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5. 百货商场试销一批新款衬衫,一周内销售情况如下表所示,商场经理想了解哪种型号最畅销,那么他最关注的统计量是(
A.平均数
B.众数
C.方差
D.中位数
B
).A.平均数
B.众数
C.方差
D.中位数
答案
5.B
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步，先理解题干核心需求：经理想知道“最畅销”的型号，也就是销量最高、在销售记录里出现次数最多的型号。第二步，回忆四个选项对应的统计量的定义和作用：平均数反映平均水平，众数反映出现次数最多的情况，方差反映数据波动程度，中位数反映中间水平。第三步，将需求和统计量的作用匹配，即可选出正确答案。
【解析】
“最畅销”指的是销售数量最多的衬衫型号，即该型号在销售数据中出现的次数最多，结合各统计量的含义分析：
A. 平均数反映所有衬衫型号的平均水平，无法体现哪种型号销量最高，不符合需求；
B. 众数是一组数据中出现次数最多的数据，正好对应销量最高的最畅销型号，符合需求；
C. 方差用于衡量数据的波动大小，和型号畅销程度无关，不符合需求；
D. 中位数是数据按顺序排列后位于中间位置的数，反映中等水平，不能体现销量最高的型号，不符合需求。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
众数的意义；统计量的选择；常见统计量的特征
【点评】
本题结合生活销售场景出题，考查不同统计量的适用场景，只要准确掌握各统计量的含义就能快速得出答案，属于统计部分的基础常考题。
【难度系数】
0.8
解题思路分为三步：第一步，先理解题干核心需求：经理想知道“最畅销”的型号，也就是销量最高、在销售记录里出现次数最多的型号。第二步，回忆四个选项对应的统计量的定义和作用：平均数反映平均水平，众数反映出现次数最多的情况，方差反映数据波动程度，中位数反映中间水平。第三步，将需求和统计量的作用匹配，即可选出正确答案。
【解析】
“最畅销”指的是销售数量最多的衬衫型号，即该型号在销售数据中出现的次数最多，结合各统计量的含义分析：
A. 平均数反映所有衬衫型号的平均水平，无法体现哪种型号销量最高，不符合需求；
B. 众数是一组数据中出现次数最多的数据，正好对应销量最高的最畅销型号，符合需求；
C. 方差用于衡量数据的波动大小，和型号畅销程度无关，不符合需求；
D. 中位数是数据按顺序排列后位于中间位置的数，反映中等水平，不能体现销量最高的型号，不符合需求。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
众数的意义；统计量的选择；常见统计量的特征
【点评】
本题结合生活销售场景出题，考查不同统计量的适用场景，只要准确掌握各统计量的含义就能快速得出答案，属于统计部分的基础常考题。
【难度系数】
0.8
6. 若45个数据的平均数为10，方差为2，再添加5个数：10,10,10,10,10，则这50个数据的方差是________.
