7. 如图24-1-4-11,$\triangle ABC内接于\odot O$,$AB = AC$,点$D在\overset{\frown}{AB}$上,连接$CD交AB于点E$,$B是\overset{\frown}{CD}$的中点,求证：$\angle B = \angle BEC$。

证明：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）。
∵B是$\overset{\frown}{CD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$（弧中点定义）。
∴∠BAC=∠BCE（等弧所对的圆周角相等）。
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
又∵∠ABC=∠ACB，
∴∠BAC=180°-2∠ABC。
∴∠BCE=180°-2∠ABC（等量代换）。
在△BEC中，∠BEC=180°-∠EBC-∠BCE，
∵∠EBC=∠ABC，
∴∠BEC=180°-∠ABC-(180°-2∠ABC)=∠ABC。
即∠B=∠BEC。

8. (2024陕西中考)如图24-1-4-12,$BC是\odot O$的弦,连接$OB$,$OC$,$\angle A是\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角,则$\angle A与\angle OBC$的和的度数是。

$90^{\circ }$

设$\angle OBC = x$，因为$OB = OC$，所以$\angle OCB = \angle OBC = x$，则$\angle BOC = 180^{\circ}-2x$。$\angle A$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，所以$\angle A=\frac{1}{2}\angle BOC = 90^{\circ}-x$，因此$\angle A+\angle OBC=90^{\circ}-x+x=90^{\circ}$。
$90^{\circ}$

9. 如图24-1-4-13,四边形$ABCD内接于\odot O$,$AB是\odot O$的直径,$OD // BC$,$\angle ABC = 40^{\circ}$,则$\angle BCD$的度数为。

$110^{\circ }$

10. 如图24-1-4-14,在$\triangle ABC$中,$AB = BC = 2$,以$AB为直径的\odot O分别交BC$,$AC于点D$,$E$,且点$D为边BC$的中点。
(1)求证：$\triangle ABC$为等边三角形；
(2)求$DE$的长。

(1)证明:如图,连接AD。
∵AB是$\odot O$的直径,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC。
∵BD=DC,
∴AB=AC。
∵AB=BC,
∴AB=AC=BC,
∴△ABC是等边三角形。

(2)解:如图,连接BE。
∵AB是$\odot O$的直径,
∴∠AEB=90°,
∴BE⊥AC。
∵BA=CB,
∴AE=EC。
∵BD=DC,
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×2=1。

11. 如图24-1-4-15,$\odot O的内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E$,$F$。
(1)若$\angle E = \angle F = 42^{\circ}$,求$\angle A$的度数；
(2)若$\angle E = \alpha$,$\angle F = \beta$,且$\alpha \neq \beta$。请你用含有$\alpha$,$\beta的代数式表示\angle A$的大小。

解:
(1)
∵∠DCE=∠BCF,∠E=∠F,∠ADC=∠E+∠DCE,∠ABC=∠F+∠BCF,
∴∠ADC=∠ABC。
∵四边形ABCD内接于$\odot O$,
∴∠ADC+∠ABC=180°,
∴∠ADC=90°。在Rt△ADF中,∠A=90°−∠F=90°−42°=48°。
(2)如图,连接EF。
∵四边形ABCD为$\odot O$的内接四边形,
∴∠A+∠BCD=180°。又
∵∠ECD+∠BCD=180°,
∴∠ECD=∠A。
∵∠ECD=∠1+∠2,
∴∠A=∠1+∠2。
∵∠A+∠1+∠2+∠DEC+∠BFC =180°,
∴2∠A+α+β=180°,
∴∠A=90°−$\frac{α+β}{2}$。