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10. (2025·湖南) 将分式方程$\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}$去分母后得到的整式方程为 (
A.$x+1=2x$
B.$x+2=1$
C.$1=2x$
D.$x=2(x+1)$
A
)A.$x+1=2x$
B.$x+2=1$
C.$1=2x$
D.$x=2(x+1)$
答案
10. A
解析
【分析】
要解决分式方程去分母的问题，首先回忆去分母的操作步骤：第一步先确定方程中所有分式的最简公分母，第二步将方程两边同时乘以这个最简公分母，消去所有分母即可得到整式方程。本题中两个分式的分母分别是x和x+1，二者没有公因式，因此最简公分母为x(x+1)，接下来给方程左右两边同时乘该公分母，计算后即可得到对应的整式方程，再匹配选项选出答案。
【解析】
首先确定分式方程$\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}$的最简公分母：两个分母为$x$和$x+1$，无公因式，因此最简公分母为$x(x+1)$。
将方程两边同时乘以$x(x+1)$（$x≠0$且$x≠-1$），得：
$\frac{1}{x} · x(x+1) = \frac{2}{x+1} · x(x+1)$
约分后整理得：$x+1=2x$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1.分式方程去分母
2.最简公分母的确定
【点评】
本题考查分式方程化为整式方程的基础操作，属于基础题，解题核心是准确找到最简公分母，去分母时需注意给方程每一项都乘公分母，避免漏乘。
【难度系数】
0.9
要解决分式方程去分母的问题，首先回忆去分母的操作步骤：第一步先确定方程中所有分式的最简公分母，第二步将方程两边同时乘以这个最简公分母，消去所有分母即可得到整式方程。本题中两个分式的分母分别是x和x+1，二者没有公因式，因此最简公分母为x(x+1)，接下来给方程左右两边同时乘该公分母，计算后即可得到对应的整式方程，再匹配选项选出答案。
【解析】
首先确定分式方程$\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}$的最简公分母：两个分母为$x$和$x+1$，无公因式，因此最简公分母为$x(x+1)$。
将方程两边同时乘以$x(x+1)$（$x≠0$且$x≠-1$），得：
$\frac{1}{x} · x(x+1) = \frac{2}{x+1} · x(x+1)$
约分后整理得：$x+1=2x$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1.分式方程去分母
2.最简公分母的确定
【点评】
本题考查分式方程化为整式方程的基础操作，属于基础题，解题核心是准确找到最简公分母，去分母时需注意给方程每一项都乘公分母，避免漏乘。
【难度系数】
0.9
11. (2025·哈尔滨) 方程$\frac{5}{x+2}=\frac{3}{x}$的解为（
A.$x=2$
B.$x=3$
C.$x=-3$
D.$x=1$
B
）A.$x=2$
B.$x=3$
C.$x=-3$
D.$x=1$
答案
11. B
解析
【分析】
这是一道分式方程求解的题目，解题思路遵循分式方程的常规求解步骤：第一步先确定最简公分母，通过去分母将分式方程转化为我们熟悉的一元一次方程；第二步解得到的一元一次方程；第三步对求出的解进行检验，排除增根，最终得到原方程的解。
【解析】
要解分式方程$\frac{5}{x+2}=\frac{3}{x}$：
1. 确定最简公分母：两个分母分别为$x+2$和$x$，因此最简公分母为$x(x+2)$，且$x≠0$，$x≠-2$，否则分式无意义。
2. 去分母：方程两边同时乘以最简公分母$x(x+2)$，消去分母得：
$5x=3(x+2)$
3. 解一元一次方程：
展开右边的式子得：$5x=3x+6$
移项合并同类项得：$2x=6$
系数化为1得：$x=3$
4. 检验：把$x=3$代入最简公分母$x(x+2)=3×(3+2)=15≠0$，因此$x=3$是原分式方程的解。
【答案】
B
【知识点】
分式方程求解、去分母、分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程的基础考察题，核心考查分式方程的标准求解步骤，需要注意的是解分式方程时必须对结果进行检验，避免出现增根的错误，掌握基础解题步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.8
