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1. 甲、乙、丙三名男生进行跳远测试,每人10次跳远成绩的平均数都是2.36m,离差平方和分别是$L_甲=13.0$,$L_乙=11.5$,$L_丙=8.5$,则下列说法正确的是(
A.甲跳远成绩最稳定
B.乙跳远成绩最稳定
C.丙跳远成绩最稳定
D.无法判断哪名同学跳远成绩最稳定
C
).A.甲跳远成绩最稳定
B.乙跳远成绩最稳定
C.丙跳远成绩最稳定
D.无法判断哪名同学跳远成绩最稳定
答案
1.C
解析
【分析】
要判断三名同学谁的跳远成绩更稳定，需比较三人成绩的方差，方差越小说明数据波动越小，成绩越稳定。方差的计算公式为$s^2=\frac{1}{n}L$（其中n是数据个数，L是离差平方和），已知三人测试次数n均为10，平均数也相同，因此直接比较离差平方和的大小即可：离差平方和越小，对应的方差越小，成绩越稳定。
【解析】
判断数据稳定性的依据是方差：在平均数相同的情况下，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。
方差的计算公式为：$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2$，其中$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2$就是离差平方和L。
已知甲、乙、丙三人的测试次数n均为10，平均数相同，因此离差平方和L越小，方差越小。
对比三人的离差平方和：$8.5＜11.5＜13.0$，即$L_丙＜L_乙＜L_甲$，因此丙的方差最小，跳远成绩最稳定。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.方差的意义
2.方差的计算
3.数据稳定性判断
【点评】
本题考查统计中数据稳定性的判断，解题的核心是明确方差和离差平方和的关系，当数据个数和平均数都相同时，可直接通过比较离差平方和的大小判断方差大小，无需额外计算，解题时要注意提取题干中的相同条件，简化计算步骤。
【难度系数】
0.8
要判断三名同学谁的跳远成绩更稳定，需比较三人成绩的方差，方差越小说明数据波动越小，成绩越稳定。方差的计算公式为$s^2=\frac{1}{n}L$（其中n是数据个数，L是离差平方和），已知三人测试次数n均为10，平均数也相同，因此直接比较离差平方和的大小即可：离差平方和越小，对应的方差越小，成绩越稳定。
【解析】
判断数据稳定性的依据是方差：在平均数相同的情况下，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。
方差的计算公式为：$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2$，其中$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2$就是离差平方和L。
已知甲、乙、丙三人的测试次数n均为10，平均数相同，因此离差平方和L越小，方差越小。
对比三人的离差平方和：$8.5＜11.5＜13.0$，即$L_丙＜L_乙＜L_甲$，因此丙的方差最小，跳远成绩最稳定。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.方差的意义
2.方差的计算
3.数据稳定性判断
【点评】
本题考查统计中数据稳定性的判断，解题的核心是明确方差和离差平方和的关系，当数据个数和平均数都相同时，可直接通过比较离差平方和的大小判断方差大小，无需额外计算，解题时要注意提取题干中的相同条件，简化计算步骤。
【难度系数】
0.8
2. 样本数据 1,2,4,6,7,9,12,13,17,23 的中位数和第 75 百分位数分别是(
A.8,12
B.8,13
C.7,12
D.9,13
B
).A.8,12
B.8,13
C.7,12
D.9,13
答案
2.B
解析
【分析】
本题考查中位数和百分位数的计算，解题思路如下：首先确认题干给出的数据已经按从小到大排序，先计算中位数：当数据总个数n为偶数时，中位数是排序后第$\frac{n}{2}$个和第$\frac{n}{2}+1$个数据的平均数；再计算第75百分位数，先计算位置值$i=n× p\%$，若i不是整数，向上取整后对应位置的数就是第p百分位数，若i是整数，则是第i个和第i+1个数据的平均数，按规则逐步计算即可。
