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四、三元一次方程组的解法
1. 若$x + 2y + 3z = 10, 4x + 3y + 2z = 15$，则$x + y + z$的值为（
A.2
B.3
C.4
D.5
1. 若$x + 2y + 3z = 10, 4x + 3y + 2z = 15$，则$x + y + z$的值为（
D
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
1.D
解析
【分析】
观察题目可知，给出的两个方程共包含3个未知数，无法通过常规消元法单独求出x、y、z的具体值，因此考虑使用整体思想解题：将两个方程的左右两边分别相加，可得到x、y、z系数相同的式子，再通过等式变形即可直接求出x+y+z的值。
【解析】
设$x + 2y + 3z = 10$ ①，$4x + 3y + 2z = 15$ ②
将①和②左右两边分别相加，可得：
$(x + 2y + 3z) + (4x + 3y + 2z) = 10 + 15$
合并同类项得：$5x + 5y + 5z = 25$
等式两边同时除以5，得：$x + y + z = 5$
【答案】
D
【知识点】
1. 三元一次方程组求值 2. 等式的基本性质 3. 整体思想
【点评】
本题是三元一次方程组求值的经典题型，无需逐个求解未知数，通过观察方程系数特征，运用整体相加的方法即可快速得出结果，重点考查整体思想的灵活运用能力，可避免盲目消元浪费时间。
【难度系数】
0.8
观察题目可知，给出的两个方程共包含3个未知数，无法通过常规消元法单独求出x、y、z的具体值，因此考虑使用整体思想解题：将两个方程的左右两边分别相加，可得到x、y、z系数相同的式子，再通过等式变形即可直接求出x+y+z的值。
【解析】
设$x + 2y + 3z = 10$ ①，$4x + 3y + 2z = 15$ ②
将①和②左右两边分别相加，可得：
$(x + 2y + 3z) + (4x + 3y + 2z) = 10 + 15$
合并同类项得：$5x + 5y + 5z = 25$
等式两边同时除以5，得：$x + y + z = 5$
【答案】
D
【知识点】
1. 三元一次方程组求值 2. 等式的基本性质 3. 整体思想
【点评】
本题是三元一次方程组求值的经典题型，无需逐个求解未知数，通过观察方程系数特征，运用整体相加的方法即可快速得出结果，重点考查整体思想的灵活运用能力，可避免盲目消元浪费时间。
【难度系数】
0.8
2. 甲、乙、丙三种商品,若购买甲3件、乙2件、丙1件共需315元钱,购买甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱,则购甲、乙、丙三种商品各一件共需（
A.128元
B.130元
C.150元
D.160元
C
）A.128元
B.130元
C.150元
D.160元
答案
2.C
解析
【分析】
解题时先设甲、乙、丙三种商品的单价分别为x元、y元、z元，根据题意可列出两个含三个未知数的方程。由于未知数个数多于方程个数，无法单独求出x、y、z的具体值，而题目要求的是x+y+z的和，因此可采用整体思想，将两个方程左右两边分别相加，整理后即可直接求出三种商品各买一件的总费用。
【解析】
设购买1件甲商品需x元，1件乙商品需y元，1件丙商品需z元，根据题意得：
$\begin{cases}3x + 2y + z = 315&①\\x + 2y + 3z = 285&②\end{cases}$
由①+②，得：
$4x + 4y + 4z = 600$
两边同时除以4，可得：
$x + y + z = 150$
即购买甲、乙、丙三种商品各一件共需150元。
【答案】
C
【知识点】
1. 方程组的实际应用
2. 整体思想
3. 代数式运算
【点评】
本题是方程组应用的典型题型，不需要单独求出每个未知数的取值，通过整体思想将两个方程相加即可快速得到结果，能有效简化计算过程，解题时要注意观察所求问题和已知条件之间的联系，灵活运用整体思想。
【难度系数】
0.7
解题时先设甲、乙、丙三种商品的单价分别为x元、y元、z元，根据题意可列出两个含三个未知数的方程。由于未知数个数多于方程个数，无法单独求出x、y、z的具体值，而题目要求的是x+y+z的和，因此可采用整体思想，将两个方程左右两边分别相加，整理后即可直接求出三种商品各买一件的总费用。
【解析】
设购买1件甲商品需x元，1件乙商品需y元，1件丙商品需z元，根据题意得：
$\begin{cases}3x + 2y + z = 315&①\\x + 2y + 3z = 285&②\end{cases}$
由①+②，得：
$4x + 4y + 4z = 600$
两边同时除以4，可得：
$x + y + z = 150$
即购买甲、乙、丙三种商品各一件共需150元。
【答案】
C
【知识点】
1. 方程组的实际应用
2. 整体思想
3. 代数式运算
【点评】
本题是方程组应用的典型题型，不需要单独求出每个未知数的取值，通过整体思想将两个方程相加即可快速得到结果，能有效简化计算过程，解题时要注意观察所求问题和已知条件之间的联系，灵活运用整体思想。
【难度系数】
0.7
3. 三元一次方程组$\begin{cases}x+y=3, \\y+z=4, \\x+z=5\end{cases}$的解是________.