答案
6.1.8
解析
【分析】
要解这道题，我们可以依据方差的定义逐步推导：首先回忆方差是一组数据中各数据与平均数的差的平方的平均数。解题思路分为三步：第一，判断新增数据后的平均数值，因为新增的5个数都是原平均数10，可算出新的平均数仍为10；第二，利用原方差求出原45个数据的离均差平方和；第三，计算新增数据的离均差平方和（新增数和平均数差为0，这部分和为0），将总离均差平方和除以总数据个数50，即可得到新的方差。
【解析】
解：①计算原45个数据的离均差平方和
根据方差公式 $s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，已知原45个数据的方差为2，平均数为10，因此原离均差平方和为：$45×2=90$。
②计算新增5个数后的平均数
新数据的总和为 $45×10 + 5×10=500$，总数据个数为50，因此新平均数 $\overline{x}'=\frac{500}{50}=10$，和原平均数相等。
③计算新增数据的离均差平方和
新增的5个数均为10，每个数与新平均数的差为$10-10=0$，因此这部分的离均差平方和为 $5×0^2=0$。
④计算50个数据的方差
总离均差平方和为 $90+0=90$，新方差 $s'^2=\frac{90}{50}=1.8$。
【答案】
1.8
【知识点】
平均数计算，方差计算，统计量性质
【点评】
这道题核心考查方差的基本概念与计算，解题的突破口是发现新增数据等于原平均数，因此整体平均数不变，无需重新逐个计算每个数据的离均差平方，简化了运算过程，只要熟练掌握方差的定义就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
要解这道题，我们可以依据方差的定义逐步推导：首先回忆方差是一组数据中各数据与平均数的差的平方的平均数。解题思路分为三步：第一，判断新增数据后的平均数值，因为新增的5个数都是原平均数10，可算出新的平均数仍为10；第二，利用原方差求出原45个数据的离均差平方和；第三，计算新增数据的离均差平方和（新增数和平均数差为0，这部分和为0），将总离均差平方和除以总数据个数50，即可得到新的方差。
【解析】
解：①计算原45个数据的离均差平方和
根据方差公式 $s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，已知原45个数据的方差为2，平均数为10，因此原离均差平方和为：$45×2=90$。
②计算新增5个数后的平均数
新数据的总和为 $45×10 + 5×10=500$，总数据个数为50，因此新平均数 $\overline{x}'=\frac{500}{50}=10$，和原平均数相等。
③计算新增数据的离均差平方和
新增的5个数均为10，每个数与新平均数的差为$10-10=0$，因此这部分的离均差平方和为 $5×0^2=0$。
④计算50个数据的方差
总离均差平方和为 $90+0=90$，新方差 $s'^2=\frac{90}{50}=1.8$。
【答案】
1.8
【知识点】
平均数计算，方差计算，统计量性质
【点评】
这道题核心考查方差的基本概念与计算，解题的突破口是发现新增数据等于原平均数，因此整体平均数不变，无需重新逐个计算每个数据的离均差平方，简化了运算过程，只要熟练掌握方差的定义就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
7. 在八年级体育考试中,某校某班参加仰卧起坐测试的一组女生(每组8人)测试成绩(单位:次/分)如下:44,45,42,48,46,43,47,45.则这组数据的极差为
6
.答案
7.6
解析
【分析】
要计算这组数据的极差，首先需明确极差的定义：极差是一组数据中最大值与最小值的差值，是衡量数据波动范围的统计量。解题思路分为两步：第一步从给定的8个测试成绩中找出最大值和最小值；第二步用最大值减去最小值，即可得到极差。
【解析】
首先整理给定的仰卧起坐测试成绩：44，45，42，48，46，43，47，45。
1. 找最大值：对比所有数据，可得最大值为48；
2. 找最小值：对比所有数据，可得最小值为42；
3. 根据极差公式计算：极差=最大值-最小值=48-42=6。
【答案】
6
【知识点】
极差的计算
【点评】
本题是基础类题目，主要考查对极差概念的理解与应用，解题核心是准确识别一组数据的最大值和最小值，计算难度低，掌握相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