【解析】
已知样本数据已经从小到大排序，总个数$n=10$：
1. 计算中位数：
$n=10$为偶数，中位数是排序后第5个和第6个数据的平均数，第5个数据为7，第6个数据为9，因此中位数$=\frac{7+9}{2}=8$。
2. 计算第75百分位数：
计算位置值$i=10×75\%=7.5$，i不是整数，向上取整为8，因此第75百分位数是排序后第8个数据，即13。
综上，中位数为8，第75百分位数为13，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
中位数的计算,百分位数的计算
【点评】
本题是统计类基础题，核心考查两个常用统计量的计算规则，解题时要注意先确认数据是否排序，再按对应规则找对位置计算即可，整体计算量很小。
【难度系数】
0.8
本题考查中位数和百分位数的计算，解题思路如下：首先确认题干给出的数据已经按从小到大排序，先计算中位数：当数据总个数n为偶数时，中位数是排序后第$\frac{n}{2}$个和第$\frac{n}{2}+1$个数据的平均数；再计算第75百分位数，先计算位置值$i=n× p\%$，若i不是整数，向上取整后对应位置的数就是第p百分位数，若i是整数，则是第i个和第i+1个数据的平均数，按规则逐步计算即可。
【解析】
已知样本数据已经从小到大排序，总个数$n=10$：
1. 计算中位数：
$n=10$为偶数，中位数是排序后第5个和第6个数据的平均数，第5个数据为7，第6个数据为9，因此中位数$=\frac{7+9}{2}=8$。
2. 计算第75百分位数：
计算位置值$i=10×75\%=7.5$，i不是整数，向上取整为8，因此第75百分位数是排序后第8个数据，即13。
综上，中位数为8，第75百分位数为13，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
中位数的计算,百分位数的计算
【点评】
本题是统计类基础题，核心考查两个常用统计量的计算规则，解题时要注意先确认数据是否排序，再按对应规则找对位置计算即可，整体计算量很小。
【难度系数】
0.8
3. 甲、乙、丙、丁四支排球队的队员身高情况如图所示,其中身高最集中的是(
A.甲队
B.乙队
C.丙队
D.丁队
B
).A.甲队
B.乙队
C.丙队
D.丁队
答案
3.B
解析
【分析】
要判断哪支队伍身高最集中，本质是判断哪组身高数据的波动最小、离散程度最低。观察统计图可知，每支队伍对应的竖线范围代表身高的最小值到最大值，中间的箱体代表中间大部分队员的身高区间，区间越窄说明身高越集中，我们只需对比四支队伍的身高区间宽度即可得到答案。
【解析】
观察统计图中四支队伍的身高分布：
甲队身高范围约为180cm~200cm，区间跨度20cm；
乙队身高范围约为185cm~194cm，区间跨度不足10cm，且中间箱体也最窄；
丙队身高范围约为179cm~195cm，区间跨度约16cm；
丁队身高范围约为170cm~193cm，区间跨度约23cm。
可见乙队身高数据的波动最小，身高最集中，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
箱线图识别；数据离散程度；统计图分析
【点评】
本题考查统计图表的实际应用，只需通过观察图表中数据的分布范围就能判断集中程度，属于统计类基础题型，结合生活场景，容易理解掌握。
【难度系数】
0.8
要判断哪支队伍身高最集中，本质是判断哪组身高数据的波动最小、离散程度最低。观察统计图可知，每支队伍对应的竖线范围代表身高的最小值到最大值，中间的箱体代表中间大部分队员的身高区间，区间越窄说明身高越集中，我们只需对比四支队伍的身高区间宽度即可得到答案。
【解析】
观察统计图中四支队伍的身高分布：
甲队身高范围约为180cm~200cm，区间跨度20cm；
乙队身高范围约为185cm~194cm，区间跨度不足10cm，且中间箱体也最窄；
丙队身高范围约为179cm~195cm，区间跨度约16cm；
丁队身高范围约为170cm~193cm，区间跨度约23cm。
可见乙队身高数据的波动最小，身高最集中，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
