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7. 如图，$CD \perp AB$，垂足为 $D$，$FE \perp AB$，垂足为 $E$，$\angle ACD + \angle F = 180^{\circ}$。
(1) 求证：$AC // FG$。
(2) 若 $\angle F = 3\angle G$，$\angle BCD:\angle ACD = 2:3$，求 $\angle BCD$ 的度数。
(1) 求证：$AC // FG$。
(2) 若 $\angle F = 3\angle G$，$\angle BCD:\angle ACD = 2:3$，求 $\angle BCD$ 的度数。
答案
$(1)$证明：因为$ CD⊥AB，$$FE⊥AB$
所以$ ∠AEH=∠ADC=90°$
所以$ EF//DC$
所以$ ∠AHE=∠ACD$
因为$ ∠ACD+∠F=180°$
所以$ ∠AHE+∠F=180°$
因为$ ∠AHE+∠EHC=180°$
所以$ ∠EHC=∠F$
所以$ AC//FG$
$(2)$解：因为$ ∠BCD∶∠ACD=2∶3$
所以设$ ∠BCD=2x，$$∠ACD=3x$
因为$ AC//FG$
所以$ ∠G=∠ACB=∠BCD+∠ACD=5x$
因为$ ∠F=3∠G$
所以$ ∠F=15x$
因为$ ∠ACD+∠F=180°$
所以$ 3x+15x=180°，$解得$ x=10°$
所以$ ∠BCD=2x=20°$
8. 一种躺椅及其结构示意图如图所示。扶手 $AB$ 与底座 $CD$ 都平行于地面 $EF$，前支架 $OE$ 与后支架 $OF$ 分别与 $CD$ 交于点 $G$ 和点 $D$，$AB$ 与 $DM$ 交于点 $N$，$\angle AOE = \angle BNM$。
(1) 求证：$OE // DM$。
(2) 若 $OE$ 平分 $\angle AOF$，$\angle ODC = 30^{\circ}$，求扶手 $AB$ 与靠背 $DM$ 的夹角 $\angle ANM$ 的度数。
(1) 求证：$OE // DM$。
(2) 若 $OE$ 平分 $\angle AOF$，$\angle ODC = 30^{\circ}$，求扶手 $AB$ 与靠背 $DM$ 的夹角 $\angle ANM$ 的度数。
答案
(1)证明：因为∠BNM=∠AND，
∠AOE=∠BNM
所以∠AOE=∠AND
所以OE//DM
(2)解：因为扶手AB与底座CD都平行于地面EF
所以AB//CD
所以∠BOD=∠ODC=30°
因为∠AOF+∠BOD=180°
所以∠AOF=150°
因为OE平分∠AOF
所以$∠EOF=\frac 12∠AOF$
$=\frac 12×150°=75°$
所以∠BOE=∠BOD+∠EOF
=30°+75°=105°
因为OE//DM
所以∠ANM=∠BOE=105°
∠AOE=∠BNM
所以∠AOE=∠AND
所以OE//DM
(2)解：因为扶手AB与底座CD都平行于地面EF
所以AB//CD
所以∠BOD=∠ODC=30°
因为∠AOF+∠BOD=180°
所以∠AOF=150°
因为OE平分∠AOF
所以$∠EOF=\frac 12∠AOF$
$=\frac 12×150°=75°$
所以∠BOE=∠BOD+∠EOF
=30°+75°=105°
因为OE//DM
所以∠ANM=∠BOE=105°