要计算这组数据的极差，首先需明确极差的定义：极差是一组数据中最大值与最小值的差值，是衡量数据波动范围的统计量。解题思路分为两步：第一步从给定的8个测试成绩中找出最大值和最小值；第二步用最大值减去最小值，即可得到极差。
【解析】
首先整理给定的仰卧起坐测试成绩：44，45，42，48，46，43，47，45。
1. 找最大值：对比所有数据，可得最大值为48；
2. 找最小值：对比所有数据，可得最小值为42；
3. 根据极差公式计算：极差=最大值-最小值=48-42=6。
【答案】
6
【知识点】
极差的计算
【点评】
本题是基础类题目，主要考查对极差概念的理解与应用，解题核心是准确识别一组数据的最大值和最小值，计算难度低，掌握相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
8. 一组数据由5个正整数组成，中位数是3，且唯一众数是7，则这5个正整数的平均数是
4
.答案
8.4
解析
【分析】
解题时先明确相关统计量的定义：5个正整数按从小到大排序后，中位数是第3个数据；众数是出现次数最多的数，且题目要求众数唯一。第一步根据中位数确定第3个数为3；第二步结合唯一众数是7，判断7只能出现在第4、第5位，且要出现2次才能成为出现次数最多的数；第三步确定前两个数的取值：为了保证7是唯一众数，前两个数不能重复、也不能等于3（否则会导致3的出现次数也是2次，和7并列众数），且为小于3的正整数，因此只能是1和2；最后代入平均数公式计算即可。
【解析】
设5个正整数按从小到大排列为$a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e$：
1. 因为这组数据的中位数是3，所以排序后第3个数$c=3$；
2. 因为唯一众数是7，说明7的出现次数最多，且大于3的数只有后两位，因此$d=e=7$（7共出现2次，为出现次数最多的数）；
3. 要保证7是唯一众数，其余数的出现次数都要小于2，即每个数只能出现1次，因此$a ≠ b$，且$a、b ＜ 3$（若$b=3$，则3也出现2次，和7并列众数，不符合要求）；
4. 小于3的正整数只有1和2，因此$a=1$，$b=2$；
5. 这5个正整数为1、2、3、7、7，平均数为$\frac{1+2+3+7+7}{5} = \frac{20}{5} = 4$。
【答案】
4
【知识点】
中位数；众数；平均数
【点评】
本题重点考查统计中中位数、众数、平均数的基本概念，解题的核心是根据两个限定条件逐步推导所有数据的可能取值，尤其要注意“唯一众数”的限制，避免出现多个众数的错误，整体逻辑清晰，对概念的理解要求较高。
【难度系数】
0.7
解题时先明确相关统计量的定义：5个正整数按从小到大排序后，中位数是第3个数据；众数是出现次数最多的数，且题目要求众数唯一。第一步根据中位数确定第3个数为3；第二步结合唯一众数是7，判断7只能出现在第4、第5位，且要出现2次才能成为出现次数最多的数；第三步确定前两个数的取值：为了保证7是唯一众数，前两个数不能重复、也不能等于3（否则会导致3的出现次数也是2次，和7并列众数），且为小于3的正整数，因此只能是1和2；最后代入平均数公式计算即可。
【解析】
设5个正整数按从小到大排列为$a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e$：
1. 因为这组数据的中位数是3，所以排序后第3个数$c=3$；
2. 因为唯一众数是7，说明7的出现次数最多，且大于3的数只有后两位，因此$d=e=7$（7共出现2次，为出现次数最多的数）；
3. 要保证7是唯一众数，其余数的出现次数都要小于2，即每个数只能出现1次，因此$a ≠ b$，且$a、b ＜ 3$（若$b=3$，则3也出现2次，和7并列众数，不符合要求）；
4. 小于3的正整数只有1和2，因此$a=1$，$b=2$；
5. 这5个正整数为1、2、3、7、7，平均数为$\frac{1+2+3+7+7}{5} = \frac{20}{5} = 4$。
【答案】
4
【知识点】
中位数；众数；平均数
【点评】
本题重点考查统计中中位数、众数、平均数的基本概念，解题的核心是根据两个限定条件逐步推导所有数据的可能取值，尤其要注意“唯一众数”的限制，避免出现多个众数的错误，整体逻辑清晰，对概念的理解要求较高。
【难度系数】
0.7
9. 某校合唱团成员的年龄人数表如下：
对于不同的$ x $，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是(
A.平均数、中位数
B.众数、中位数
