登录
6. 下列命题：
①等腰三角形是轴对称图形；
②若$a ＞ 1$，且$b ＞ 1$，则$a + b ＞ 2$；
③直角三角形的两锐角互余.
其中逆命题正确的有().
A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.$3$个
①等腰三角形是轴对称图形；
②若$a ＞ 1$，且$b ＞ 1$，则$a + b ＞ 2$；
③直角三角形的两锐角互余.
其中逆命题正确的有().
A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.$3$个
答案
B
解析
命题①的逆命题是：轴对称图形是等腰三角形。
轴对称图形可能是等腰三角形，也可能是其他图形（如正方形、圆形等），
所以，逆命题不正确。
命题②的逆命题是：若$a + b ＞ 2$，则$a ＞ 1$且$b ＞ 1$。
取$a = 3$，$b = 0$，此时$a + b = 3 ＞ 2$，但$b$不大于$1$，
所以，逆命题不正确。
命题③的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形。
根据直角三角形的性质，两锐角互余是直角三角形的特性，反之亦然，
所以，逆命题正确。
综上，只有命题③的逆命题是正确的。
轴对称图形可能是等腰三角形，也可能是其他图形（如正方形、圆形等），
所以，逆命题不正确。
命题②的逆命题是：若$a + b ＞ 2$，则$a ＞ 1$且$b ＞ 1$。
取$a = 3$，$b = 0$，此时$a + b = 3 ＞ 2$，但$b$不大于$1$，
所以，逆命题不正确。
命题③的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形。
根据直角三角形的性质，两锐角互余是直角三角形的特性，反之亦然，
所以，逆命题正确。
综上，只有命题③的逆命题是正确的。
7. 如图，$DE$是$\triangle ABC$的边$AC$的垂直平分线，若$BC = 18\mathrm{cm}$，$AB = 10\mathrm{cm}$，则$\triangle ABD$的周长为().
A.$16\mathrm{cm}$
B.$28\mathrm{cm}$
C.$26\mathrm{cm}$
D.$18\mathrm{cm}$
A.$16\mathrm{cm}$
B.$28\mathrm{cm}$
C.$26\mathrm{cm}$
D.$18\mathrm{cm}$
答案
B
解析
∵DE是△ABC的边AC的垂直平分线，∴AD=CD。
△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC。
∵AB=10cm，BC=18cm，∴△ABD的周长=10+18=28cm。
△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC。
∵AB=10cm，BC=18cm，∴△ABD的周长=10+18=28cm。
8. 在$\triangle ABC$中，①若$AB = BC = CA$，则$\triangle ABC$是等边三角形；②若$\angle A=\angle B=\angle C$，则$\triangle ABC$是等边三角形；③有两个角都是$60^{\circ}$的三角形是等边三角形；④有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形.其中结论正确的有().
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
答案
D
解析
① 若$AB=BC=CA$，根据等边三角形的定义（三边相等），$\triangle ABC$是等边三角形，正确。
② 若$\angle A = \angle B = \angle C$，根据三角形内角和定理，每个角为$60°$，三边相等（由角相等推导），$\triangle ABC$是等边三角形，正确。
③ 有两个角都是$60°$的三角形，根据三角形内角和定理，第三个角也为$60°$，三边相等，是等边三角形，正确。
④ 有一个角是$60°$的等腰三角形，若顶角为$60°$，则两底角各为$60°$；若底角为$60°$，则顶角为$60°$，均满足三边相等，是等边三角形，正确。
② 若$\angle A = \angle B = \angle C$，根据三角形内角和定理，每个角为$60°$，三边相等（由角相等推导），$\triangle ABC$是等边三角形，正确。
③ 有两个角都是$60°$的三角形，根据三角形内角和定理，第三个角也为$60°$，三边相等，是等边三角形，正确。
④ 有一个角是$60°$的等腰三角形，若顶角为$60°$，则两底角各为$60°$；若底角为$60°$，则顶角为$60°$，均满足三边相等，是等边三角形，正确。
9. 已知点$P(a,-3)$和点$Q(4,b)$关于$y$轴对称，则$a + b=$.