答案
3.$\begin{cases} x=2, \\ y=1, \\ z=3 \end{cases}$
解析
【分析】
这是一道基础的三元一次方程组求解题目，解题核心是消元思想。观察三个方程的特点：每个方程都是两个未知数的和，我们可以先把三个方程左右两边分别相加，得到三个未知数总和的2倍，算出总和后，再用总和分别减去每个原方程，就能快速求出每个未知数的值，比逐个消元更简便。
【解析】
先给三个方程标注序号：
$\begin{cases}x+y=3 \quad \mathrm{①} \\y+z=4 \quad \mathrm{②} \\x+z=5 \quad \mathrm{③}\end{cases}$
1. 把三个方程左右两边分别相加，得：
$(x+y)+(y+z)+(x+z)=3+4+5$
合并同类项得$2x+2y+2z=12$，等式两边同时除以2，得：
$x+y+z=6 \quad \mathrm{④}$
2. 用④分别减去①②③求解未知数：
④-①：$(x+y+z)-(x+y)=6-3$，解得$z=3$
④-②：$(x+y+z)-(y+z)=6-4$，解得$x=2$
④-③：$(x+y+z)-(x+z)=6-5$，解得$y=1$
【答案】
$\begin{cases} x=2, \\ y=1, \\ z=3 \end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组的解法，加减消元法，等式的性质
【点评】
本题属于三元一次方程组的基础考查题，利用整体相加的方法可简化计算过程，解题的关键是熟练掌握消元思想，灵活选择简便的计算方法。
【难度系数】
0.9
这是一道基础的三元一次方程组求解题目，解题核心是消元思想。观察三个方程的特点：每个方程都是两个未知数的和，我们可以先把三个方程左右两边分别相加，得到三个未知数总和的2倍，算出总和后，再用总和分别减去每个原方程，就能快速求出每个未知数的值，比逐个消元更简便。
【解析】
先给三个方程标注序号：
$\begin{cases}x+y=3 \quad \mathrm{①} \\y+z=4 \quad \mathrm{②} \\x+z=5 \quad \mathrm{③}\end{cases}$
1. 把三个方程左右两边分别相加，得：
$(x+y)+(y+z)+(x+z)=3+4+5$
合并同类项得$2x+2y+2z=12$，等式两边同时除以2，得：
$x+y+z=6 \quad \mathrm{④}$
2. 用④分别减去①②③求解未知数：
④-①：$(x+y+z)-(x+y)=6-3$，解得$z=3$
④-②：$(x+y+z)-(y+z)=6-4$，解得$x=2$
④-③：$(x+y+z)-(x+z)=6-5$，解得$y=1$
【答案】
$\begin{cases} x=2, \\ y=1, \\ z=3 \end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组的解法，加减消元法，等式的性质
【点评】
本题属于三元一次方程组的基础考查题，利用整体相加的方法可简化计算过程，解题的关键是熟练掌握消元思想，灵活选择简便的计算方法。
【难度系数】
0.9
4. 解方程组$\begin{cases}3x - y + z = 4, \mathrm{①} \\ 2x + 3y - z = 12, \mathrm{②} \\ x + y + z = 6. \mathrm{③}\end{cases}$
答案
4. ①+②,得5x+2y=16. ④
③+②,得3x+4y=18. ⑤
由④和⑤组成一个二元一次方程组$\begin{cases}5x+2y=16,\\3x+4y=18.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=2,\\y=3.\end{cases}$
把$\begin{cases}x=2,\\y=3\end{cases}$代入①,得6-3+z=4. 解得z=1.
