课前预习
(1)两点之间，最短.
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，最短.
(3)在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而得出最短路径.
对点探究
探究点1 利用轴对称解决最短路径问题

(1)线段
(2)垂线段

(1)根据线段的性质可知，两点之间线段最短，所以答案为线段。
(2)根据垂线段的性质可知，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，所以答案为垂线段。

【例1】如图，村庄A，B在一条笔直的公路l的同侧，现要在公路上修建一个供应站，使供应站到两村庄之间的距离之和最短，应将供应站修建在哪里？请依据轴对称的性质作出符合要求的点，并写出证明过程.

作图步骤：
1. 作点A关于直线l的对称点A'；
2. 连接A'B，交直线l于点P；
3. 点P即为所求供应站的位置。
证明过程：
在直线l上任取异于点P的一点P'，连接PA，P'A，P'A'，P'B。
∵点A与A'关于直线l对称，
∴直线l是线段AA'的垂直平分线，
∴PA=P'A，P'A=P'A'（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∴PA+PB=P'A+PB=A'B，
P'A+P'B=P'A'+P'B（等量代换）。
∵在△P'A'B中，P'A'+P'B＞A'B（三角形两边之和大于第三边），
∴P'A+P'B＞PA+PB。
即对直线l上任一异于P的点P'，都有P'A+P'B＞PA+PB，
∴PA+PB最短，点P符合要求。
综上，点P为所求。

1. 小王准备在某街道旁建一个送奶站C，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两居民区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在().

C

作点A关于街道的对称点A'，连接A'B，与街道交于点C，此时AC+BC最小，点C即为所求。

2. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是30，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于点E，F，若点D为边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为.

13

∵△ABC是等腰三角形，D为BC中点，BC=6，∴CD=3，AD⊥BC（三线合一）。
∵S△ABC=30，∴1/2×BC×AD=30，即1/2×6×AD=30，解得AD=10。
∵EF是AC的垂直平分线，∴M在EF上时，MA=MC（垂直平分线性质）。
△CDM周长=CD+DM+CM=3+DM+MA，要使周长最小，需DM+MA最小。
∵A、D在EF两侧，连接AD交EF于M，此时DM+MA=AD（两点之间线段最短）。
∴△CDM周长最小值=3+AD=3+10=13。

3. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)，在x轴上找一点P，使PA + PB的值最小，则点P的坐标为.

(2, 0)

1. 作点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点 $A'$，其坐标为 $ (1, -1) $。
2. 连接 $A'$ 和 $B$，找出直线 $A'B$ 与 $x$ 轴的交点，即为所求的点 $P$。
3. 计算直线 $A'B$ 的方程。
点 $A'(1, -1)$，点 $B(4, 2)$。
斜率 $k = \frac{2 - (-1)}{4 - 1} = 1$。
直线方程为 $y + 1 = 1 · (x - 1)$，即 $y = x - 2$。
4. 求直线 $A'B$ 与 $x$ 轴的交点，令 $y = 0$，解得 $x = 2$。
5. 因此，点 $P$ 的坐标为 $ (2, 0) $。