4. 已知$x=1$是方程$\frac{m}{2-x} - \frac{1}{x-2}=3$的解，那么实数$m$的值为（）

A.$-2$
B.$2$
C.$-4$
D.$4$

4. B

【分析】
解题的核心是利用方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知$x=1$是该分式方程的解，因此只需将$x=1$代入原方程，就能得到一个只含未知数$m$的一元一次方程，解这个方程即可求出$m$的值，代入时注意先计算分母，避免符号出错。
【解析】
解：
∵$x=1$是方程$\frac{m}{2-x} - \frac{1}{x-2}=3$的解
∴将$x=1$代入原方程，等式成立，代入得：
$\frac{m}{2-1} - \frac{1}{1-2}=3$
化简得：$m - \frac{1}{-1}=3$
即$m + 1 = 3$
移项解得：$m=2$
【答案】
B
【知识点】
分式方程的解的定义、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是明确方程的解的性质，将已知解代入原方程转化为关于待求参数的方程求解，计算时注意负号的处理，避免运算出错。
【难度系数】
0.8

5. 如果关于x的分式方程$\frac{2x - m}{x + 1}=1$的解是负数，那么实数m的取值范围是（）

A.$m＜-1$
B.$m＞-1$且$m≠0$
C.$m＞-1$
D.$m＜-1$且$m≠-2$

5. D

【分析】
要解决这个问题，我们可以分两步思考：首先将分式方程转化为整式方程，求出用含m的代数式表示的解；再结合“解是负数”和“分式方程分母不为0（避免增根）”两个限制条件，列不等式求出m的取值范围。
【解析】
第一步，求解分式方程：
给方程$\frac{2x - m}{x + 1}=1$两边同时乘以分母$x+1$（注意$x+1≠0$，即$x≠-1$），去分母得：
$2x - m = x + 1$
移项合并同类项得：$x = m + 1$
第二步，根据条件列不等式：
① 因为方程的解是负数，所以$x ＜ 0$，即：
$m + 1 ＜ 0$，解得$m ＜ -1$
② 因为分式分母不能为0，所以$x≠-1$，即：
$m + 1 ≠ -1$，解得$m ≠ -2$
综合两个条件，m的取值范围是$m ＜ -1$且$m ≠ -2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解，分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题考查分式方程解的应用，易错点是容易忽略分式方程分母不能为0的限制，漏算$m≠-2$的条件，解题时要注意增根的排除。
【难度系数】
0.6

6. 若关于$x$的分式方程$\frac{3}{x-1}=1-\frac{k}{x-1}$无解，则$k$的值为（）

A.1
B.0
C.-3
D.-1

6. C

【分析】
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解的两种情况：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。本题中分式方程的分母为x-1，因此增根只能是x=1。先将分式方程去分母转化为整式方程，再结合无解的条件即可求出k的值。
【解析】
给原分式方程两边同时乘最简公分母$(x-1)$（需满足$x≠1$），去分母得：
$3 = (x-1) - k$
整理整式方程得：
$x = 4 + k$
∵原分式方程无解，且转化得到的一元一次方程必有解，因此该解必为原方程的增根，即$x=1$
将$x=1$代入$x=4+k$得：
$1 = 4 + k$
解得$k=-3$
【答案】
C
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的条件；解分式方程
【点评】
本题是分式方程章节的常考题型，解题核心是理解分式方程增根的含义，掌握无解情况的分类讨论方法，注意去分母时不要漏乘常数项。
【难度系数】
0.7

7. 关于x的方程$\frac{x+m}{x-2} -3 = \frac{x-1}{2-x}$的解为非负数，则m的取值范围是。

7. $m≥-5$ 且 $m≠-3$.

【分析】
本题是分式方程结合不等式求参数范围的题型，解题思路分三步：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解x；第二步，根据“解为非负数”的条件列不等式，求出m的初步范围；第三步，结合分式方程分母不能为0（即解不能是增根）的隐含条件，排除使分母为0的m的取值，最终得到m的完整范围。
【解析】
首先对原分式方程进行变形，注意到分母$2-x=-(x-2)$，原方程可写为：
$\frac{x+m}{x-2} - 3 = -\frac{x-1}{x-2}$
方程两边同时乘以$(x-2)$（注意$x≠2$，否则分母为0，无意义），去分母得：
$x + m - 3(x - 2) = -(x - 1)$
展开并整理整式方程：
$x + m - 3x + 6 = -x + 1$
移项合并同类项：
$-x = -m -5$
解得：$x = m + 5$
已知方程的解为非负数，因此：
1. $x≥0$，即$m + 5≥0$，解得$m≥-5$
2. 分式方程分母不能为0，即$x≠2$，代入得$m + 5≠2$，解得$m≠-3$
综上，m的取值范围是$m≥-5$且$m≠-3$。
【答案】
$m≥-5$ 且 $m≠-3$
【知识点】
分式方程的解法；分式有意义的条件；一元一次不等式的应用
【点评】
本题属于分式方程的常考题型，解题的关键是不要忽略分式方程的隐含限制：分母不能为0，很多同学容易只考虑解为非负数的条件，漏掉$m≠-3$的限制导致答案错误，求解后一定要注意检验增根情况。
【难度系数】
0.6

8. 解方程：
(1) $\frac{2}{x-3}=\frac{3}{x}$；
(2) $\frac{8}{x^2 -4}+1=\frac{x}{x-2}$；
(3) $\frac{x}{x-1}-1=\frac{3}{(x-1)(x+2)}$。

8. 解： (1) 解得 $x=9$，经检验，$x=9$ 是原分式方程的解.
(2) 解得 $x=2$，经检验，$x^2-4=0$，
∴原分式方程无解.
(3) 解得 $x=1$，经检验， $(x-1)(x+2)=0$，
∴原分式方程无解.