∴ 原方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=3, \\ z=1. \end{cases}$
③+②,得3x+4y=18. ⑤
由④和⑤组成一个二元一次方程组$\begin{cases}5x+2y=16,\\3x+4y=18.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=2,\\y=3.\end{cases}$
把$\begin{cases}x=2,\\y=3\end{cases}$代入①,得6-3+z=4. 解得z=1.
∴ 原方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=3, \\ z=1. \end{cases}$
解析
【分析】
本题是三元一次方程组求解问题，解题核心是消元思想，即通过消元将三元一次方程组转化为已学的二元一次方程组求解。首先观察三个方程中未知数z的系数，分别为1、-1、1，系数绝对值相同，因此优先选择加减消元法消去z：先将方程①和②相加，消去z得到仅含x、y的方程，再将方程②和③相加，也消去z得到另一个仅含x、y的方程，两个方程组成二元一次方程组，解出x和y的值后，代入任意一个含z的原方程即可求出z的值，最终得到方程组的解。
【解析】
解：首先利用加减消元法消去未知数z：
将方程①+②，可得：$(3x - y + z)+(2x + 3y - z)=4+12$，化简得$5x+2y=16$ ④
将方程③+②，可得：$(x + y + z)+(2x + 3y - z)=6+12$，化简得$3x+4y=18$ ⑤
联立④和⑤得到二元一次方程组：$\begin{cases}5x+2y=16 \\3x+4y=18 \end{cases}$
给④两边同时乘2得：$10x+4y=32$ ⑥
用⑥减去⑤得：$7x=14$，解得$x=2$
把$x=2$代入④得：$5×2+2y=16$，解得$y=3$
把$\begin{cases}x=2 \\y=3 \end{cases}$代入方程①，得$6-3+z=4$，解得$z=1$
【答案】
$\begin{cases} x=2 \\ y=3 \\ z=1 \end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组的解法；加减消元法；代入消元法
【点评】
本题属于消元思想的基础应用，解题的关键是观察未知数的系数特征，优先消去系数最简单的未知数，逐步将高元方程组转化为低元方程组求解，熟练掌握加减消元和代入消元的方法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
本题是三元一次方程组求解问题，解题核心是消元思想，即通过消元将三元一次方程组转化为已学的二元一次方程组求解。首先观察三个方程中未知数z的系数，分别为1、-1、1，系数绝对值相同，因此优先选择加减消元法消去z：先将方程①和②相加，消去z得到仅含x、y的方程，再将方程②和③相加，也消去z得到另一个仅含x、y的方程，两个方程组成二元一次方程组，解出x和y的值后，代入任意一个含z的原方程即可求出z的值，最终得到方程组的解。
【解析】
解：首先利用加减消元法消去未知数z：
将方程①+②，可得：$(3x - y + z)+(2x + 3y - z)=4+12$，化简得$5x+2y=16$ ④
将方程③+②，可得：$(x + y + z)+(2x + 3y - z)=6+12$，化简得$3x+4y=18$ ⑤
联立④和⑤得到二元一次方程组：$\begin{cases}5x+2y=16 \\3x+4y=18 \end{cases}$
给④两边同时乘2得：$10x+4y=32$ ⑥
用⑥减去⑤得：$7x=14$，解得$x=2$
把$x=2$代入④得：$5×2+2y=16$，解得$y=3$
把$\begin{cases}x=2 \\y=3 \end{cases}$代入方程①，得$6-3+z=4$，解得$z=1$
【答案】
$\begin{cases} x=2 \\ y=3 \\ z=1 \end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组的解法；加减消元法；代入消元法
【点评】
本题属于消元思想的基础应用，解题的关键是观察未知数的系数特征，优先消去系数最简单的未知数，逐步将高元方程组转化为低元方程组求解，熟练掌握加减消元和代入消元的方法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
一、选择题
1. 下列方程组中,是二元一次方程组的为（
A.$\begin{cases} x = y + 1, \\ xy = 2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} 4x - y = 1, \\ y = 2x + 3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x^2 - x - 2 = 0, \\ y = x + 1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} \dfrac{1}{x} - y = 1, \\ 3x + y = 0 \end{cases}$
1. 下列方程组中,是二元一次方程组的为（
B
