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10.自学下面材料后,解答问题.
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式.如:$\frac{x-2}{x+1}＞0$,$\frac{2x+3}{x-1}＜0$等.那么如何求出它们的解集呢?
根据我们学过的有理数的除法法则可知:两数相除,同号得正,异号得负.其字母表达式为:
若$a＞0,b＞0$,则$\frac{a}{b}＞0$;
若$a＜0,b＜0$,则$\frac{a}{b}＞0$;
若$a＞0,b＜0$,则$\frac{a}{b}＜0$;
若$a＜0,b＞0$,则$\frac{a}{b}＜0$.
(1)反之:若$\frac{a}{b}＞0$,则$\begin{cases} a＞0, \\ b＞0 \end{cases}$或$\begin{cases} a＜0, \\ b＜0. \end{cases}$
若$\frac{a}{b}＜0$,则________或________;
(2)根据上述规律,求不等式$\frac{x-2}{x+1}＞0$的解集;
(3)直接写出分式不等式$\frac{x^2+1}{x-3}＞\frac{x^2+1}{3x-2}$的解集________.
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式.如:$\frac{x-2}{x+1}＞0$,$\frac{2x+3}{x-1}＜0$等.那么如何求出它们的解集呢?
根据我们学过的有理数的除法法则可知:两数相除,同号得正,异号得负.其字母表达式为:
若$a＞0,b＞0$,则$\frac{a}{b}＞0$;
若$a＜0,b＜0$,则$\frac{a}{b}＞0$;
若$a＞0,b＜0$,则$\frac{a}{b}＜0$;
若$a＜0,b＞0$,则$\frac{a}{b}＜0$.
(1)反之:若$\frac{a}{b}＞0$,则$\begin{cases} a＞0, \\ b＞0 \end{cases}$或$\begin{cases} a＜0, \\ b＜0. \end{cases}$
若$\frac{a}{b}＜0$,则________或________;
(2)根据上述规律,求不等式$\frac{x-2}{x+1}＞0$的解集;
(3)直接写出分式不等式$\frac{x^2+1}{x-3}＞\frac{x^2+1}{3x-2}$的解集________.
答案
10.【解析】(1)若$\frac{a}{b}＜0$,则$\begin{cases} a＞0, \\ b＜0 \end{cases}$或$\begin{cases} a＜0, \\ b＞0. \end{cases}$
(2)不等式转化为$\begin{cases} x−2＞0, \\ x+1＞0 \end{cases}$或$\begin{cases} x−2＜0, \\ x+1＜0, \end{cases}$
∴$x＞2$或$x＜−1$。
(3)不等式转化为$\begin{cases} 0＜x−3, \\ x−3＜3x−2 \end{cases}$或$\begin{cases} 3x−2＜0, \\ x−3＜3x−2, \end{cases}$
∴$x＞3$或$-\frac{1}{2}＜x＜\frac{2}{3}$。
(2)不等式转化为$\begin{cases} x−2＞0, \\ x+1＞0 \end{cases}$或$\begin{cases} x−2＜0, \\ x+1＜0, \end{cases}$
∴$x＞2$或$x＜−1$。
(3)不等式转化为$\begin{cases} 0＜x−3, \\ x−3＜3x−2 \end{cases}$或$\begin{cases} 3x−2＜0, \\ x−3＜3x−2, \end{cases}$
∴$x＞3$或$-\frac{1}{2}＜x＜\frac{2}{3}$。
解析
【分析】
本题是材料阅读类题型，解题需先理解材料给出的分式不等式求解逻辑：两数相除同号得正、异号得负，可将分式不等式转化为两个一元一次不等式组求解。第(1)问直接根据异号得负的逆用填空即可；第(2)问将分式大于0转化为分子分母同正、同负两种情况，分别解不等式组后合并解集；第(3)问先利用$x^2+1$恒为正数的性质简化不等式，再分分母正负情况讨论，转化为不等式组求解即可。
【解析】
(1) 根据有理数除法“异号得负”的逆运算，若$\frac{a}{b}＜0$，则分子分母异号，即$\begin{cases} a＞0, \\ b＜0 \end{cases}$或$\begin{cases} a＜0, \\ b＞0 \end{cases}$。
(2) 不等式$\frac{x-2}{x+1}＞0$符合分式大于0的情况，可转化为两个不等式组：
① $\begin{cases} x-2＞0, \\ x+1＞0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} x＞2, \\ x＞-1 \end{cases}$，公共解集为$x＞2$；
② $\begin{cases} x-2＜0, \\ x+1＜0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} x＜2, \\ x＜-1 \end{cases}$，公共解集为$x＜-1$；
