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【例1】解方程：$\frac{x-1}{x+1} - \frac{2}{x^2 -1} =1.$
【点拨】解分式方程首先要确定最简公分母，两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程即可. 利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.
【点拨】解分式方程首先要确定最简公分母，两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程即可. 利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.
答案
解：方程两边同时乘 $(x+1)(x-1)$，得整式方程 $(x-1)^2-2=x^2-1$，解得 $x=0$，检验，当 $x=0$ 时， $(x+1)(x-1)≠0$，
∴原分式方程的解为 $x=0$.
∴原分式方程的解为 $x=0$.
解析
【分析】
这是一道分式方程求解的题目，解题思路如下：第一步先整理分母，对二次分母$x^2-1$用平方差公式因式分解为$(x+1)(x-1)$，从而确定最简公分母是$(x+1)(x-1)$；第二步给方程两边同时乘最简公分母，消去分母，把分式方程转化为整式方程；第三步解整式方程得到未知数的值；最后检验：把求得的未知数的值代入最简公分母，若公分母不为0，才是原分式方程的解，若公分母为0就是增根，需要舍去。
【解析】
解：先对分母因式分解，得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，因此原方程的最简公分母为$(x+1)(x-1)$。
方程两边同时乘$(x+1)(x-1)$，去分母得：
$(x-1)^2 - 2 = x^2 - 1$
展开左边得：$x^2 - 2x + 1 - 2 = x^2 - 1$
整理得：$x^2 - 2x -1 = x^2 -1$
移项、合并同类项得：$-2x = 0$
解得：$x=0$
检验：将$x=0$代入最简公分母$(x+1)(x-1)=(0+1)×(0-1)=-1≠0$，所以$x=0$是原分式方程的解。
【答案】
$x=0$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的验根，整式的运算
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，核心考察分式方程转化为整式方程的解题思路，解题时要注意去分母时不要漏乘不含分母的项，完成求解后必须检验根的有效性，避免将增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.7
这是一道分式方程求解的题目，解题思路如下：第一步先整理分母，对二次分母$x^2-1$用平方差公式因式分解为$(x+1)(x-1)$，从而确定最简公分母是$(x+1)(x-1)$；第二步给方程两边同时乘最简公分母，消去分母，把分式方程转化为整式方程；第三步解整式方程得到未知数的值；最后检验：把求得的未知数的值代入最简公分母，若公分母不为0，才是原分式方程的解，若公分母为0就是增根，需要舍去。
【解析】
解：先对分母因式分解，得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，因此原方程的最简公分母为$(x+1)(x-1)$。
方程两边同时乘$(x+1)(x-1)$，去分母得：
$(x-1)^2 - 2 = x^2 - 1$
展开左边得：$x^2 - 2x + 1 - 2 = x^2 - 1$
整理得：$x^2 - 2x -1 = x^2 -1$
移项、合并同类项得：$-2x = 0$
解得：$x=0$
检验：将$x=0$代入最简公分母$(x+1)(x-1)=(0+1)×(0-1)=-1≠0$，所以$x=0$是原分式方程的解。
【答案】
$x=0$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的验根，整式的运算
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，核心考察分式方程转化为整式方程的解题思路，解题时要注意去分母时不要漏乘不含分母的项，完成求解后必须检验根的有效性，避免将增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.7
【例2】若关于$x$的分式方程$\frac{x}{x-1}+1=\frac{m}{1-x}$的解为非负数，求$m$的取值范围.
【点拨】解分式方程，本题易错点是容易忽略$x≠1$这个信息.
【点拨】解分式方程，本题易错点是容易忽略$x≠1$这个信息.
答案
解： $\frac{x}{x-1}+1=\frac{m}{1-x}$，两边同乘 $(x-1)$，去分母，得 $x+x-1=-m$，移项，合并同类项，得 $2x=1-m$，系数化为 1，得 $x=\frac{1-m}{2}$。
∵原分式方程的解为非负数，
∴$\frac{1-m}{2}≥0$，且 $\frac{1-m}{2}≠1$，解得 $m≤1$ 且 $m≠-1$.
∵原分式方程的解为非负数，
∴$\frac{1-m}{2}≥0$，且 $\frac{1-m}{2}≠1$，解得 $m≤1$ 且 $m≠-1$.
