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6. 在某校举办的学习强国演讲比赛中，六位评委给小华的评分（单位：分）分别为$8,7.5,9.5,8.5,8.5,9$，则小华此次演讲比赛得分的离差平方和为________.
答案
6. 2.5
解析
【分析】
要计算离差平方和，首先明确离差平方和的定义：它是各个原始数据与这组数据的平均数的差的平方的总和。解题分三步展开：第一步先计算六位评委评分的平均数；第二步分别计算每个评分与平均数的差，再求平方；第三步将所有平方结果相加，就能得到最终的离差平方和。
【解析】
1. 计算这组评分的平均数：
评分总和为 $8 + 7.5 + 9.5 + 8.5 + 8.5 + 9 = 51$，
共6个数据，因此平均数 $\bar{x}=\frac{51}{6}=8.5$。
2. 计算每个数据与平均数的离差的平方：
$(8-8.5)^2=(-0.5)^2=0.25$，
$(7.5-8.5)^2=(-1)^2=1$，
$(9.5-8.5)^2=1^2=1$，
$(8.5-8.5)^2=0^2=0$，
$(8.5-8.5)^2=0^2=0$，
$(9-8.5)^2=0.5^2=0.25$。
3. 求和得到离差平方和：
$0.25 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0.25 = 2.5$。
【答案】
2.5
【知识点】
平均数计算，离差平方和
【点评】
本题属于统计基础计算题，核心考查离差平方和的计算逻辑，解题时只要先准确算出平均数，再按照定义逐步计算即可，计算过程中注意细心，避免出现加法或平方计算错误。
【难度系数】
0.8
要计算离差平方和，首先明确离差平方和的定义：它是各个原始数据与这组数据的平均数的差的平方的总和。解题分三步展开：第一步先计算六位评委评分的平均数；第二步分别计算每个评分与平均数的差，再求平方；第三步将所有平方结果相加，就能得到最终的离差平方和。
【解析】
1. 计算这组评分的平均数：
评分总和为 $8 + 7.5 + 9.5 + 8.5 + 8.5 + 9 = 51$，
共6个数据，因此平均数 $\bar{x}=\frac{51}{6}=8.5$。
2. 计算每个数据与平均数的离差的平方：
$(8-8.5)^2=(-0.5)^2=0.25$，
$(7.5-8.5)^2=(-1)^2=1$，
$(9.5-8.5)^2=1^2=1$，
$(8.5-8.5)^2=0^2=0$，
$(8.5-8.5)^2=0^2=0$，
$(9-8.5)^2=0.5^2=0.25$。
3. 求和得到离差平方和：
$0.25 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0.25 = 2.5$。
【答案】
2.5
【知识点】
平均数计算，离差平方和
【点评】
本题属于统计基础计算题，核心考查离差平方和的计算逻辑，解题时只要先准确算出平均数，再按照定义逐步计算即可，计算过程中注意细心，避免出现加法或平方计算错误。
【难度系数】
0.8
7. 互不相等的4个正整数从小到大排序为$a_1,a_2,a_3,a_4$.若它们的和为12,且最大数与最小数的差是中位数的2倍.
(1) 求出$a_4$的值.
(2) 求这4个数据的四分位数.
(1) 求出$a_4$的值.
(2) 求这4个数据的四分位数.
