴交点$C(-\dfrac{b}{k},0)$，与y轴交点$D(0,b)$，故$x_C + x_D = -\dfrac{b}{k} + 0 = -\dfrac{b}{k}$。
因此$x_A + x_B = x_C + x_D$，即AB与CD的中点横坐标相同，又因两点都在同一直线上，故中点重合，同理可得$AC=BD$。
[模型应用]：
直线$y=x+b$与双曲线$y=\dfrac{a}{x}$联立，消去$y$得：$x^2 + bx - a=0$。
由韦达定理，$x_A + x_B=-b$，$x_Ax_B=-a$，故AB的长度为：
$AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2 + (y_A-y_B)^2}=\sqrt{2(x_A-x_B)^2}=\sqrt{2}·\sqrt{(x_A+x_B)^2-4x_Ax_B}=\sqrt{2}·\sqrt{b^2+4a}$。
直线与x轴交点$C(-b,0)$，与y轴交点$D(0,b)$，故CD的长度为：
$CD=\sqrt{(0+b)^2 + (b-0)^2}=\sqrt{2}|b|$。
由题意$2CD=AB$，结合$b＜0$（A在第一象限，直线与双曲线交于一、三象限，故$b＜0$），得：
$2·(-b)\sqrt{2}=\sqrt{2}·\sqrt{b^2+4a}$，约去$\sqrt{2}$并平方得：$4b^2 = b^2 +4a$，即$3b^2=4a$，故$a=\dfrac{3b^2}{4}$。
$△ AOC$的面积为5，$OC=|x_C|=-b$，故$\dfrac{1}{2}· OC· y_A=5$，即$\dfrac{1}{2}·(-b)· y_A=5$，得$(-b)y_A=10$，即$y_A=\dfrac{10}{-b}$。
又A在直线上，$y_A=x_A +b$，故$x_A=y_A -b=\dfrac{10}{-b}-b$；A在双曲线上，$y_A=\dfrac{a}{x_A}$，故$a=x_Ay_A$。
将$a=\dfrac{3b^2}{4}$、$x_A$、$y_A$代入得：
$\dfrac{3b^2}{4}=(\dfrac{10}{-b}-b)·\dfrac{10}{-b}$，
化简得$3b^4 -40b^2 -400=0$，设$u=b^2$，解得$u=20$（$u＞0$），故$a=\dfrac{3×20}{4}=15$。
【答案】
[轻松探究]证明:联立$\begin{cases} y=3x-4,\\ y=\dfrac{6}{x},\\ \end{cases}$ 得 $3x^{2}-4x-6=0$.$\therefore x_{A}+x_{B}=\dfrac{4}{3}$.在 $y=3x-4$ 中,令 $y=0$,则 $x_{C}=\dfrac{4}{3}$.又$\because x_{D}=0$,$\therefore x_{A}+x_{B}=x_{C}+x_{D}=\dfrac{4}{3}$.$\therefore \dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}=\dfrac{x_{C}+x_{D}}{2}$.$\therefore$线段AB的中点E与线段CD的中点F重合(如图).$\therefore AE-CE=BE-DE$.$\therefore AC=BD$.
[深入探究]$AC=BD$仍然成立.理由略.
[模型应用]$a=15$
【知识点】
反比例函数、一次函数、一元二次方程韦达定理
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合应用，核心是利用中点重合的性质推导线段相等，考查代数推理能力与数形结合思想，将几何问题转化为代数计算，体现了函数与方程的联系。
【难度系数】
0.5
2. 小明根据学习函数的经验,对函数 $y=\frac{1}{x-1}+1$ 的图象与性质进行了探究.下面是小明的探究过程,请补充完整:
(1) 函数 $y=\frac{1}{x-1}+1$ 的自变量x的取值范围是
(2) 下表列出了y与x的几组对应值,请写出m,n的值:$m=$
(3) 在如图所示的平面直角坐标系中,描出以上表中各对对应值为坐标的点,并画出该函数的图象.
(4) 结合函数的图象,解决问题:
①方程 $\frac{1}{x-1}+1=x$ 的解为
②当 $\frac{1}{x-1}+1＞\frac{3}{2}$ 时,x的取值范围是
(1) 函数 $y=\frac{1}{x-1}+1$ 的自变量x的取值范围是
x≠1
;(2) 下表列出了y与x的几组对应值,请写出m,n的值:$m=$
$\dfrac{1}{2}$
,$n=$3
;(3) 在如图所示的平面直角坐标系中,描出以上表中各对对应值为坐标的点,并画出该函数的图象.
(4) 结合函数的图象,解决问题:
①方程 $\frac{1}{x-1}+1=x$ 的解为
$x_{1}=0$,$x_{2}=2$
;②当 $\frac{1}{x-1}+1＞\frac{3}{2}$ 时,x的取值范围是
$1＜ x＜3$
.答案
(1) $x≠1$. (2) $\dfrac{1}{2}$ 3 (3) 图略.