答案
$-7$
解析
由于点$P(a, -3)$和点$Q(4, b)$关于$y$轴对称，根据对称性质，两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等。
因此，有$a = -4$，$b = -3$。
所以，$a + b = -4 + (-3) = -7$。
因此，有$a = -4$，$b = -3$。
所以，$a + b = -4 + (-3) = -7$。
10. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，分别以点$B$和点$C$为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径作弧，两弧交于点$D$，作直线$AD$交$BC$于点$E$.若$\angle BAC = 110^{\circ}$，则$\angle BAE$的度数为_______.
答案
55°
11. 如图，$\angle AOB = 60^{\circ}$，$OC$平分$\angle AOB$，如果射线$OA$上的点$E$满足$\triangle OCE$是等腰三角形，那么$\angle OEC$的度数为.
答案
30°或75°或120°
解析
∵∠AOB=60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC=30°，即∠COE=30°（E在OA上）。△OCE为等腰三角形，分三种情况：
1. OC=OE：顶角∠COE=30°，∠OEC=(180°-30°)/2=75°；
2. OC=CE：OC=CE⇒∠COE=∠OEC=30°；
3. OE=CE：OE=CE⇒∠COE=∠OCE=30°，∠OEC=180°-30°-30°=120°。
综上，∠OEC的度数为30°或75°或120°。
1. OC=OE：顶角∠COE=30°，∠OEC=(180°-30°)/2=75°；
2. OC=CE：OC=CE⇒∠COE=∠OEC=30°；
3. OE=CE：OE=CE⇒∠COE=∠OCE=30°，∠OEC=180°-30°-30°=120°。
综上，∠OEC的度数为30°或75°或120°。
12. 如图，点$O$在直线$l$上，点$A$在直线$l$外，要在直线$l$上找出一点$P$，使$\triangle APO$为等腰三角形，这样的点$P$有个.
答案
4
解析
分三种情况讨论：
1. OA=OP：以O为圆心，OA为半径画圆，与直线l交于O点两侧的两点P₁、P₂，共2点；
2. PA=PO：作OA的垂直平分线，与直线l交于1点P₃（OA不垂直于l时，垂直平分线与l相交）；
3. PA=OA：以A为圆心，OA为半径画圆，与直线l交于O点及另一点P₄，O点舍去，得1点P₄。
综上，一般情况下共有2+1+1=4个点。
1. OA=OP：以O为圆心，OA为半径画圆，与直线l交于O点两侧的两点P₁、P₂，共2点；
2. PA=PO：作OA的垂直平分线，与直线l交于1点P₃（OA不垂直于l时，垂直平分线与l相交）；
3. PA=OA：以A为圆心，OA为半径画圆，与直线l交于O点及另一点P₄，O点舍去，得1点P₄。
综上，一般情况下共有2+1+1=4个点。
13. （2025昆明期末）如图，在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$各顶点的坐标分别是$A(1,1)$，$B(4,2)$，$C(3,4)$.
(1)在图中作出与$\triangle ABC$关于$x$轴对称的$\triangle A_1B_1C_1$，并写出对称点$C_1$的坐标；
(2)在$y$轴上求作一点$P$，使得$AP + CP$的值最小，请在图中作出点$P$.
(1)在图中作出与$\triangle ABC$关于$x$轴对称的$\triangle A_1B_1C_1$，并写出对称点$C_1$的坐标；
(2)在$y$轴上求作一点$P$，使得$AP + CP$的值最小，请在图中作出点$P$.
答案
(1) $\triangle A_1B_1C_1$ 如图所示，其中 $A_1(1, -1)$, $B_1(4, -2)$, $C_1(3, -4)$。
$C_1$ 的坐标为 $(3, -4)$。
(2) 点 $P$ 如图所示。