答案
(1) $a_4=6$
(2) $m_{25}=1.5,m_{50}=2.5,m_{75}=4.5$
(2) $m_{25}=1.5,m_{50}=2.5,m_{75}=4.5$
解析
【分析】
（1）首先明确4个有序正整数的中位数是第2、3个数的平均数，结合“最大数与最小数的差是中位数的2倍”的条件，可推导得出$a_4-a_1=a_2+a_3$，再代入4个数的和为12的条件，即可直接求出$a_4$的值；再结合“互不相等的正整数”的限制，验证确定四个数的具体取值。
（2）计算四分位数时，先根据数据个数$n=4$计算各分位数的位置，若位置为整数，则对应分位数为该位置和下一个位置数据的平均数，代入数值计算即可。
【解析】
（1）4个互不相等的正整数从小到大排序为$a_1,a_2,a_3,a_4$，因此这组数据的中位数为$\frac{a_2+a_3}{2}$。
根据题意得：$a_4 - a_1 = 2×\frac{a_2+a_3}{2}$，化简得$a_2+a_3=a_4 - a_1$。
已知4个数的和为12，即$a_1+a_2+a_3+a_4=12$，将$a_2+a_3=a_4 - a_1$代入得：
$a_1+(a_4 - a_1)+a_4=12$，即$2a_4=12$，解得$a_4=6$。
结合正整数互不相等的限制：$a_1≥1$，$a_2＞a_1$，$a_3＞a_2$，$a_3＜6$。
将$a_4=6$代入$a_2+a_3=6-a_1$：若$a_1=1$，则$a_2+a_3=5$，符合条件的正整数解为$a_2=2,a_3=3$；若$a_1≥2$，则$a_2≥3,a_3≥4$，$a_2+a_3≥7＞6-2=4$，无符合条件的解，因此四个数为1,2,3,6。
（2）计算四分位数，数据个数$n=4$：
①25%分位数的位置$i=4×25\%=1$，为整数，因此$m_{25}=\frac{a_1+a_2}{2}=\frac{1+2}{2}=1.5$；
②50%分位数即中位数，位置$i=4×50\%=2$，为整数，因此$m_{50}=\frac{a_2+a_3}{2}=\frac{2+3}{2}=2.5$；
③75%分位数的位置$i=4×75\%=3$，为整数，因此$m_{75}=\frac{a_3+a_4}{2}=\frac{3+6}{2}=4.5$。
【答案】
(1) $a_4=6$
(2) $m_{25}=1.5,m_{50}=2.5,m_{75}=4.5$
【知识点】
中位数定义；四分位数计算；整数性质应用
【点评】
本题结合代数推导和统计量计算，既需要根据题目条件建立等量关系求值，也需要熟练掌握分位数的位置判断和计算方法，要注意题目中“互不相等的正整数”的隐含限制，避免漏判取值。
【难度系数】
0.7
（1）首先明确4个有序正整数的中位数是第2、3个数的平均数，结合“最大数与最小数的差是中位数的2倍”的条件，可推导得出$a_4-a_1=a_2+a_3$，再代入4个数的和为12的条件，即可直接求出$a_4$的值；再结合“互不相等的正整数”的限制，验证确定四个数的具体取值。
（2）计算四分位数时，先根据数据个数$n=4$计算各分位数的位置，若位置为整数，则对应分位数为该位置和下一个位置数据的平均数，代入数值计算即可。
【解析】
（1）4个互不相等的正整数从小到大排序为$a_1,a_2,a_3,a_4$，因此这组数据的中位数为$\frac{a_2+a_3}{2}$。
根据题意得：$a_4 - a_1 = 2×\frac{a_2+a_3}{2}$，化简得$a_2+a_3=a_4 - a_1$。
已知4个数的和为12，即$a_1+a_2+a_3+a_4=12$，将$a_2+a_3=a_4 - a_1$代入得：
$a_1+(a_4 - a_1)+a_4=12$，即$2a_4=12$，解得$a_4=6$。
结合正整数互不相等的限制：$a_1≥1$，$a_2＞a_1$，$a_3＞a_2$，$a_3＜6$。
将$a_4=6$代入$a_2+a_3=6-a_1$：若$a_1=1$，则$a_2+a_3=5$，符合条件的正整数解为$a_2=2,a_3=3$；若$a_1≥2$，则$a_2≥3,a_3≥4$，$a_2+a_3≥7＞6-2=4$，无符合条件的解，因此四个数为1,2,3,6。
（2）计算四分位数，数据个数$n=4$：
①25%分位数的位置$i=4×25\%=1$，为整数，因此$m_{25}=\frac{a_1+a_2}{2}=\frac{1+2}{2}=1.5$；
②50%分位数即中位数，位置$i=4×50\%=2$，为整数，因此$m_{50}=\frac{a_2+a_3}{2}=\frac{2+3}{2}=2.5$；
③75%分位数的位置$i=4×75\%=3$，为整数，因此$m_{75}=\frac{a_3+a_4}{2}=\frac{3+6}{2}=4.5$。
【答案】
(1) $a_4=6$
(2) $m_{25}=1.5,m_{50}=2.5,m_{75}=4.5$
【知识点】
中位数定义；四分位数计算；整数性质应用
【点评】
本题结合代数推导和统计量计算，既需要根据题目条件建立等量关系求值，也需要熟练掌握分位数的位置判断和计算方法，要注意题目中“互不相等的正整数”的隐含限制，避免漏判取值。
【难度系数】
0.7
8. 甲、乙两组的测试成绩(单位:分)如下:
甲:91,96,70,89,60,70,100,80,92,98；
乙:92,93,70,88,82,75,96,80,92,95.
(1) 求甲组数据的下四分位数$a$,中位数$m$,上四分位数$b$.