【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体思考步骤为：①先确定各分母的最简公分母；②方程两边同时乘最简公分母消去分母，得到整式方程，注意不含分母的项也要乘公分母，避免漏乘；③解所得的整式方程；④必须验根：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，该解就是原分式方程的解；若最简公分母为0，该解是增根，原分式方程无解。
【解析】
(1) 方程分母为$x-3$和$x$，最简公分母为$x(x-3)$。
方程两边同时乘$x(x-3)$，得：$2x=3(x-3)$
去括号：$2x=3x-9$
移项合并同类项：$x=9$
检验：当$x=9$时，$x(x-3)=9×6=54≠0$，故$x=9$是原方程的解。
(2) 先因式分解分母：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，最简公分母为$(x+2)(x-2)$。
方程两边同时乘$(x+2)(x-2)$，得：$8+(x^2-4)=x(x+2)$
化简得：$x^2+4=x^2+2x$
消去$x^2$后解得：$x=2$
检验：当$x=2$时，$(x+2)(x-2)=0$，故$x=2$是增根，原分式方程无解。
(3) 方程分母为$x-1$和$(x-1)(x+2)$，最简公分母为$(x-1)(x+2)$。
方程两边同时乘$(x-1)(x+2)$，得：$x(x+2)-(x-1)(x+2)=3$
展开化简左边得：$x+2=3$
解得：$x=1$
检验：当$x=1$时，$(x-1)(x+2)=0$，故$x=1$是增根，原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=9$；(2) 无解；(3) 无解
【知识点】
分式方程的解法，整式方程求解，分式方程验根
【点评】
这是分式方程求解的基础题型，重点考查去分母的运算规范性，需要注意去分母时不要漏乘常数项，且解完必须验根，避免将增根当成原方程的解。
【难度系数】
0.7

9. 阅读下面材料，解答后面的问题.
解方程：$\frac{x-1}{x}-\frac{4x}{x-1}=0$.
解：设$y=\frac{x-1}{x}$，则原方程化为$y-\frac{4}{y}=0$，方程两边同时乘$y$，得$y^2-4=0$，解得$y=\pm2$，
经检验，$y=\pm2$都是方程$y-\frac{4}{y}=0$的解，∴当$y=2$时，$\frac{x-1}{x}=2$，解得$x=-1$；
当$y=-2$时，$\frac{x-1}{x}=-2$，解得$x=\frac{1}{3}$. 经检验，$x=-1$或$x=\frac{1}{3}$都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为$x=-1$或$x=\frac{1}{3}$.
上述这种解分式方程的方法称为换元法.
问题：
(1) 若在方程$\frac{x-1}{4x}-\frac{x}{x-1}=0$中，设$y=\frac{x-1}{x}$，则原方程可化为.
(2) 利用上述方法解方程：$\frac{x-1}{x+2}-\frac{x+2}{x-1}=0$.
(3) 模仿上述换元法解方程组：$\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3, \\ \frac{2}{x}+\frac{3}{y}=7.\end{cases}$
(4) 模仿上述换元法解方程：$1-\frac{3}{x+2}-\frac{x+2}{x-1}=0$.

9. 解： (1) 由题意，知原方程可化为 $\frac{y}{4}-\frac{1}{y}=0$，故答案为 $\frac{y}{4}-\frac{1}{y}=0$.
(2) 设 $y=\frac{x-1}{x+2}$，则原方程化为 $y-\frac{1}{y}=0$，方程两边同时乘 $y$，得 $y^2-1=0$，解得 $y=±1$，经检验，$y=±1$ 都是方程 $y-\frac{1}{y}=0$ 的解. 当 $y=1$ 时， $\frac{x-1}{x+2}=1$，该方程无解；当 $y=-1$ 时， $\frac{x-1}{x+2}=-1$，解得 $x=-\frac{1}{2}$. 经检验， $x=-\frac{1}{2}$ 是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为 $x=-\frac{1}{2}$.
(3) 设 $\frac{1}{x}=a$，$\frac{1}{y}=b$，则原方程组可化为 $\begin{cases}a+b=3, \\ 2a+3b=7,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=2, \\ b=1,\end{cases}$
∴$\begin{cases}x=0.5, \\ y=1.\end{cases}$
(4) 原方程化为 $\frac{x-1}{x+2}-\frac{x+2}{x-1}=0$，设 $y=\frac{x-1}{x+2}$，则原方程化为 $y-\frac{1}{y}=0$，方程两边同时乘 $y$，得 $y^2-1=0$，解得 $y=±1$，经检验， $y=±1$ 都是方程 $y-\frac{1}{y}=0$ 的解. 当 $y=1$ 时， $\frac{x-1}{x+2}=1$，该方程无解；当 $y=-1$ 时， $\frac{x-1}{x+2}=-1$，解得 $x=-\frac{1}{2}$. 经检验， $x=-\frac{1}{2}$ 是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为 $x=-\frac{1}{2}$.