C.平均数、方差
D.中位数、方差
对于不同的$ x $，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是(
B
).A.平均数、中位数
B.众数、中位数
C.平均数、方差
D.中位数、方差
答案
9.B
解析
【分析】
解题时首先先计算合唱团总人数，发现总人数与x无关是固定值；接下来依次分析各统计量是否受x影响：①中位数是排序后中间位置的数，根据前两组的频数可判断中位数所在组，确定其是否固定；②众数是出现次数最多的年龄，对比各年龄的频数最大值即可判断；③平均数与总年龄和相关，总年龄和含x，会随x变化；④方差和平均数、数据分布有关，也会随x变化，最终确定不变的统计量。
【解析】
首先计算合唱团总人数：$5+15+x+(10-x)=30$，可知总人数固定为30人。
1. 分析中位数：30个数据的中位数是将年龄从小到大排序后，第15个和第16个数据的平均数。
已知13岁的有5人，14岁的有15人，因此排序后第6~第$5+15=20$个数据都是14岁，所以第15、16个数据均为14岁，中位数为$\frac{14+14}{2}=14$，与$x$的取值无关。
2. 分析众数：众数是出现次数最多的年龄。14岁的频数为15，而15岁频数$x≤10$，16岁频数$10-x≤10$，均小于15，因此众数始终是14岁，与$x$的取值无关。
3. 分析平均数：总年龄和为$13×5 +14×15 +15x +16(10-x)=435-x$，因此平均数为$\frac{435-x}{30}$，$x$变化时平均数会发生改变。
4. 分析方差：方差是各数据与平均数差的平方的平均数，平均数会随$x$变化，且15、16岁的人数分布也随$x$变化，因此方差也会发生改变。
综上，不发生改变的是众数和中位数，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
频数分布表，中位数，众数
【点评】
本题解题核心是先确定总人数为定值，再结合各统计量的定义逐一判断其是否受未知数$x$的影响，要注意把握中位数、众数的本质特征，不要被未知数干扰。
【难度系数】
0.7
解题时首先先计算合唱团总人数，发现总人数与x无关是固定值；接下来依次分析各统计量是否受x影响：①中位数是排序后中间位置的数，根据前两组的频数可判断中位数所在组，确定其是否固定；②众数是出现次数最多的年龄，对比各年龄的频数最大值即可判断；③平均数与总年龄和相关，总年龄和含x，会随x变化；④方差和平均数、数据分布有关，也会随x变化，最终确定不变的统计量。
【解析】
首先计算合唱团总人数：$5+15+x+(10-x)=30$，可知总人数固定为30人。
1. 分析中位数：30个数据的中位数是将年龄从小到大排序后，第15个和第16个数据的平均数。
已知13岁的有5人，14岁的有15人，因此排序后第6~第$5+15=20$个数据都是14岁，所以第15、16个数据均为14岁，中位数为$\frac{14+14}{2}=14$，与$x$的取值无关。
2. 分析众数：众数是出现次数最多的年龄。14岁的频数为15，而15岁频数$x≤10$，16岁频数$10-x≤10$，均小于15，因此众数始终是14岁，与$x$的取值无关。
3. 分析平均数：总年龄和为$13×5 +14×15 +15x +16(10-x)=435-x$，因此平均数为$\frac{435-x}{30}$，$x$变化时平均数会发生改变。
4. 分析方差：方差是各数据与平均数差的平方的平均数，平均数会随$x$变化，且15、16岁的人数分布也随$x$变化，因此方差也会发生改变。
综上，不发生改变的是众数和中位数，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
频数分布表，中位数，众数
【点评】
本题解题核心是先确定总人数为定值，再结合各统计量的定义逐一判断其是否受未知数$x$的影响，要注意把握中位数、众数的本质特征，不要被未知数干扰。
【难度系数】
0.7
10. 某校八年级学生开展踢毽子比赛活动,每班派5名学生参加,按团体总分多少排列名次,在规定时间内每人踢100个以上(含100)为优秀.下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据(单位:个):
经统计发现两班总数相等.此时有学生建议,可以通过考察数据中的其他信息作为参考.请你回答下列问题:
（1）甲班的优秀率为
（2）甲班比赛数据的中位数为
（3）根据以上两条信息,你认为应该把冠军奖杯发给哪一个班级?简述你的理由.