这是一道分式方程求解的题目，解题思路遵循分式方程的常规求解步骤：第一步先确定最简公分母，通过去分母将分式方程转化为我们熟悉的一元一次方程；第二步解得到的一元一次方程；第三步对求出的解进行检验，排除增根，最终得到原方程的解。
【解析】
要解分式方程$\frac{5}{x+2}=\frac{3}{x}$：
1. 确定最简公分母：两个分母分别为$x+2$和$x$，因此最简公分母为$x(x+2)$，且$x≠0$，$x≠-2$，否则分式无意义。
2. 去分母：方程两边同时乘以最简公分母$x(x+2)$，消去分母得：
$5x=3(x+2)$
3. 解一元一次方程：
展开右边的式子得：$5x=3x+6$
移项合并同类项得：$2x=6$
系数化为1得：$x=3$
4. 检验：把$x=3$代入最简公分母$x(x+2)=3×(3+2)=15≠0$，因此$x=3$是原分式方程的解。
【答案】
B
【知识点】
分式方程求解、去分母、分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程的基础考察题，核心考查分式方程的标准求解步骤，需要注意的是解分式方程时必须对结果进行检验，避免出现增根的错误，掌握基础解题步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.8
12. (2025·黑龙江) 已知关于$x$的分式方程$\frac{x+k}{x-4}-\frac{2k}{4-x}=3$的解为负数，则$k$的值为（
A.$k＜-4$
B.$k＞-4$
C.$k＜-4$且$k≠-\frac{4}{3}$
D.$k＞-4$且$k≠-\frac{4}{3}$
A
）A.$k＜-4$
B.$k＞-4$
C.$k＜-4$且$k≠-\frac{4}{3}$
D.$k＞-4$且$k≠-\frac{4}{3}$
答案
12. A
解析
【分析】
本题是含参数的分式方程结合不等式的问题，解题思路如下：第一步先将分式方程去分母转化为整式方程，求出用参数k表示的解x；第二步根据“解为负数”的条件列不等式，求出k的初步范围；第三步结合分式方程分母不能为0的要求，排除会产生增根的k值，最终确定k的取值范围。
【解析】
首先对原分式方程变形，将分母统一：
原方程$\frac{x+k}{x-4}-\frac{2k}{4-x}=3$可化为$\frac{x+k}{x-4}+\frac{2k}{x-4}=3$，其中$x≠4$。
两边同乘$(x-4)$去分母得：
$x+k+2k=3(x-4)$
展开并整理：
$x+3k=3x-12$
移项合并同类项得：
$2x=3k+12$
解得：$x=\frac{3k+12}{2}$
根据题意，方程的解为负数，因此：
$\frac{3k+12}{2}＜0$
解得：$3k+12＜0$，即$k＜-4$。
再检验增根情况：若方程有增根，则$x=4$，代入$x=\frac{3k+12}{2}$得$\frac{3k+12}{2}=4$，解得$k=-\frac{4}{3}$。
由于$k＜-4$时，$k$不可能等于$-\frac{4}{3}$，因此该限制条件无需额外添加。
综上，$k$的取值范围是$k＜-4$。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的解法，分式有意义的条件，一元一次不等式求解
【点评】
本题是分式方程与不等式结合的常规题型，易错点是部分同学会直接保留增根对应的参数限制，忽略已求出的参数范围已经排除了增根的情况，做题时要注意结合参数范围判断限制条件是否有效。
【难度系数】
0.5
本题是含参数的分式方程结合不等式的问题，解题思路如下：第一步先将分式方程去分母转化为整式方程，求出用参数k表示的解x；第二步根据“解为负数”的条件列不等式，求出k的初步范围；第三步结合分式方程分母不能为0的要求，排除会产生增根的k值，最终确定k的取值范围。
【解析】
首先对原分式方程变形，将分母统一：
原方程$\frac{x+k}{x-4}-\frac{2k}{4-x}=3$可化为$\frac{x+k}{x-4}+\frac{2k}{x-4}=3$，其中$x≠4$。
两边同乘$(x-4)$去分母得：
$x+k+2k=3(x-4)$
展开并整理：
$x+3k=3x-12$
移项合并同类项得：
$2x=3k+12$
解得：$x=\frac{3k+12}{2}$
根据题意，方程的解为负数，因此：
$\frac{3k+12}{2}＜0$
解得：$3k+12＜0$，即$k＜-4$。