【分析】
本题主要考查换元法在分式方程、分式方程组中的应用，解题核心是将重复出现的分式结构替换为新的未知数，把复杂的方程转化为熟悉的整式方程、二元一次方程组求解，所有分式相关的方程求解后都必须检验根的有效性：
(1) 直接将$y=\frac{x-1}{x}$代入原方程，把含$x$的分式替换为含$y$的式子即可；
(2) 观察方程发现$\frac{x-1}{x+2}$和$\frac{x+2}{x-1}$互为倒数，设$y=\frac{x-1}{x+2}$，则原方程转化为关于$y$的分式方程，先解$y$的值，再代回$y$和$x$的关系式求$x$，最后检验$x$是否为原方程的根；
(3) 观察方程组发现两个方程都只含$\frac{1}{x}$和$\frac{1}{y}$，设$a=\frac{1}{x}$，$b=\frac{1}{y}$，则原方程组转化为二元一次方程组，先解$a、b$的值，再反求$x、y$，最后检验；
(4) 先将原方程中的$1-\frac{3}{x+2}$通分化简为$\frac{x-1}{x+2}$，此时方程结构和(2)完全相同，再用换元法求解即可。
【解析】
(1) 已知$y=\frac{x-1}{x}$，则$\frac{x-1}{4x}=\frac{1}{4}·\frac{x-1}{x}=\frac{y}{4}$，$\frac{x}{x-1}=\frac{1}{y}$，代入原方程得$\frac{y}{4}-\frac{1}{y}=0$。
(2) 设$y=\frac{x-1}{x+2}$，则$\frac{x+2}{x-1}=\frac{1}{y}$，原方程化为$y-\frac{1}{y}=0$，
方程两边同时乘$y$得$y^2-1=0$，解得$y=\pm1$，
经检验，$y=\pm1$都是方程$y-\frac{1}{y}=0$的解，
当$y=1$时，$\frac{x-1}{x+2}=1$，去分母得$x-1=x+2$，化简得$-1=2$，不成立，该方程无解；
当$y=-1$时，$\frac{x-1}{x+2}=-1$，去分母得$x-1=-x-2$，移项合并得$2x=-1$，解得$x=-\frac{1}{2}$，
经检验，$x=-\frac{1}{2}$是原分式方程的解。
(3) 设$\frac{1}{x}=a$，$\frac{1}{y}=b$，则原方程组化为$\begin{cases}a+b=3&①\\2a+3b=7&②\end{cases}$，
$①×2$得$2a+2b=6$ ③，
$②-③$得$b=1$，
把$b=1$代入①得$a+1=3$，解得$a=2$，
∴$\begin{cases}a=2\\b=1\end{cases}$，即$\begin{cases}\frac{1}{x}=2\\\frac{1}{y}=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=1\end{cases}$，
经检验，$\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=1\end{cases}$是原方程组的解。
(4) 原方程先化简：$1-\frac{3}{x+2}=\frac{x+2-3}{x+2}=\frac{x-1}{x+2}$，
∴原方程化为$\frac{x-1}{x+2}-\frac{x+2}{x-1}=0$，
设$y=\frac{x-1}{x+2}$，则$\frac{x+2}{x-1}=\frac{1}{y}$，原方程化为$y-\frac{1}{y}=0$，
方程两边同时乘$y$得$y^2-1=0$，解得$y=\pm1$，
经检验，$y=\pm1$都是方程$y-\frac{1}{y}=0$的解，
当$y=1$时，$\frac{x-1}{x+2}=1$，去分母得$x-1=x+2$，化简得$-1=2$，不成立，该方程无解；
当$y=-1$时，$\frac{x-1}{x+2}=-1$，去分母得$x-1=-x-2$，移项合并得$2x=-1$，解得$x=-\frac{1}{2}$，
经检验，$x=-\frac{1}{2}$是原分式方程的解。
【答案】
(1) $\frac{y}{4}-\frac{1}{y}=0$
(2) $x=-\frac{1}{2}$
(3) $\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=1\end{cases}$
(4) $x=-\frac{1}{2}$
【知识点】
换元法解分式方程；分式方程的检验；二元一次方程组的解法
【点评】
本题围绕换元法设计不同类型的分式类方程、方程组问题，核心是利用换元思想将陌生、复杂的分式结构转化为熟悉的整式方程求解，需要注意的是所有分式方程（组）求解后都必须检验，避免出现增根，能有效锻炼学生的转化思维和运算能力。
【难度系数】
0.7