14. （2025昆明西山区期中）如图，$AB = AC$，$AB$的垂直平分线交$AC$于点$D$，交$AB$于点$E$.
(1)若$\angle A = 40^{\circ}$，求$\angle DBC$的度数；
(2)若$AE = 5$，$\triangle BCD$的周长为$17$，求$\triangle ABC$的周长.

(1)
∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°-40°)/2=70°。
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=40°。
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°。
(2)
∵DE垂直平分AB，AE=5，
∴AB=2AE=10，EB=AE=5，AD=BD。
∵△BCD周长=BC+CD+BD=17，BD=AD，
∴BC+CD+AD=BC+AC=17。
∵AB=AC=10，
∴BC=17-AC=17-10=7。
∴△ABC周长=AB+AC+BC=10+10+7=27。
答案：(1)30°；(2)27。

15. 如图，$\triangle ABC$是等边三角形，$BD$是中线，$P$是直线$BC$上一点.
(1)若$CP = CD$，求证：$\triangle DBP$是等腰三角形.
(2)在图(1)中建立以$\triangle ABC$的边$BC$的中点为原点，$BC$所在直线为$x$轴，边$BC$上的高所在直线为$y$轴的平面直角坐标系，如图(2)，已知等边三角形$ABC$的边长为$2$，$AO = \sqrt{3}$，在$x$轴上是否存在除点$P$以外的点$Q$，使$\triangle BDQ$是等腰三角形？如果存在，请求出点$Q$的坐标；如果不存在，请说明理由.

(1)证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC=60°，BD平分∠ABC，AD=DC，∠DBC=30°。∵CP=CD，∴△DCP是等腰三角形，∠CDP=∠CPD。∵∠ACB=60°是△DCP的外角，∴∠ACB=∠CDP+∠CPD=2∠CPD，∴∠CPD=30°。∴∠DBC=∠CPD=30°，即∠DBP=∠DPB，∴DB=DP，∴△DBP是等腰三角形。
(2)存在。
由题意得：B(-1,0)，D(0.5,√3/2)，设Q(q,0)。
①BQ=BD：BD=√3，|q+1|=√3，得Q(√3-1,0)或(-√3-1,0)；
②BD=DQ：DQ=√3，解得Q(2,0)(P点，舍去)或(-1,0)(B点，舍去)；
③BQ=DQ：(q+1)²=(q-0.5)²+3/4，解得q=0，即Q(0,0)。
综上，Q的坐标为(-√3-1,0)，(0,0)，(√3-1,0)。