解析
【分析】
解题时首先需要把参数m当作常数，将分式方程转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解x；再根据“解为非负数”的要求得到x≥0的不等式，同时要注意分式方程的分母不能为0，否则方程无意义，即x≠1，将x的表达式代入这两个约束条件联立求解，就能得到m的取值范围，切记不要遗漏x≠1的隐含条件，避免取值范围出错。
【解析】
给方程$\frac{x}{x-1}+1=\frac{m}{1-x}$两边同乘最简公分母$(x-1)$去分母，得：
$x + x - 1 = -m$
移项、合并同类项，得：
$2x = 1 - m$
系数化为1，得：
$x = \frac{1 - m}{2}$
∵原分式方程的解为非负数，且分式分母不为0（即$x≠1$）
∴可列不等式组：$\begin{cases}\frac{1 - m}{2} ≥ 0 \\ \frac{1 - m}{2} ≠ 1 \end{cases}$
解第一个不等式：$1 - m ≥ 0$，得$m ≤ 1$
解第二个不等式：$1 - m ≠ 2$，得$m ≠ -1$
综上可得m的取值范围。
【答案】
$m ≤ 1$且$m ≠ -1$
【知识点】
分式方程的解法；分式有意义的条件；一元一次不等式求解
【点评】
本题是分式方程与不等式结合的常见题型，解题核心是先求解出含参数的方程解，再结合题目条件和分式的隐含定义域要求列不等式计算，易错点是容易忽略分母不为0的约束，导致取值范围扩大。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要把参数m当作常数，将分式方程转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解x；再根据“解为非负数”的要求得到x≥0的不等式，同时要注意分式方程的分母不能为0，否则方程无意义，即x≠1，将x的表达式代入这两个约束条件联立求解，就能得到m的取值范围，切记不要遗漏x≠1的隐含条件，避免取值范围出错。
【解析】
给方程$\frac{x}{x-1}+1=\frac{m}{1-x}$两边同乘最简公分母$(x-1)$去分母，得：
$x + x - 1 = -m$
移项、合并同类项，得：
$2x = 1 - m$
系数化为1，得：
$x = \frac{1 - m}{2}$
∵原分式方程的解为非负数，且分式分母不为0（即$x≠1$）
∴可列不等式组：$\begin{cases}\frac{1 - m}{2} ≥ 0 \\ \frac{1 - m}{2} ≠ 1 \end{cases}$
解第一个不等式：$1 - m ≥ 0$，得$m ≤ 1$
解第二个不等式：$1 - m ≠ 2$，得$m ≠ -1$
综上可得m的取值范围。
【答案】
$m ≤ 1$且$m ≠ -1$
【知识点】
分式方程的解法；分式有意义的条件；一元一次不等式求解
【点评】
本题是分式方程与不等式结合的常见题型，解题核心是先求解出含参数的方程解，再结合题目条件和分式的隐含定义域要求列不等式计算，易错点是容易忽略分母不为0的约束，导致取值范围扩大。
【难度系数】
0.7
1. 下列方程：①$x^2 - 2x = \frac{1}{x}$；②$\frac{3x + 5}{4x} - 1 = \frac{2x - 1}{3}$；③$x^4 - 2x^2 = 0$；④$\frac{1}{2}x^2 - 1 = 0$。其中为分式方程的是（
A.①②③
B.①②
C.①③
D.①②④
B
）A.①②③
B.①②
C.①③
D.①②④
答案
1. B
解析
【分析】
解决本题的核心是牢记分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题思路为：先明确分式方程和整式方程的区分标准（分母是否含未知数），再逐一分析所给的4个方程，判断每个方程的分母是否含有未知数，最后选出全部是分式方程的选项即可，注意不要被方程中未知数的最高次数干扰判断。
【解析】
我们逐个判断每个方程的类型：
① 方程$x^2 - 2x = \frac{1}{x}$，右边的项分母为$x$，含有未知数，属于分式方程；
② 方程$\frac{3x + 5}{4x} - 1 = \frac{2x - 1}{3}$，左边第一项的分母为$4x$，含有未知数，属于分式方程；
③ 方程$x^4 - 2x^2 = 0$，所有项都没有含未知数的分母，是整式方程，不属于分式方程；
④ 方程$\frac{1}{2}x^2 - 1 = 0$，$x^2$项的分母是常数2，不含未知数，是整式方程，不属于分式方程。
因此属于分式方程的是①②，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的定义、整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是抓住“分母含有未知数”这一分式方程的本质特征，避免被方程的次数、是否有常数分母等无关特征误导。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是牢记分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题思路为：先明确分式方程和整式方程的区分标准（分母是否含未知数），再逐一分析所给的4个方程，判断每个方程的分母是否含有未知数，最后选出全部是分式方程的选项即可，注意不要被方程中未知数的最高次数干扰判断。
【解析】
我们逐个判断每个方程的类型：
① 方程$x^2 - 2x = \frac{1}{x}$，右边的项分母为$x$，含有未知数，属于分式方程；
② 方程$\frac{3x + 5}{4x} - 1 = \frac{2x - 1}{3}$，左边第一项的分母为$4x$，含有未知数，属于分式方程；