再检验增根情况：若方程有增根，则$x=4$，代入$x=\frac{3k+12}{2}$得$\frac{3k+12}{2}=4$，解得$k=-\frac{4}{3}$。
由于$k＜-4$时，$k$不可能等于$-\frac{4}{3}$，因此该限制条件无需额外添加。
综上，$k$的取值范围是$k＜-4$。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的解法，分式有意义的条件，一元一次不等式求解
【点评】
本题是分式方程与不等式结合的常规题型，易错点是部分同学会直接保留增根对应的参数限制，忽略已求出的参数范围已经排除了增根的情况，做题时要注意结合参数范围判断限制条件是否有效。
【难度系数】
0.5
13. (2025·齐齐哈尔) 如果关于x的分式方程$\frac{mx}{1-x}+\frac{x}{x-1}=2$无解，那么实数m的值是 (
A.$m=1$
B.$m=-1$
C.$m=1$或$m=-1$
D.$m≠1$且$m≠-1$
C
)A.$m=1$
B.$m=-1$
C.$m=1$或$m=-1$
D.$m≠1$且$m≠-1$
答案
13. C
解析
【分析】
分式方程无解分两种情况：①去分母后得到的整式方程本身没有解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式方程分母为0的未知数的值）。解题时先将分式方程转化为整式方程，再分上述两种情况讨论计算m的值即可。
【解析】
首先整理原分式方程：$\frac{mx}{1-x}+\frac{x}{x-1}=2$，最简公分母为$x-1$，方程两边同时乘$x-1$去分母得：
$-mx + x = 2(x - 1)$
整理整式方程：
移项得：$-mx + x - 2x = -2$
合并同类项得：$(m+1)x = 2$
分两种情况讨论无解的情况：
1. 若整式方程本身无解，则一次项系数为0：
即$m+1=0$，解得$m=-1$，此时方程变为$0=2$，等式不成立，整式方程无解，原分式方程也无解，符合要求。
2. 若整式方程的解是原分式方程的增根：
原分式方程分母为0时$x=1$，即增根为$x=1$，将$x=1$代入$(m+1)x=2$得：
$m+1=2$，解得$m=1$，此时原分式方程分母为0，无意义，无解，符合要求。
综上，m的值为1或-1。
【答案】
C
【知识点】
分式方程无解的条件；分式方程的增根；解分式方程
【点评】
本题是分式方程相关的常考题型，解题的关键是牢记分式方程无解的两种情况，避免只考虑增根、遗漏整式方程本身无解的情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
分式方程无解分两种情况：①去分母后得到的整式方程本身没有解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式方程分母为0的未知数的值）。解题时先将分式方程转化为整式方程，再分上述两种情况讨论计算m的值即可。
【解析】
首先整理原分式方程：$\frac{mx}{1-x}+\frac{x}{x-1}=2$，最简公分母为$x-1$，方程两边同时乘$x-1$去分母得：
$-mx + x = 2(x - 1)$
整理整式方程：
移项得：$-mx + x - 2x = -2$
合并同类项得：$(m+1)x = 2$
分两种情况讨论无解的情况：
1. 若整式方程本身无解，则一次项系数为0：
即$m+1=0$，解得$m=-1$，此时方程变为$0=2$，等式不成立，整式方程无解，原分式方程也无解，符合要求。
2. 若整式方程的解是原分式方程的增根：
原分式方程分母为0时$x=1$，即增根为$x=1$，将$x=1$代入$(m+1)x=2$得：
$m+1=2$，解得$m=1$，此时原分式方程分母为0，无意义，无解，符合要求。
综上，m的值为1或-1。
【答案】
C
【知识点】
分式方程无解的条件；分式方程的增根；解分式方程
【点评】
本题是分式方程相关的常考题型，解题的关键是牢记分式方程无解的两种情况，避免只考虑增根、遗漏整式方程本身无解的情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
14. (2025·镇江) 解方程：$\frac{3-x}{4+x}=\frac{1}{2}$
答案
14. 解：原方程两边同乘以 $2(4+x)$，得 $2(3-x)=4+x$，
去括号，得 $6-2x=4+x$，
移项，得 $-2x-x=4-6$，
合并同类项，得 $-3x=-2$，
系数化为 1，得 $x=\frac{2}{3}$，
经检验， $x=\frac{2}{3}$ 是分式方程的解，
∴方程的解为 $x=\frac{2}{3}$.