因此原不等式的解集为$x＞2$或$x＜-1$。
(3) 因为$x^2≥0$，所以$x^2+1≥1＞0$，不等式两边同时除以$x^2+1$，不等号方向不变，可得$\frac{1}{x-3}＞\frac{1}{3x-2}$，分情况讨论：
① 当$x-3＞0$即$x＞3$时，$3x-2＞0$，不等式两边同时乘正数$(x-3)(3x-2)$，不等号方向不变，得$3x-2＞x-3$，解得$x＞-\frac{1}{2}$，结合$x＞3$，得解集$x＞3$；
② 当$3x-2＜0$即$x＜\frac{2}{3}$时，$x-3＜0$，不等式两边同时乘正数$(x-3)(3x-2)$，不等号方向不变，得$3x-2＞x-3$，解得$x＞-\frac{1}{2}$，结合$x＜\frac{2}{3}$，得解集$-\frac{1}{2}＜x＜\frac{2}{3}$；
③ 当$\frac{2}{3}＜x＜3$时，左边$\frac{1}{x-3}$为负数，右边$\frac{1}{3x-2}$为正数，负数不可能大于正数，此情况无解；
综上，原不等式的解集为$x＞3$或$-\frac{1}{2}＜x＜\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\begin{cases} a＞0, \\ b＜0 \end{cases}$；$\begin{cases} a＜0, \\ b＞0 \end{cases}$
(2) $x＞2$或$x＜−1$
(3) $x＞3$或$-\frac{1}{2}＜x＜\frac{2}{3}$
【知识点】
分式不等式求解，一元一次不等式组，有理数除法符号法则
【点评】
本题侧重考查新知识迁移应用能力，解题核心是将陌生的分式不等式转化为已学的一元一次不等式组求解，解题时注意分类讨论时不要遗漏情况，同时要验证每种情况的前提条件。
【难度系数】
0.6
本题是材料阅读类题型，解题需先理解材料给出的分式不等式求解逻辑：两数相除同号得正、异号得负，可将分式不等式转化为两个一元一次不等式组求解。第(1)问直接根据异号得负的逆用填空即可；第(2)问将分式大于0转化为分子分母同正、同负两种情况，分别解不等式组后合并解集；第(3)问先利用$x^2+1$恒为正数的性质简化不等式，再分分母正负情况讨论，转化为不等式组求解即可。
【解析】
(1) 根据有理数除法“异号得负”的逆运算，若$\frac{a}{b}＜0$，则分子分母异号，即$\begin{cases} a＞0, \\ b＜0 \end{cases}$或$\begin{cases} a＜0, \\ b＞0 \end{cases}$。
(2) 不等式$\frac{x-2}{x+1}＞0$符合分式大于0的情况，可转化为两个不等式组：
① $\begin{cases} x-2＞0, \\ x+1＞0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} x＞2, \\ x＞-1 \end{cases}$，公共解集为$x＞2$；
② $\begin{cases} x-2＜0, \\ x+1＜0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} x＜2, \\ x＜-1 \end{cases}$，公共解集为$x＜-1$；
因此原不等式的解集为$x＞2$或$x＜-1$。
(3) 因为$x^2≥0$，所以$x^2+1≥1＞0$，不等式两边同时除以$x^2+1$，不等号方向不变，可得$\frac{1}{x-3}＞\frac{1}{3x-2}$，分情况讨论：
① 当$x-3＞0$即$x＞3$时，$3x-2＞0$，不等式两边同时乘正数$(x-3)(3x-2)$，不等号方向不变，得$3x-2＞x-3$，解得$x＞-\frac{1}{2}$，结合$x＞3$，得解集$x＞3$；
② 当$3x-2＜0$即$x＜\frac{2}{3}$时，$x-3＜0$，不等式两边同时乘正数$(x-3)(3x-2)$，不等号方向不变，得$3x-2＞x-3$，解得$x＞-\frac{1}{2}$，结合$x＜\frac{2}{3}$，得解集$-\frac{1}{2}＜x＜\frac{2}{3}$；
③ 当$\frac{2}{3}＜x＜3$时，左边$\frac{1}{x-3}$为负数，右边$\frac{1}{3x-2}$为正数，负数不可能大于正数，此情况无解；
综上，原不等式的解集为$x＞3$或$-\frac{1}{2}＜x＜\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\begin{cases} a＞0, \\ b＜0 \end{cases}$；$\begin{cases} a＜0, \\ b＞0 \end{cases}$
(2) $x＞2$或$x＜−1$
(3) $x＞3$或$-\frac{1}{2}＜x＜\frac{2}{3}$
【知识点】
分式不等式求解，一元一次不等式组，有理数除法符号法则
【点评】
本题侧重考查新知识迁移应用能力，解题核心是将陌生的分式不等式转化为已学的一元一次不等式组求解，解题时注意分类讨论时不要遗漏情况，同时要验证每种情况的前提条件。
【难度系数】
0.6
11.“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期.某中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1 100元.
