1. 可以用来说明“若 $ a ＞ b $，则 $ a ^ { 2 } ＞ b ^ { 2 } $”是假命题的反例是()

A.$ a = 3 $，$ b = - 4 $
B.$ a = - 1 $，$ b = 3 $
C.$ a = 3 $，$ b = - 1 $
D.$ a = 3 $，$ b = 4 $

A
解：要说明“若a ＞ b，则$a^2 ＞ b^2”$是假命题，需找出满足a ＞ b但$a^2 \leq b^2$的反例。
A. a = 3，b = -4，3 ＞ -4，$a^2 = 9，$$b^2 = 16，$9 ＜ 16，满足a ＞ b且$a^2 ＜ b^2，$是反例。
B. a = -1，b = 3，-1 ＜ 3，不满足a ＞ b，不是反例。
C. a = 3，b = -1，3 ＞ -1，$a^2 = 9，$$b^2 = 1，$9 ＞ 1，不满足$a^2 \leq b^2，$不是反例。
D. a = 3，b = 4，3 ＜ 4，不满足a ＞ b，不是反例。
答案：A

2. 如图，点 $ E $ 在 $ CD $ 的延长线上，下列条件中，能判定 $ AB // CE $ 的是()

A.$ \angle 3 = \angle C $
B.$ \angle 1 = \angle 2 $
C.$ \angle B = \angle C $
D.$ \angle C + \angle CAB = 180 ^ { \circ } $

D

3. 如图，$ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的中线，$ DE = DF $，给出下列说法：① $ CE = BF $；② $ \angle BAF = \angle CAF $；③ $ \triangle ABD $ 和 $ \triangle ACD $ 的面积相等；④ $ BF // CE $；⑤ $ \triangle BDF \cong \triangle CDE $。其中正确的有()

A.$ 5 $ 个
B.$ 4 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.$ 2 $ 个

B
【解析】：本题主要考查全等三角形的判定与性质以及三角形中线的性质。
证明⑤：
因为AD是$\triangle ABC$的中线，
所以BD = CD（中线的定义：三角形的中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段，所以中线将对边平分）。
已知DE = DF，
又因为$\angle BDF$和$\angle CDE$是对顶角，根据对顶角的性质：对顶角相等，所以$\angle BDF=\angle CDE。$
在$\triangle BDF$和$\triangle CDE$中，
$\begin{cases}BD = CD\\\angle BDF=\angle CDE\\DE = DF\end{cases}$
根据全等三角形的判定定理（SAS：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle BDF\cong\triangle CDE，$所以⑤正确。
由$\triangle BDF\cong\triangle CDE，$根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，可得CE = BF，所以①正确。
因为$\triangle BDF\cong\triangle CDE，$根据全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，所以$\angle FBD=\angle ECD，$根据内错角相等，两直线平行，可得BF// CE，所以④正确。
证明③：
因为AD是$\triangle ABC$的中线，所以BD = CD，且AD为$\triangle ABD$和$\triangle ACD$的公共边。
$\triangle ABD$和$\triangle ACD$有相同的高（分别以BD和CD为底边时，高都是从A点向BC边作的垂线段的长度）。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah（a$为底，h为高），可知$\triangle ABD$和$\triangle ACD$等底等高，所以它们的面积相等，即$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}，$所以③正确。
仅由已知条件无法得出$\angle BAF=\angle CAF，$所以②错误。
综上，①③④⑤正确，共4个。
【答案】：B

4. 如图，已知 $ AB // CD $，$ CG // EF $。如果 $ \angle BAG = 150 ^ { \circ } $，$ \angle DEF = 130 ^ { \circ } $，那么 $ \angle AGC = $$ ^ { \circ } $。

80

5. 如图，$ a $，$ b $，$ c $ 三根木棒钉在一起，交点分别为 $ A $，$ B $，$ \angle 1 = 70 ^ { \circ } $，$ \angle 2 = 100 ^ { \circ } $。现将木棒 $ a $，$ b $ 分别绕点 $ A $，$ B $ 顺时针旋转，同时开始，速度分别为 $ 12 ^ { \circ } / s $ 和 $ 2 ^ { \circ } / s $，每根木棒转满一周时停止转动。转动$ s $ 时，木棒 $ a $，$ b $ 平行。

3或21或75或165

6. 定义：若一个正整数能表示为两个正整数 $ m $，$ n $ 的平方差，且 $ m - n ＞ 1 $，则称这个正整数为“智慧优数”。例如：$ 16 = 5 ^ { 2 } - 3 ^ { 2 } $，$ 16 $ 就是一个“智慧优数”。若将“智慧优数”从小到大排列，则第 $ 3 $ 个“智慧优数”是，第 $ 23 $ 个“智慧优数”是。

15
57

7. 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷。图①展示了一个“互”字，图②是其抽象出的几何图形。已知 $ AB // CD $，$ MG // FN $，点 $ E $，$ M $，$ F $ 在同一条直线上，点 $ G $，$ N $，$ H $ 也在同一条直线上，且 $ \angle EFN = \angle G $。
（1）$ EF $ 与 $ GH $ 平行吗？请说明理由。
（2）求证：$ \angle AEF = \angle GHD $。