箱线图识别；数据离散程度；统计图分析
【点评】
本题考查统计图表的实际应用，只需通过观察图表中数据的分布范围就能判断集中程度，属于统计类基础题型，结合生活场景，容易理解掌握。
【难度系数】
0.8
4. 已知一组数据的离差平方和为 0.02828,将数据分成{1.58,1.63,1.65},
{1.75,1.78}两组,这两组数据的组间离差平方和为 0.02523,则这两组数据
的组内离差平方和为
{1.75,1.78}两组,这两组数据的组间离差平方和为 0.02523,则这两组数据
的组内离差平方和为
0.00305
.答案
4.0.00305
解析
【分析】
我们首先要明确离差平方和的基本拆分关系：总离差平方和 = 组间离差平方和 + 组内离差平方和。题目已经给出了总离差平方和与组间离差平方和，因此直接利用该关系式变形，用总离差平方和减去组间离差平方和，就能求出组内离差平方和。
【解析】
解：根据离差平方和的分解规律可知：
总离差平方和 = 组间离差平方和 + 组内离差平方和
将公式变形可得：
组内离差平方和 = 总离差平方和 - 组间离差平方和
代入已知数值计算：
$0.02828 - 0.02523 = 0.00305$
【答案】
0.00305
【知识点】
离差平方和分解；小数减法运算
【点评】
本题属于基础统计类计算题，核心是掌握离差平方和的拆分关系，计算时注意小数的数位对齐，仔细运算就能得到正确结果。
【难度系数】
0.9
我们首先要明确离差平方和的基本拆分关系：总离差平方和 = 组间离差平方和 + 组内离差平方和。题目已经给出了总离差平方和与组间离差平方和，因此直接利用该关系式变形，用总离差平方和减去组间离差平方和，就能求出组内离差平方和。
【解析】
解：根据离差平方和的分解规律可知：
总离差平方和 = 组间离差平方和 + 组内离差平方和
将公式变形可得：
组内离差平方和 = 总离差平方和 - 组间离差平方和
代入已知数值计算：
$0.02828 - 0.02523 = 0.00305$
【答案】
0.00305
【知识点】
离差平方和分解；小数减法运算
【点评】
本题属于基础统计类计算题，核心是掌握离差平方和的拆分关系，计算时注意小数的数位对齐，仔细运算就能得到正确结果。
【难度系数】
0.9
5. 某中学对初二年级的语文、数学、英语、科学、社会、信息六门学科在课堂中使用 AI 辅助教学的情况进行了调研,统计了各学科每周使用 AI 的次数,数据如下表:
为了分析不同学科在 AI 应用上的差异,将这六门学科按 AI 使用频率分成两组,你会怎么分?
为了分析不同学科在 AI 应用上的差异,将这六门学科按 AI 使用频率分成两组,你会怎么分?
答案
将 AI 使用次数按从小到大排列:4,5,6,8,12,15,数据 4,5,6,8,12,15 的平均数 $\bar{x}=\frac{25}{3}$,$S^2=\frac{140}{9}$分组的目标是让组内差异尽可能小,而组间差异尽可能大,即组内离差平方和最小.将这些数据分成两组,有以下5种情况,分别计算各种情况的组内离差平方和,得到下表:
|组序|分组情况|组内离差平方和|
| ---- | ---- | ---- |
||第1组|第2组|
|1|4|5,6,8,12,15|70.8|
|2|4,5|6,8,12,15|49.25|
|3|4,5,6|8,12,15|26.67|
|4|4,5,6,8|12,15|13.25|
|5|4,5,6,8,12|15|40|
计算结果表明,将数据分成{4,5,6,8}和{12,15}两组时,组内离差平方和最小,即 AI 使用数据波动最小, 两组间数据差异最大。所以将社会、语文、英语、数学分在一组,其余科目分在另一组比较合理.
|组序|分组情况|组内离差平方和|
| ---- | ---- | ---- |
||第1组|第2组|
|1|4|5,6,8,12,15|70.8|
|2|4,5|6,8,12,15|49.25|
|3|4,5,6|8,12,15|26.67|
|4|4,5,6,8|12,15|13.25|
|5|4,5,6,8,12|15|40|
计算结果表明,将数据分成{4,5,6,8}和{12,15}两组时,组内离差平方和最小,即 AI 使用数据波动最小, 两组间数据差异最大。所以将社会、语文、英语、数学分在一组,其余科目分在另一组比较合理.