③ 方程$x^4 - 2x^2 = 0$，所有项都没有含未知数的分母，是整式方程，不属于分式方程；
④ 方程$\frac{1}{2}x^2 - 1 = 0$，$x^2$项的分母是常数2，不含未知数，是整式方程，不属于分式方程。
因此属于分式方程的是①②，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的定义、整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是抓住“分母含有未知数”这一分式方程的本质特征，避免被方程的次数、是否有常数分母等无关特征误导。
【难度系数】
0.8
2. 将关于$x$的分式方程$\frac{3}{2x}=\frac{1}{x-1}$去分母可得（
A.$3x-3=2x$
B.$3x-1=2x$
C.$3x-1=x$
D.$3x-3=x$
A
）A.$3x-3=2x$
B.$3x-1=2x$
C.$3x-1=x$
D.$3x-3=x$
答案
2. A
解析
【分析】
要解决分式方程去分母的问题，解题依据是等式的性质2：等式两边同时乘同一个不为0的整式，等式仍然成立。首先找方程中两个分式分母的最简公分母，本题分母分别为2x和x-1，二者没有公因式，因此最简公分母是2x(x-1)；再将方程左右两边的每一项都乘这个最简公分母，约去分母后化简即可得到结果，注意去分母时不能漏乘任何一项。
【解析】
解：该分式方程的最简公分母为$2x(x-1)$，
根据等式的性质，方程两边同时乘以$2x(x-1)$（默认$2x(x-1)≠0$），可得：
$\frac{3}{2x} × 2x(x-1) = \frac{1}{x-1} × 2x(x-1)$
约分化简后得：$3(x-1)=2x$
将左边展开：$3x-3=2x$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程去分母，等式的性质，整式化简
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，核心考查去分母的规范操作，易错点为去分母时漏乘项、去括号时漏乘系数，做题时牢记每一项都要乘最简公分母，计算细心即可得分。
【难度系数】
0.9
要解决分式方程去分母的问题，解题依据是等式的性质2：等式两边同时乘同一个不为0的整式，等式仍然成立。首先找方程中两个分式分母的最简公分母，本题分母分别为2x和x-1，二者没有公因式，因此最简公分母是2x(x-1)；再将方程左右两边的每一项都乘这个最简公分母，约去分母后化简即可得到结果，注意去分母时不能漏乘任何一项。
【解析】
解：该分式方程的最简公分母为$2x(x-1)$，
根据等式的性质，方程两边同时乘以$2x(x-1)$（默认$2x(x-1)≠0$），可得：
$\frac{3}{2x} × 2x(x-1) = \frac{1}{x-1} × 2x(x-1)$
约分化简后得：$3(x-1)=2x$
将左边展开：$3x-3=2x$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程去分母，等式的性质，整式化简
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，核心考查去分母的规范操作，易错点为去分母时漏乘项、去括号时漏乘系数，做题时牢记每一项都要乘最简公分母，计算细心即可得分。
【难度系数】
0.9
3. 分式方程$\frac{x-2}{x-3}=\frac{2}{x-3}$的解为（
A.2
B.3
C.4
D.5
C
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
3. C
解析
【分析】
本题考查分式方程的求解，解题思路如下：1. 首先明确分式方程的求解前提：分母不能为0，因此本题中x-3≠0，即x≠3；2. 给方程两边同时乘最简公分母(x-3)，将分式方程转化为整式方程；3. 解整式方程得到未知数的值后，必须代入最简公分母检验，若公分母不为0才是原方程的解，若公分母为0则是增根，需要舍去。
【解析】
解：第一步，确定分式有意义的条件：
要使方程中的分式有意义，则$x-3≠0$，即$x≠3$。
第二步，去分母转化为整式方程：
方程两边同时乘以最简公分母$(x-3)$，得：
$x - 2 = 2$
第三步，解整式方程：
移项计算得$x = 2 + 2$，即$x = 4$。
第四步，验根：
将$x=4$代入$x-3$，得$4-3=1≠0$，因此$x=4$是原分式方程的解。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，易错点是部分同学忽略验根步骤，或误将增根x=3当作方程的解，解题时要牢记分式方程求解后必须检验，排除使分母为0的增根。
【难度系数】
0.7
本题考查分式方程的求解，解题思路如下：1. 首先明确分式方程的求解前提：分母不能为0，因此本题中x-3≠0，即x≠3；2. 给方程两边同时乘最简公分母(x-3)，将分式方程转化为整式方程；3. 解整式方程得到未知数的值后，必须代入最简公分母检验，若公分母不为0才是原方程的解，若公分母为0则是增根，需要舍去。
【解析】
解：第一步，确定分式有意义的条件：
要使方程中的分式有意义，则$x-3≠0$，即$x≠3$。
第二步，去分母转化为整式方程：
方程两边同时乘以最简公分母$(x-3)$，得：
$x - 2 = 2$
第三步，解整式方程：
移项计算得$x = 2 + 2$，即$x = 4$。
第四步，验根：
将$x=4$代入$x-3$，得$4-3=1≠0$，因此$x=4$是原分式方程的解。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，易错点是部分同学忽略验根步骤，或误将增根x=3当作方程的解，解题时要牢记分式方程求解后必须检验，排除使分母为0的增根。
【难度系数】
0.7
