3. 对于两个不同的函数,通过减法运算可以得到一个新函数,我们把这个新函数称为两个函数的"差函数".例如:对于函数 $y_1=3x$ 和 $y_2=x-1$,则函数 $y_1,y_2$ 的"差函数"记为 $y_3=y_1-y_2=3x-(x-1)=2x+1$.
(1) 已知函数 $y_1=x^{3}$ 和 $y_2=\frac{1}{x}$,若将这两个函数的"差函数"记为 $y_3$.
①写出 $y_3$ 的表达式,$y_3=$;
②函数 $y_1,y_2$ 的图象如图所示,则 $y_3$ 的大致图象是.

(2) 已知函数 $y_4=x+1$ 和 $y_5=\frac{1}{x+1}$,若将这两个函数的"差函数"记为 $y_6$,判断下列关于"差函数"$y_6$ 描述的正确性,并对正确的描述进行证明:
A. $y_6$ 的图象与x轴没有公共点;
B. $y_6$ 的图象关于$(-1,0)$对称;
C. 当$x＜-1$时,$y_6$ 随x的值增大而减小;
D. 当$x＞-1$时,随着x的值增大,$y_6$ 的图象越来越接近 $y_4=x+1$ 的图象.
上述描述正确的为.

(1) ①$x^{3}-\dfrac{1}{x}$ ②D (2) BD

【分析】
首先明确“差函数”的定义：新函数为两个函数的差（被减数函数减去减数函数）。对于(1)①，直接代入两个函数的表达式即可得到差函数；②需分析差函数的定义域、奇偶性、单调性及特殊点，结合选项排除错误图像。对于(2)，先求出差函数的表达式，再逐一验证每个选项：判断与x轴交点需令差函数值为0解方程，判断对称性利用函数关于点对称的性质，判断单调性可通过导数或函数增减性分析，判断趋近性看自变量趋向无穷时的极限。
【解析】
(1)① 根据差函数定义，$y_3 = y_1 - y_2 = x^3 - \frac{1}{x}$；
② 分析$y_3=x^3-\frac{1}{x}$：定义域为$x≠0$，是奇函数（$x^3$和$\frac{1}{x}$均为奇函数，奇函数减奇函数仍为奇函数，图像关于原点对称），排除A、C；B为直线，而$y_3$不是一次函数，排除B；当$x＞0$时，$x^3$递增、$\frac{1}{x}$递减，故$y_3$随$x$增大而递增，且$x→0^+$时$\frac{1}{x}→+∞$，$y_3→-∞$；$x→+∞$时$x^3$主导，$y_3→+∞$，符合选项D的右半部分；当$x＜0$时，$x→0^-$时$-\frac{1}{x}→+∞$，$y_3→+∞$，$x→-∞$时$x^3→-∞$，$y_3→-∞$，且$x=-1$时$y_3=(-1)^3-\frac{1}{-1}=0$，符合选项D的左半部分，故选D。
(2) 先求$y_6 = y_4 - y_5 = (x+1)-\frac{1}{x+1}$，定义域$x≠-1$：
选项A：令$y_6=0$，即$(x+1)-\frac{1}{x+1}=0$，整理得$(x+1)^2-1=0$，解得$x=0$或$x=-2$，均在定义域内，故与x轴有公共点，A错误；
选项B：验证关于$(-1,0)$对称，即$f(-2-x)=-f(x)$：$f(-2-x)=(-2-x+1)-\frac{1}{-2-x+1}=(-1-x)-\frac{1}{-1-x}=-(x+1)+\frac{1}{x+1}=-[(x+1)-\frac{1}{x+1}]=-f(x)$，故B正确；
选项C：对$y_6$求导得$y_6'=1+\frac{1}{(x+1)^2}＞0$，故$y_6$在定义域内单调递增，$x＜-1$时随$x$增大而增大，C错误；
选项D：当$x＞-1$时，$x→+∞$时$\frac{1}{x+1}→0$，故$y_6=(x+1)-\frac{1}{x+1}→x+1$，即越来越接近$y_4=x+1$，D正确；
综上，正确的是BD。
【答案】
(1)①$x^{3}-\dfrac{1}{x}$；②D (2)BD
【知识点】
函数新定义、函数图像性质、函数对称性与单调性
【点评】
本题考查新定义函数的运算及综合性质，需准确理解差函数定义，结合函数的定义域、奇偶性、单调性、对称性等知识分析，对学生的函数应用能力要求较高。
【难度系数】
0.3