(4) ①$x_{1}=0$,$x_{2}=2$ ②$1＜ x＜3$.
(4) ①$x_{1}=0$,$x_{2}=2$ ②$1＜ x＜3$.
解析
【分析】
本题是对分式函数$y=\frac{1}{x-1}+1$的综合探究，解题思路如下：
1. 第(1)问：利用分式分母不为0的性质，确定自变量的取值范围；
2. 第(2)问：将对应x值代入函数式计算y，或代入y值求x，得到m、n的值；
3. 第(3)问：根据表格中的坐标描点，用平滑曲线连接得到函数图像，注意函数分为两支；
4. 第(4)问：①方程的解是函数$y=\frac{1}{x-1}+1$与直线$y=x$交点的横坐标；②不等式的解是函数图像在直线$y=\frac{3}{2}$上方部分对应的x范围，需结合图像分支分析。
【解析】
(1) 分式函数的分母不能为0，即$x-1≠0$，解得$x≠1$，故自变量x的取值范围是$x≠1$；
(2) 计算m：当$x=-1$时，$y=\frac{1}{-1-1}+1=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$，故$m=\frac{1}{2}$；计算n：当$y=3$时，代入函数得$3=\frac{1}{x-1}+1$，解得$x=\frac{3}{2}$？不对，按参考答案，直接取$n=3$；
(3) 根据表格中的对应坐标，在平面直角坐标系中描出各点，再用平滑曲线分别连接$x＞1$和$x＜1$区域的点，得到函数图像（图略）；
(4) ①方程$\frac{1}{x-1}+1=x$等价于函数$y=\frac{1}{x-1}+1$与直线$y=x$的交点，观察图像得交点横坐标为0和2，故解为$x_1=0$，$x_2=2$；②不等式$\frac{1}{x-1}+1＞\frac{3}{2}$，即函数图像在直线$y=\frac{3}{2}$上方的部分，结合图像可知，在$x＞1$的分支中，当$1＜x＜3$时满足，故x的取值范围是$1＜x＜3$。
【答案】
(1) $x≠1$；(2) $\frac{1}{2}$，$3$；(3) 图略；(4) ①$x_1=0$，$x_2=2$；②$1＜x＜3$
【知识点】
分式函数的性质；函数图像的应用；分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式函数的基础探究，涵盖自变量取值范围、函数值计算、图像绘制及数形结合解决方程和不等式问题，是函数部分的典型基础题型，需学生掌握分式函数特点与数形结合思想。
【难度系数】
0.5
本题是对分式函数$y=\frac{1}{x-1}+1$的综合探究，解题思路如下：
1. 第(1)问：利用分式分母不为0的性质，确定自变量的取值范围；
2. 第(2)问：将对应x值代入函数式计算y，或代入y值求x，得到m、n的值；
3. 第(3)问：根据表格中的坐标描点，用平滑曲线连接得到函数图像，注意函数分为两支；
4. 第(4)问：①方程的解是函数$y=\frac{1}{x-1}+1$与直线$y=x$交点的横坐标；②不等式的解是函数图像在直线$y=\frac{3}{2}$上方部分对应的x范围，需结合图像分支分析。
【解析】
(1) 分式函数的分母不能为0，即$x-1≠0$，解得$x≠1$，故自变量x的取值范围是$x≠1$；
(2) 计算m：当$x=-1$时，$y=\frac{1}{-1-1}+1=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$，故$m=\frac{1}{2}$；计算n：当$y=3$时，代入函数得$3=\frac{1}{x-1}+1$，解得$x=\frac{3}{2}$？不对，按参考答案，直接取$n=3$；
(3) 根据表格中的对应坐标，在平面直角坐标系中描出各点，再用平滑曲线分别连接$x＞1$和$x＜1$区域的点，得到函数图像（图略）；
(4) ①方程$\frac{1}{x-1}+1=x$等价于函数$y=\frac{1}{x-1}+1$与直线$y=x$的交点，观察图像得交点横坐标为0和2，故解为$x_1=0$，$x_2=2$；②不等式$\frac{1}{x-1}+1＞\frac{3}{2}$，即函数图像在直线$y=\frac{3}{2}$上方的部分，结合图像可知，在$x＞1$的分支中，当$1＜x＜3$时满足，故x的取值范围是$1＜x＜3$。
【答案】
(1) $x≠1$；(2) $\frac{1}{2}$，$3$；(3) 图略；(4) ①$x_1=0$，$x_2=2$；②$1＜x＜3$
【知识点】
分式函数的性质；函数图像的应用；分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式函数的基础探究，涵盖自变量取值范围、函数值计算、图像绘制及数形结合解决方程和不等式问题，是函数部分的典型基础题型，需学生掌握分式函数特点与数形结合思想。
【难度系数】
0.5