(1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少；
(2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8 600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问：有几种购买方案？最低费用是多少？
(1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少；
(2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8 600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问：有几种购买方案？最低费用是多少？
答案
11.【解析】(1)设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，每套乙型号“文房四宝”的价格是(x−40)元。
由题意可得$5x+10(x−40)=1100$，
解得$x=100$，
$x−40=60$，
∴每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，每套乙型号“文房四宝”的价格是60元。
(2)设需购进乙型号“文房四宝”m套，需购进甲型号“文房四宝”(120−m)套，
由题意可得
$\begin{cases}100(120−m)+60m≤8600, \\m＜3×(120−m),\end{cases}$
解得$85≤m＜90$。
又
∵m为正整数，
∴m可以取85，86，87，88，89，
∴共有5种购买方案。
方案1:购进35套甲型号“文房四宝”，85套乙型号“文房四宝”；
方案2:购进34套甲型号“文房四宝"，86套乙型号“文房四宝”；
方案3:购进33套甲型号“文房四宝”，87套乙型号“文房四宝”；
方案4:购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”；
方案5:购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”。
∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，
∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低，
∴最低费用是$31×100+60×89=8440$(元)。
由题意可得$5x+10(x−40)=1100$，
解得$x=100$，
$x−40=60$，
∴每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，每套乙型号“文房四宝”的价格是60元。
(2)设需购进乙型号“文房四宝”m套，需购进甲型号“文房四宝”(120−m)套，
由题意可得
$\begin{cases}100(120−m)+60m≤8600, \\m＜3×(120−m),\end{cases}$
解得$85≤m＜90$。
又
∵m为正整数，
∴m可以取85，86，87，88，89，
∴共有5种购买方案。
方案1:购进35套甲型号“文房四宝”，85套乙型号“文房四宝”；
方案2:购进34套甲型号“文房四宝"，86套乙型号“文房四宝”；
方案3:购进33套甲型号“文房四宝”，87套乙型号“文房四宝”；
方案4:购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”；
方案5:购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”。
∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，
∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低，
∴最低费用是$31×100+60×89=8440$(元)。
解析
【分析】
（1）第一问给出了甲、乙型号文房四宝的价格差，以及固定数量购买的总费用，属于一元一次方程应用类问题。可先设其中一种型号的价格为未知数，根据价格差表示出另一种型号的价格，再利用总费用的等量关系列方程求解即可。
（2）第二问给出了总采购套数、总费用上限、乙型号和甲型号数量的不等关系三个限制条件，可设乙型号的采购数量为未知数，用总套数表示出甲型号的采购数量，再根据两个限制条件列一元一次不等式组，求出未知数的取值范围，结合采购套数为正整数的实际要求确定所有可行方案；因为甲型号单价更高，要使总费用最低，应尽量减少甲型号的采购量，对应乙型号取取值范围内的最大值即可算出最低费用。
【解析】