(2) 根据四分位数可绘制如下的箱线图,观察图中乙组的箱线图,绘制甲组的箱线图.
(3) 根据箱线图和对四分位数的理解,谈谈对两组成绩的看法.
甲:91,96,70,89,60,70,100,80,92,98；
乙:92,93,70,88,82,75,96,80,92,95.
(1) 求甲组数据的下四分位数$a$,中位数$m$,上四分位数$b$.
(2) 根据四分位数可绘制如下的箱线图,观察图中乙组的箱线图,绘制甲组的箱线图.
(3) 根据箱线图和对四分位数的理解,谈谈对两组成绩的看法.
答案
(1)把甲组的成绩按从小到大的顺序排列:60,70,70,80,89,91,92,96,98,100, 故 $m=\frac{89+91}{2}=90,a=70,b=96$
(2) 如图所示：
(3) 根据箱线图和对四分位数,可知甲组成绩比较分散,乙组成绩比较集中(答案不唯一)
解析
【分析】
本题考查统计中四分位数的计算、箱线图绘制及统计结论分析，解题思路如下：
1. 求解甲组四分位数：首先将甲组数据按从小到大排序，再根据四分位数的定义，分别计算下四分位数、中位数、上四分位数的位置，对应提取数值即可。
2. 绘制甲组箱线图：箱线图需要标注最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值五个特征值，结合第一问求出的三个四分位数，以及甲组的最小值、最大值对应刻度绘制即可。
3. 分析两组成绩：对比两组箱线图的整体跨度、箱体宽度，判断数据的离散程度，得出合理结论即可。
【解析】
(1) 先将甲组10个成绩按从小到大的顺序排列：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100。
中位数是第5个和第6个数据的平均数：$m=\frac{89+91}{2}=90$；
下四分位数位置：$10×25\%=2.5$，向上取整对应第3个数据，即$a=70$；
上四分位数位置：$10×75\%=7.5$，向上取整对应第8个数据，即$b=96$。
(2) 甲组的最小值为60，最大值为100，结合(1)中求得的$a=70$、$m=90$、$b=96$，绘制箱线图如下：
(3) 观察箱线图可知：甲组成绩的跨度更大，箱体也更宽，说明甲组成绩波动更大、较为分散；乙组成绩跨度更小、箱体更窄，说明乙组成绩更稳定、较为集中。（结论合理即可）
【答案】
(1) $a=70$，$m=90$，$b=96$
(2)
(3) 甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
四分位数计算，箱线图，统计数据分析
【点评】
本题围绕统计中常用的四分位数、箱线图设置问题，既考查基础的概念计算能力，也考查对统计图表的理解应用能力，能够体现统计知识在实际数据分析中的实用价值。
【难度系数】
0.7
本题考查统计中四分位数的计算、箱线图绘制及统计结论分析，解题思路如下：
1. 求解甲组四分位数：首先将甲组数据按从小到大排序，再根据四分位数的定义，分别计算下四分位数、中位数、上四分位数的位置，对应提取数值即可。
2. 绘制甲组箱线图：箱线图需要标注最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值五个特征值，结合第一问求出的三个四分位数，以及甲组的最小值、最大值对应刻度绘制即可。
3. 分析两组成绩：对比两组箱线图的整体跨度、箱体宽度，判断数据的离散程度，得出合理结论即可。
【解析】
(1) 先将甲组10个成绩按从小到大的顺序排列：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100。
中位数是第5个和第6个数据的平均数：$m=\frac{89+91}{2}=90$；
下四分位数位置：$10×25\%=2.5$，向上取整对应第3个数据，即$a=70$；
上四分位数位置：$10×75\%=7.5$，向上取整对应第8个数据，即$b=96$。
(2) 甲组的最小值为60，最大值为100，结合(1)中求得的$a=70$、$m=90$、$b=96$，绘制箱线图如下：
(3) 观察箱线图可知：甲组成绩的跨度更大，箱体也更宽，说明甲组成绩波动更大、较为分散；乙组成绩跨度更小、箱体更窄，说明乙组成绩更稳定、较为集中。（结论合理即可）
【答案】
(1) $a=70$，$m=90$，$b=96$
(2)
(3) 甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
四分位数计算，箱线图，统计数据分析
【点评】
本题围绕统计中常用的四分位数、箱线图设置问题，既考查基础的概念计算能力，也考查对统计图表的理解应用能力，能够体现统计知识在实际数据分析中的实用价值。
【难度系数】
0.7