解析
【分析】
要解决分组问题，首先明确分组的核心原则：组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大，通常用组内离差平方和衡量组内差异，该值越小说明组内数据波动越小、相似度越高。解题步骤为：①先将各学科使用AI的次数从小到大排序；②列举所有将6个数据分为2组的不重复情况；③分别计算每种分组的组内离差平方和；④找到离差平方和最小的分组方案，对应就是最合理的分组。
【解析】
第一步：将6门学科使用AI的次数从小到大排列：4（社会）、5（语文）、6（英语）、8（数学）、12（科学）、15（信息）。
第二步：由于要分成两组，共存在5种不重复的分组方式，分别计算每种分组的组内离差平方和：
1. 分组为{4}和{5,6,8,12,15}，组内离差平方和为70.8；
2. 分组为{4,5}和{6,8,12,15}，组内离差平方和为49.25；
3. 分组为{4,5,6}和{8,12,15}，组内离差平方和为26.67；
4. 分组为{4,5,6,8}和{12,15}，组内离差平方和为13.25，是所有分组中最小的；
5. 分组为{4,5,6,8,12}和{15}，组内离差平方和为40。
第三步：对比可知，分组为{4,5,6,8}和{12,15}时组内差异最小、组间差异最大，对应学科分组为前者包含社会、语文、英语、数学，后者包含科学、信息。
【答案】
将社会、语文、英语、数学分为一组，科学、信息分为另一组。
【知识点】
数据分组、离差平方和、统计分析应用
【点评】
本题结合教学调研的实际场景，考察对数据统计中分组原则的理解，需要通过计算对比不同分组的组内波动情况确定最优方案，能够锻炼学生的数据处理和实际应用能力。
【难度系数】
0.6
要解决分组问题，首先明确分组的核心原则：组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大，通常用组内离差平方和衡量组内差异，该值越小说明组内数据波动越小、相似度越高。解题步骤为：①先将各学科使用AI的次数从小到大排序；②列举所有将6个数据分为2组的不重复情况；③分别计算每种分组的组内离差平方和；④找到离差平方和最小的分组方案，对应就是最合理的分组。
【解析】
第一步：将6门学科使用AI的次数从小到大排列：4（社会）、5（语文）、6（英语）、8（数学）、12（科学）、15（信息）。
第二步：由于要分成两组，共存在5种不重复的分组方式，分别计算每种分组的组内离差平方和：
1. 分组为{4}和{5,6,8,12,15}，组内离差平方和为70.8；
2. 分组为{4,5}和{6,8,12,15}，组内离差平方和为49.25；
3. 分组为{4,5,6}和{8,12,15}，组内离差平方和为26.67；
4. 分组为{4,5,6,8}和{12,15}，组内离差平方和为13.25，是所有分组中最小的；
5. 分组为{4,5,6,8,12}和{15}，组内离差平方和为40。
第三步：对比可知，分组为{4,5,6,8}和{12,15}时组内差异最小、组间差异最大，对应学科分组为前者包含社会、语文、英语、数学，后者包含科学、信息。
【答案】
将社会、语文、英语、数学分为一组，科学、信息分为另一组。
【知识点】
数据分组、离差平方和、统计分析应用
【点评】
本题结合教学调研的实际场景，考察对数据统计中分组原则的理解，需要通过计算对比不同分组的组内波动情况确定最优方案，能够锻炼学生的数据处理和实际应用能力。
【难度系数】
0.6