）A.$\begin{cases} x = y + 1, \\ xy = 2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} 4x - y = 1, \\ y = 2x + 3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x^2 - x - 2 = 0, \\ y = x + 1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} \dfrac{1}{x} - y = 1, \\ 3x + y = 0 \end{cases}$
答案
1.B
解析
【分析】
要判断是否为二元一次方程组，首先明确其核心判定条件：1.方程组中总共只含有2个不同的未知数；2.所有方程都是整式方程（分母不含未知数）；3.每个方程中含有未知数的项的次数都为1。解题时依次用这三个条件排查每个选项，排除不符合的即可得到正确答案。
【解析】
首先回忆二元一次方程组的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1，所有方程都是整式方程的方程组，叫做二元一次方程组。
我们逐个分析选项：
选项A：第二个方程$xy=2$中，$xy$项的次数为$1+1=2$，不符合“含未知数的项次数为1”的要求，不是二元一次方程组；
选项B：两个方程都是整式方程，仅含$x、y$两个未知数，且所有含未知数的项次数均为1，符合二元一次方程组的定义；
选项C：第一个方程$x^2 -x -2=0$中，$x^2$项的次数为2，不符合要求，不是二元一次方程组；
选项D：第一个方程$\dfrac{1}{x}-y=1$的分母含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，不是二元一次方程组。
综上，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
1.二元一次方程组的判定 2.整式方程的概念 3.分式的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记二元一次方程组的三个判定条件，排查选项时要注意容易出错的点：一是两个未知数相乘的项次数为2，二是分母含未知数的方程不属于整式方程，避免因概念理解不透彻选错。
【难度系数】
0.8
要判断是否为二元一次方程组，首先明确其核心判定条件：1.方程组中总共只含有2个不同的未知数；2.所有方程都是整式方程（分母不含未知数）；3.每个方程中含有未知数的项的次数都为1。解题时依次用这三个条件排查每个选项，排除不符合的即可得到正确答案。
【解析】
首先回忆二元一次方程组的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1，所有方程都是整式方程的方程组，叫做二元一次方程组。
我们逐个分析选项：
选项A：第二个方程$xy=2$中，$xy$项的次数为$1+1=2$，不符合“含未知数的项次数为1”的要求，不是二元一次方程组；
选项B：两个方程都是整式方程，仅含$x、y$两个未知数，且所有含未知数的项次数均为1，符合二元一次方程组的定义；
选项C：第一个方程$x^2 -x -2=0$中，$x^2$项的次数为2，不符合要求，不是二元一次方程组；
选项D：第一个方程$\dfrac{1}{x}-y=1$的分母含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，不是二元一次方程组。
综上，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
1.二元一次方程组的判定 2.整式方程的概念 3.分式的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记二元一次方程组的三个判定条件，排查选项时要注意容易出错的点：一是两个未知数相乘的项次数为2，二是分母含未知数的方程不属于整式方程，避免因概念理解不透彻选错。
【难度系数】
0.8
2. 已知二元一次方程$2x+3y=2$,用含$y$的代数式表示$x$,正确的是 (
A
)答案
2.A
解析
【分析】
本题要求用含y的代数式表示x，解题核心是利用等式的性质将x单独分离到等号一侧。思考步骤如下：首先明确目标是单独表示x，先把含y的项移到等号右侧，注意移项要变号，再给等式两边同时除以x的系数2，即可得到x的表达式。
【解析】
已知二元一次方程为$2x+3y=2$：
第一步：移项，将$3y$移到等号右侧，符号改变，可得$2x=2-3y$；
第二步：系数化为1，给等式两边同时除以x的系数2，可得$x=\frac{2-3y}{2}$。
对比选项，A选项符合推导结果。
【答案】
A
【知识点】
等式的基本性质；移项法则；二元一次方程变形
【点评】
本题是基础类题型，主要考查二元一次方程的代数式变形，解题时需注意移项要改变符号，系数化为1时不要漏除常数项，熟练掌握等式的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题要求用含y的代数式表示x，解题核心是利用等式的性质将x单独分离到等号一侧。思考步骤如下：首先明确目标是单独表示x，先把含y的项移到等号右侧，注意移项要变号，再给等式两边同时除以x的系数2，即可得到x的表达式。
【解析】
已知二元一次方程为$2x+3y=2$：
第一步：移项，将$3y$移到等号右侧，符号改变，可得$2x=2-3y$；
第二步：系数化为1，给等式两边同时除以x的系数2，可得$x=\frac{2-3y}{2}$。
对比选项，A选项符合推导结果。
【答案】
A
【知识点】
等式的基本性质；移项法则；二元一次方程变形
【点评】
