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【例4】如图24-1-4-4,在$\odot O$中,四边形$OABC$为菱形,点$D在\overset{\frown}{AmC}$上,则$\angle ADC$的度数是
解题关键 先根据已知条件求出$\angle ABC = 120^{\circ}$,再利用圆内接四边形对角互补求出$\angle ADC$的度数。
$60^{\circ }$
。解题关键 先根据已知条件求出$\angle ABC = 120^{\circ}$,再利用圆内接四边形对角互补求出$\angle ADC$的度数。
答案
$60^{\circ }$
解析
连接$OB$。
因为四边形$OABC$为菱形，所以$OA=AB=BC=OC$，且$OA=OB=OC$（半径相等），故$\triangle OAB$和$\triangle OBC$均为等边三角形。
因此$\angle OBA = 60°$，$\angle OBC = 60°$，则$\angle ABC=\angle OBA+\angle OBC=120°$。
由于四边形$ABCD$内接于$\odot O$，所以$\angle ADC + \angle ABC = 180°$。
故$\angle ADC=180° - \angle ABC=180° - 120°=60°$。
$60°$
因为四边形$OABC$为菱形，所以$OA=AB=BC=OC$，且$OA=OB=OC$（半径相等），故$\triangle OAB$和$\triangle OBC$均为等边三角形。
因此$\angle OBA = 60°$，$\angle OBC = 60°$，则$\angle ABC=\angle OBA+\angle OBC=120°$。
由于四边形$ABCD$内接于$\odot O$，所以$\angle ADC + \angle ABC = 180°$。
故$\angle ADC=180° - \angle ABC=180° - 120°=60°$。
$60°$
1. 如图24-1-4-5,点$A$,$B$,$C在\odot O$上,$\angle ACB = 54^{\circ}$,则$\angle ABO$的度数是(
A.$54^{\circ}$
B.$27^{\circ}$
C.$36^{\circ}$
D.$108^{\circ}$
C
)A.$54^{\circ}$
B.$27^{\circ}$
C.$36^{\circ}$
D.$108^{\circ}$
答案
C
解析
连接AO。
∵∠ACB=54°，
∴∠AOB=2∠ACB=108°。
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=(180°-∠AOB)/2=(180°-108°)/2=36°。
即∠ABO=36°。
C
∵∠ACB=54°，
∴∠AOB=2∠ACB=108°。
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=(180°-∠AOB)/2=(180°-108°)/2=36°。
即∠ABO=36°。
C
2. 如图24-1-4-6,$AB是\odot O$的直径,$\angle AOC = 110^{\circ}$,则$\angle D$等于(
A.$25^{\circ}$
B.$35^{\circ}$
C.$55^{\circ}$
D.$70^{\circ}$
B
)A.$25^{\circ}$
B.$35^{\circ}$
C.$55^{\circ}$
D.$70^{\circ}$
答案
B
解析
∵AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，
∴∠BOC=180° - ∠AOC=180° - 110°=70°，
∵∠D是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，∠BOC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
∴∠D=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×70°=35°。
B
3. 将量角器按如图24-1-4-7所示的方式放置在三角形纸板上,使点$C$在半圆上,点$A$,$B的读数分别为86^{\circ}$,$30^{\circ}$,则$\angle ACB$的大小为(
A.$15^{\circ}$
B.$28^{\circ}$
C.$29^{\circ}$
D.$34^{\circ}$
B
)A.$15^{\circ}$
B.$28^{\circ}$
C.$29^{\circ}$
D.$34^{\circ}$
答案
B
解析
设量角器的圆心为O，连接OA，OB。
点A读数为86°，点B读数为30°，则∠AOB=86°-30°=56°。
因为点C在半圆上，所以∠ACB是圆周角，∠AOB是圆心角，且它们所对的弧相同。
根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半，所以∠ACB=1/2∠AOB=1/2×56°=28°。
B
点A读数为86°，点B读数为30°，则∠AOB=86°-30°=56°。
因为点C在半圆上，所以∠ACB是圆周角，∠AOB是圆心角，且它们所对的弧相同。
根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半，所以∠ACB=1/2∠AOB=1/2×56°=28°。
B
4. 如图24-1-4-8,$AB是\odot O$的直径,$EF$,$EB是\odot O$的弦,且$EF = EB$,$EF与AB交于点C$,连接$OF$,若$\angle AOF = 40^{\circ}$,则$\angle F$的度数是(
A.$20^{\circ}$
B.$35^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$55^{\circ}$
B
)A.$20^{\circ}$
B.$35^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$55^{\circ}$
答案
B
解析
解：连接OE。
∵∠AOF=40°，
∴∠BOF=180°-∠AOF=140°。
∵OB=OE=OF，
∴∠OEB=∠OBE，∠OEF=∠OFE。
设∠OEB=∠OBE=x，∠OEF=∠OFE=y。
∵EF=EB，
∴∠EFB=∠EBF。
∵∠EFB=∠OFE=y，∠EBF=∠OBE=x，
∴y=x。
在△OEB中，∠BOE=180°-2x。
∵∠BOF=∠BOE+∠EOF=140°，
∠EOF=180°-2y=180°-2x，
∴(180°-2x)+(180°-2x)=140°，
解得x=55°。
∴∠F=y=x=55°。
答案：D
∵∠AOF=40°，
∴∠BOF=180°-∠AOF=140°。
∵OB=OE=OF，
∴∠OEB=∠OBE，∠OEF=∠OFE。
设∠OEB=∠OBE=x，∠OEF=∠OFE=y。
∵EF=EB，
∴∠EFB=∠EBF。
∵∠EFB=∠OFE=y，∠EBF=∠OBE=x，
∴y=x。
在△OEB中，∠BOE=180°-2x。
∵∠BOF=∠BOE+∠EOF=140°，
∠EOF=180°-2y=180°-2x，
∴(180°-2x)+(180°-2x)=140°，
解得x=55°。
∴∠F=y=x=55°。
答案：D
5. (2025陕西中考)如图24-1-4-9,$AB为\odot O$的直径,$\overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{BD}$,$\angle CDB = 24^{\circ}$,则$\angle ACD$的度数为
$66^{\circ }$
。答案
$66^{\circ }$
解析
连接BC。
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴∠BAC=∠CDB=24°。
∵AB为$\odot O$直径，
∴∠ACB=90°。
∵∠ABC=90°-∠BAC=90°-24°=66°，
又
∵∠ABC=∠ACD，
∴∠ACD=66°。
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴∠BAC=∠CDB=24°。
∵AB为$\odot O$直径，
∴∠ACB=90°。
∵∠ABC=90°-∠BAC=90°-24°=66°，
又
∵∠ABC=∠ACD，
∴∠ACD=66°。
6. 如图24-1-4-10,在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门$MN$进攻,当甲带球冲到$A$点时,乙已跟随冲到$B$点,请问：
(1)此时,甲是自己射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好？
(2)请探索：在什么情况下,甲、乙二人射门一样好？(说明：本题不考虑运动场上的其他因素)
(1)此时,甲是自己射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好？
(2)请探索：在什么情况下,甲、乙二人射门一样好？(说明：本题不考虑运动场上的其他因素)
答案
解:
(1)
∵∠MCN=∠B＞∠A,
∴传给乙好。
(2)A与B都在优弧MN上时,甲、乙二人射门一样好。
(1)
∵∠MCN=∠B＞∠A,
∴传给乙好。
(2)A与B都在优弧MN上时,甲、乙二人射门一样好。
