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思维导图·发展创新意识
答案
$(x, -y)$
$(-x, y)$
中点，垂直
距离相等
垂直平分线
等边，等边
相等，60°
相等，60°
$(-x, y)$
中点，垂直
距离相等
垂直平分线
等边，等边
相等，60°
相等，60°
1. 数学中有许多精美的曲线，下面四个图形中不是轴对称图形的是( ).
答案
B
2. 在平面直角坐标系中，点$P(a,2)$与点$A(-3,m)$关于$y$轴对称，则$a,m$的值分别为().
A.$3,-2$
B.$-3,-2$
C.$3,2$
D.$-3,2$
A.$3,-2$
B.$-3,-2$
C.$3,2$
D.$-3,2$
答案
C
解析
关于$y$轴对称的点的坐标特征是横坐标互为相反数，纵坐标相等。
已知点$P(a,2)$与点$A(-3,m)$关于$y$轴对称，则$a$与$-3$互为相反数，所以$a = 3$；
点$P$与点$A$纵坐标相等，所以$m = 2$。
已知点$P(a,2)$与点$A(-3,m)$关于$y$轴对称，则$a$与$-3$互为相反数，所以$a = 3$；
点$P$与点$A$纵坐标相等，所以$m = 2$。
3. 若等腰三角形的顶角是$84^{\circ}$，则一腰上的高与底边所成的角的度数是().
A.$42^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$36^{\circ}$
D.$46^{\circ}$
A.$42^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$36^{\circ}$
D.$46^{\circ}$
答案
A
解析
在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=84°，过C作CD⊥AB于D。
∵AB=AC，∠A=84°，
∴∠B=∠ACB=(180°-84°)/2=48°。
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=90°-∠B=90°-48°=42°。
即一腰上的高与底边所成的角为42°。
∵AB=AC，∠A=84°，
∴∠B=∠ACB=(180°-84°)/2=48°。
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=90°-∠B=90°-48°=42°。
即一腰上的高与底边所成的角为42°。
4. 已知实数$x,y$满足$|x - 4|+\sqrt{y - 8}=0$，则以$x,y$的值为两边长的等腰三角形的周长是().
A.$20$或$16$
B.$20$
C.$16$
D.以上答案均不对
A.$20$或$16$
B.$20$
C.$16$
D.以上答案均不对
答案
B
解析
由题意，$|x - 4|+\sqrt{y - 8}=0$，因为绝对值和平方根均为非负数，所以：
$x - 4 = 0$，解得$x = 4$；
$y - 8 = 0$，解得$y = 8$。
需要构造等腰三角形，两边长分别为$4$和$8$，分情况讨论：
当腰长为$4$，底边为$8$时，两腰之和为$4 + 4 = 8$，等于底边，不满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），无法构成三角形。
当腰长为$8$，底边为$4$时，两腰之和为$8 + 8 = 16$，大于底边$4$，且$8 + 4\gt 8$，$8 - 4\lt 8$，满足三边关系，可以构成三角形，此时周长为$8 + 8 + 4 = 20$。
$x - 4 = 0$，解得$x = 4$；
$y - 8 = 0$，解得$y = 8$。
需要构造等腰三角形，两边长分别为$4$和$8$，分情况讨论：
当腰长为$4$，底边为$8$时，两腰之和为$4 + 4 = 8$，等于底边，不满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），无法构成三角形。
当腰长为$8$，底边为$4$时，两腰之和为$8 + 8 = 16$，大于底边$4$，且$8 + 4\gt 8$，$8 - 4\lt 8$，满足三边关系，可以构成三角形，此时周长为$8 + 8 + 4 = 20$。
5. 如图，$P$是$\angle AOB$外的一点，$M,N$分别是$\angle AOB$两边上的点，点$P$关于$OA$的对称点$Q$落在线段$MN$上，点$P$关于$OB$的对称点$R$落在$MN$的延长线上.若$PM = 2\mathrm{cm}$，$PN = 3\mathrm{cm}$，$MN = 3.5\mathrm{cm}$，则线段$QR$的长为().
A.$4.5\mathrm{cm}$
B.$5.5\mathrm{cm}$
C.$6.5\mathrm{cm}$
D.$7\mathrm{cm}$
A.$4.5\mathrm{cm}$
B.$5.5\mathrm{cm}$
C.$6.5\mathrm{cm}$
D.$7\mathrm{cm}$
答案
A
解析
∵点P关于OA的对称点为Q，M在OA上，
∴由轴对称性质得：PM=QM=2cm。
∵Q在线段MN上，MN=3.5cm，
∴QN=MN-QM=3.5-2=1.5cm。
∵点P关于OB的对称点为R，N在OB上，
∴由轴对称性质得：PN=RN=3cm。
∵R在MN的延长线上（过N点方向），
∴QR=QN+NR=1.5+3=4.5cm。