去括号，得 $6-2x=4+x$，
移项，得 $-2x-x=4-6$，
合并同类项，得 $-3x=-2$，
系数化为 1，得 $x=\frac{2}{3}$，
经检验， $x=\frac{2}{3}$ 是分式方程的解，
∴方程的解为 $x=\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
这是一道分式方程求解的基础题，解题遵循分式方程的标准求解逻辑：第一步先确定方程的最简公分母，通过去分母将分式方程转化为已学的整式方程求解；第二步解转化得到的一元一次方程；第三步必须检验所得的解是否会使原方程的分母为0，排除增根。观察本题的分母为$4+x$和2，因此最简公分母为$2(4+x)$，两边同乘该公分母即可消去分母，转化为一元一次方程后按常规步骤求解，最后检验即可得到正确解。
【解析】
原方程两边同乘以 $2(4+x)$，得 $2(3-x)=4+x$，
去括号，得 $6-2x=4+x$，
移项，得 $-2x-x=4-6$，
合并同类项，得 $-3x=-2$，
系数化为 1，得 $x=\frac{2}{3}$，
经检验， $x=\frac{2}{3}$ 是分式方程的解，
∴方程的解为 $x=\frac{2}{3}$.
【答案】
$x=\frac{2}{3}$
【知识点】
分式方程的解法；一元一次方程的解法
【点评】
本题是分式方程的常规考查题型，重点考察分式方程转整式方程的转化思想，解题时要注意去分母时不要漏乘不含分母的项，最后务必要检验解是否使原方程分母有意义，避免出现增根。
【难度系数】
0.8
这是一道分式方程求解的基础题，解题遵循分式方程的标准求解逻辑：第一步先确定方程的最简公分母，通过去分母将分式方程转化为已学的整式方程求解；第二步解转化得到的一元一次方程；第三步必须检验所得的解是否会使原方程的分母为0，排除增根。观察本题的分母为$4+x$和2，因此最简公分母为$2(4+x)$，两边同乘该公分母即可消去分母，转化为一元一次方程后按常规步骤求解，最后检验即可得到正确解。
【解析】
原方程两边同乘以 $2(4+x)$，得 $2(3-x)=4+x$，
去括号，得 $6-2x=4+x$，
移项，得 $-2x-x=4-6$，
合并同类项，得 $-3x=-2$，
系数化为 1，得 $x=\frac{2}{3}$，
经检验， $x=\frac{2}{3}$ 是分式方程的解，
∴方程的解为 $x=\frac{2}{3}$.
【答案】
$x=\frac{2}{3}$
【知识点】
分式方程的解法；一元一次方程的解法
【点评】
本题是分式方程的常规考查题型，重点考察分式方程转整式方程的转化思想，解题时要注意去分母时不要漏乘不含分母的项，最后务必要检验解是否使原方程分母有意义，避免出现增根。
【难度系数】
0.8