(1)设每套甲型号“文房四宝”的价格是$x$元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是$(x-40)$元。
由题意可得：
$5x+10(x-40)=1100$
展开得$5x+10x-400=1100$
整理得$15x=1500$
解得$x=100$
则乙型号价格为$x-40=100-40=60$（元）。
(2)设需购进乙型号“文房四宝”$m$套，则购进甲型号“文房四宝”$(120-m)$套，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}100(120-m)+60m≤8600 \\m＜3×(120-m)\end{cases}$
解第一个不等式：
$12000-40m≤8600$
$-40m≤-3400$
解得$m≥85$
解第二个不等式：
$m＜360-3m$
$4m＜360$
解得$m＜90$
因此不等式组的解集为$85≤ m＜90$。
$\because m$为正整数，$\therefore m$可取85、86、87、88、89，共5个取值，对应5种购买方案：
方案1：购进35套甲型号，85套乙型号；
方案2：购进34套甲型号，86套乙型号；
方案3：购进33套甲型号，87套乙型号；
方案4：购进32套甲型号，88套乙型号；
方案5：购进31套甲型号，89套乙型号。
$\because$甲型号单价比乙型号贵，$\therefore$甲型号采购量越少总费用越低，选择方案5费用最低：
最低费用$=31×100+89×60=3100+5340=8440$（元）。
【答案】
(1)每套甲型号“文房四宝”价格为100元，每套乙型号价格为60元；
(2)共有5种购买方案，最低费用是8440元。
【知识点】
一元一次方程应用，一元一次不等式组应用，最优方案选择
【点评】
本题结合传统文化背景考查方程与不等式的实际应用，解题核心是准确提取题干的等量关系和不等关系，求解时要注意未知数的取值需符合实际意义，最优方案可结合单价高低快速推导，能有效锻炼学生的信息提取能力和实际问题解决能力。
【难度系数】
0.7
（1）第一问给出了甲、乙型号文房四宝的价格差，以及固定数量购买的总费用，属于一元一次方程应用类问题。可先设其中一种型号的价格为未知数，根据价格差表示出另一种型号的价格，再利用总费用的等量关系列方程求解即可。
（2）第二问给出了总采购套数、总费用上限、乙型号和甲型号数量的不等关系三个限制条件，可设乙型号的采购数量为未知数，用总套数表示出甲型号的采购数量，再根据两个限制条件列一元一次不等式组，求出未知数的取值范围，结合采购套数为正整数的实际要求确定所有可行方案；因为甲型号单价更高，要使总费用最低，应尽量减少甲型号的采购量，对应乙型号取取值范围内的最大值即可算出最低费用。
【解析】
(1)设每套甲型号“文房四宝”的价格是$x$元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是$(x-40)$元。
由题意可得：
$5x+10(x-40)=1100$
展开得$5x+10x-400=1100$
整理得$15x=1500$
解得$x=100$
则乙型号价格为$x-40=100-40=60$（元）。
(2)设需购进乙型号“文房四宝”$m$套，则购进甲型号“文房四宝”$(120-m)$套，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}100(120-m)+60m≤8600 \\m＜3×(120-m)\end{cases}$
解第一个不等式：
$12000-40m≤8600$
$-40m≤-3400$
解得$m≥85$
解第二个不等式：
$m＜360-3m$
$4m＜360$
解得$m＜90$
因此不等式组的解集为$85≤ m＜90$。
$\because m$为正整数，$\therefore m$可取85、86、87、88、89，共5个取值，对应5种购买方案：
方案1：购进35套甲型号，85套乙型号；
方案2：购进34套甲型号，86套乙型号；
方案3：购进33套甲型号，87套乙型号；
方案4：购进32套甲型号，88套乙型号；
方案5：购进31套甲型号，89套乙型号。
$\because$甲型号单价比乙型号贵，$\therefore$甲型号采购量越少总费用越低，选择方案5费用最低：
最低费用$=31×100+89×60=3100+5340=8440$（元）。
【答案】
(1)每套甲型号“文房四宝”价格为100元，每套乙型号价格为60元；
(2)共有5种购买方案，最低费用是8440元。
【知识点】
一元一次方程应用，一元一次不等式组应用，最优方案选择
【点评】
本题结合传统文化背景考查方程与不等式的实际应用，解题核心是准确提取题干的等量关系和不等关系，求解时要注意未知数的取值需符合实际意义，最优方案可结合单价高低快速推导，能有效锻炼学生的信息提取能力和实际问题解决能力。
【难度系数】
0.7