本题是基础类题型，主要考查二元一次方程的代数式变形，解题时需注意移项要改变符号，系数化为1时不要漏除常数项，熟练掌握等式的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 关于$x,y$的方程组$\begin{cases}kx-3y=8,\\2x+5y=-4\end{cases}$的解中,若$y=0$,则$k$的值为（ ）
A.4
B.-4
C.2
D.-2
A.4
B.-4
C.2
D.-2
答案
3.B
解析
【分析】
解题的关键是理解二元一次方程组的解的含义：方程组的解同时满足组成方程组的每一个方程。已知解中y=0，我们可以先把y=0代入不含参数k的第二个方程，求出x的值，再把求得的x和已知的y代入含k的第一个方程，就能解出k的值。
【解析】
第一步：将y=0代入方程$2x+5y=-4$，得：
$2x + 5×0 = -4$
$2x = -4$
解得 $x = -2$
第二步：把$x=-2$，$y=0$代入方程$kx-3y=8$，得：
$k×(-2) - 3×0 = 8$
$-2k = 8$
解得 $k = -4$
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解，代入求值，一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二元一次方程组解的概念的应用，掌握将已知解代入方程求解未知参数的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题的关键是理解二元一次方程组的解的含义：方程组的解同时满足组成方程组的每一个方程。已知解中y=0，我们可以先把y=0代入不含参数k的第二个方程，求出x的值，再把求得的x和已知的y代入含k的第一个方程，就能解出k的值。
【解析】
第一步：将y=0代入方程$2x+5y=-4$，得：
$2x + 5×0 = -4$
$2x = -4$
解得 $x = -2$
第二步：把$x=-2$，$y=0$代入方程$kx-3y=8$，得：
$k×(-2) - 3×0 = 8$
$-2k = 8$
解得 $k = -4$
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解，代入求值，一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二元一次方程组解的概念的应用，掌握将已知解代入方程求解未知参数的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 如图10-1,利用两个外形一致的长方形木块测量一张桌子的高度,先按图10-1①所示方式放置,再交换两木块的位置,按图10-1②所示方式放置,测量的数据如图中所示,则桌子的高度是（
图10-1
A.81 cm
B.83 cm
C.85 cm
D.87 cm
C
）图10-1
A.81 cm
B.83 cm
C.85 cm
D.87 cm
答案
4.C
解析
【分析】
本题是实际测量类问题，存在桌子高度、木块长、木块宽三个未知量，我们可以通过设未知数，根据两个放置方式的测量数据列出对应的等量关系，再观察方程特点，利用加减消元法消去不需要求解的木块长和宽，直接计算得到桌子的高度。
【解析】
设桌子的高度为$ h\ \mathrm{cm} $，长方形木块的长为$ x\ \mathrm{cm} $，宽为$ y\ \mathrm{cm} $。
根据图①的测量数据，可得等量关系：$ h + y - x = 90 $ ①
根据图②的测量数据，可得等量关系：$ h + x - y = 80 $ ②
将①②两个方程左右两边分别相加：
$ (h + y - x) + (h + x - y) = 90 + 80 $
化简后得：$ 2h = 170 $
解得：$ h = 85 $
即桌子的高度为85 cm。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的应用；加减消元法解方程组
【点评】
本题属于二元一次方程组的实际应用题型，解题核心是结合图形找准等量关系列方程，不需要单独求解每个未知量，通过整体加减即可快速得到结果，能有效提升学生的逻辑分析能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.7
本题是实际测量类问题，存在桌子高度、木块长、木块宽三个未知量，我们可以通过设未知数，根据两个放置方式的测量数据列出对应的等量关系，再观察方程特点，利用加减消元法消去不需要求解的木块长和宽，直接计算得到桌子的高度。
【解析】
设桌子的高度为$ h\ \mathrm{cm} $，长方形木块的长为$ x\ \mathrm{cm} $，宽为$ y\ \mathrm{cm} $。
根据图①的测量数据，可得等量关系：$ h + y - x = 90 $ ①
根据图②的测量数据，可得等量关系：$ h + x - y = 80 $ ②
将①②两个方程左右两边分别相加：
$ (h + y - x) + (h + x - y) = 90 + 80 $
化简后得：$ 2h = 170 $
解得：$ h = 85 $
即桌子的高度为85 cm。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的应用；加减消元法解方程组
【点评】
本题属于二元一次方程组的实际应用题型，解题核心是结合图形找准等量关系列方程，不需要单独求解每个未知量，通过整体加减即可快速得到结果，能有效提升学生的逻辑分析能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.7