经统计发现两班总数相等.此时有学生建议,可以通过考察数据中的其他信息作为参考.请你回答下列问题:
（1）甲班的优秀率为
100%
,乙班的优秀率为100%
.（2）甲班比赛数据的中位数为
120
,乙班比赛数据的中位数为117
.（3）根据以上两条信息,你认为应该把冠军奖杯发给哪一个班级?简述你的理由.
答案
(1) 100% 100%
(2) 120 117
(3) 略
(2) 120 117
(3) 略
解析
【分析】
首先解决第（1）问，先明确优秀判定标准为踢毽子个数≥100个，优秀率=优秀人数÷参赛总人数×100%，分别统计两班优秀人数代入公式计算即可；第（2）问求中位数，先将每个班的5个成绩从小到大排序，数据个数为奇数时，排在最中间的数就是该组数据的中位数；第（3）问结合前两问结果对比分析，优秀率相同的情况下，中位数更高的班级中等水平成绩更好，整体实力更强。
【解析】
（1）根据题意，踢100个及以上为优秀：
甲班5名学生成绩均≥100，优秀人数为5人，优秀率=$\frac{5}{5}×100\%=100\%$；
乙班5名学生成绩均≥100，优秀人数为5人，优秀率=$\frac{5}{5}×100\%=100\%$。
（2）将两班成绩分别从小到大排序：
甲班成绩排序为109、118、120、123、130，共5个数据，第3个数据为120，即甲班中位数为120；
乙班成绩排序为109、115、117、120、139，共5个数据，第3个数据为117，即乙班中位数为117。
（3）冠军奖杯应发给甲班。理由：两班的优秀率相同，但是甲班成绩的中位数高于乙班，说明甲班中等水平学生的成绩更好，整体发挥更优异，因此甲班更适合获得冠军。
【答案】
(1) 100%；100%
(2) 120；117
(3) 发给甲班，理由：两班优秀率相同，甲班成绩的中位数更高，说明甲班中等水平学生成绩更好，整体实力更强。
【知识点】
优秀率计算、中位数的计算、统计量的实际应用
【点评】
本题结合实际比赛场景，考查对常见统计量的理解与应用，需要熟练掌握优秀率、中位数的计算方法，还需要结合统计量的实际意义分析问题，做出合理判断。
【难度系数】
0.85
首先解决第（1）问，先明确优秀判定标准为踢毽子个数≥100个，优秀率=优秀人数÷参赛总人数×100%，分别统计两班优秀人数代入公式计算即可；第（2）问求中位数，先将每个班的5个成绩从小到大排序，数据个数为奇数时，排在最中间的数就是该组数据的中位数；第（3）问结合前两问结果对比分析，优秀率相同的情况下，中位数更高的班级中等水平成绩更好，整体实力更强。
【解析】
（1）根据题意，踢100个及以上为优秀：
甲班5名学生成绩均≥100，优秀人数为5人，优秀率=$\frac{5}{5}×100\%=100\%$；
乙班5名学生成绩均≥100，优秀人数为5人，优秀率=$\frac{5}{5}×100\%=100\%$。
（2）将两班成绩分别从小到大排序：
甲班成绩排序为109、118、120、123、130，共5个数据，第3个数据为120，即甲班中位数为120；
乙班成绩排序为109、115、117、120、139，共5个数据，第3个数据为117，即乙班中位数为117。
（3）冠军奖杯应发给甲班。理由：两班的优秀率相同，但是甲班成绩的中位数高于乙班，说明甲班中等水平学生的成绩更好，整体发挥更优异，因此甲班更适合获得冠军。
【答案】
(1) 100%；100%
(2) 120；117
(3) 发给甲班，理由：两班优秀率相同，甲班成绩的中位数更高，说明甲班中等水平学生成绩更好，整体实力更强。
【知识点】
优秀率计算、中位数的计算、统计量的实际应用
【点评】
本题结合实际比赛场景，考查对常见统计量的理解与应用，需要熟练掌握优秀率、中位数的计算方法，还需要结合统计量的实际意义分析问题，做出合理判断。
【难度系数】
0.85
