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3. 有下列说法：① 无理数是无限小数；② 无理数包括正无理数、0 和负无理数；③ 无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；④ $\frac{\sqrt{3}}{3}$是一个分数.其中正确的是______.
答案
①
4. 若$a,b$为两个连续整数,且$a＜\sqrt{3}＜b$,则$a + b= $______.
答案
3
5. 把下列各数填入相应的横线上：
$\frac{2}{3}\pi,\sqrt[3]{5},0.\dot{7},-3.14,\sqrt{36},\sqrt{2},(-\sqrt{2})^{2},1.010 010 001$
(1)无理数：______； (2)有理数：______.
$\frac{2}{3}\pi,\sqrt[3]{5},0.\dot{7},-3.14,\sqrt{36},\sqrt{2},(-\sqrt{2})^{2},1.010 010 001$
(1)无理数：______； (2)有理数：______.
答案
$\frac 23\pi ，$$\sqrt [3]{5}，$$\sqrt {2}$
$0.\dot {7}，$-3.14，$\sqrt {36}，$$(-\sqrt {2})^2，$1.010010001
$0.\dot {7}，$-3.14，$\sqrt {36}，$$(-\sqrt {2})^2，$1.010010001
6. 如果$\sqrt{6}的小数部分为a$,$\sqrt{13}的整数部分为b$,求$a + b-\sqrt{6}$的值.
答案
解：∵$2^2=4＜6＜9=3^2，$∴$\sqrt 6$的整数部分为2，小数部分$a=\sqrt 6-2$
∵$3^2=9＜13＜16=4^2，$∴$\sqrt {13}$的整数部分b=3
则$a+b-\sqrt 6=(\sqrt 6-2)+3-\sqrt 6=1$
∵$3^2=9＜13＜16=4^2，$∴$\sqrt {13}$的整数部分b=3
则$a+b-\sqrt 6=(\sqrt 6-2)+3-\sqrt 6=1$
7. 任意一个无理数介于两个整数之间,我们定义,若无理数$T满足m＜T＜n$(其中$m$为满足不等式的最大整数,$n$为满足不等式的最小整数),则称无理数$T$的“近整区间”为$(m,n)$,如$1＜\sqrt{2}＜2$,所以$\sqrt{2}$的“近整区间”为$(1,2)$.
(1)无理数$\sqrt{5}$的“近整区间”是______,无理数$-\sqrt{10}$的“近整区间”是______.
(2)实数$x,y$满足表达式：$y= \sqrt{x - 2 023}+\sqrt{2 023 - x}$,求$x + y$的算术平方根的“近整区间”.
(1)无理数$\sqrt{5}$的“近整区间”是______,无理数$-\sqrt{10}$的“近整区间”是______.
(2)实数$x,y$满足表达式：$y= \sqrt{x - 2 023}+\sqrt{2 023 - x}$,求$x + y$的算术平方根的“近整区间”.
答案
(2,3)
(-4,-3)
解：(2)要使$y=\sqrt {x-2023}+\sqrt {2023-x}$有意义
则$x-2023\geq 0$且$2023-x\geq 0，$解得x=2023
∴y=0，x+y=2023
∵$44^2=1936＜2023＜2025=45^2$
∴$\sqrt {2023}$的''近整区间''为(44，45)
(-4,-3)
解：(2)要使$y=\sqrt {x-2023}+\sqrt {2023-x}$有意义
则$x-2023\geq 0$且$2023-x\geq 0，$解得x=2023
∴y=0，x+y=2023
∵$44^2=1936＜2023＜2025=45^2$
∴$\sqrt {2023}$的''近整区间''为(44，45)
8. 已知$15+\sqrt{3}= x + y$,其中$x$是整数,且$0＜y＜1$,求$x - y$的值.
答案
解：∵$1＜\sqrt 3＜2，$∴$16＜15+\sqrt 3＜17$
则x=16，$y=15+\sqrt 3-16=\sqrt 3-1$
∴$x-y=16-(\sqrt 3-1)=17-\sqrt 3$
则x=16，$y=15+\sqrt 3-16=\sqrt 3-1$
∴$x-y=16-(\sqrt 3-1)=17-\sqrt 3$
