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综合与实践
确定匀质薄板的重心位置
项目主题 找重心·稳平衡 —— 匀质薄板的重心位置探究
项目背景 重心是一个物体受力的平衡点，物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要。
研究目标 1. 掌握三角形、平行四边形、长方形等简单匀质薄板的重心确定方法（中线法、悬挂法）；2. 学会用“坐标公式”计算平面直角坐标系中匀质薄板的重心；3. 能用“组合图形重心公式”求解复杂匀质薄板的重心，理解重心在生活中的应用价值。
任务一：确定简单平面图形的重心 我们已经知道三角形的重心是三条中线的交点。通过平衡法、悬挂法等方法，可以验证平行四边形、长方形等规则匀质薄板的重心，与它们的几何中心重合（即对角线的交点）。请用刻度尺作出图①、图②、图③的重心$ G_1,G_2,G_3 $。
任务二：平面直角坐标系中平行四边形重心的表示方法 用悬挂法可验证：平行四边形ABCD匀质薄板的重心是对角线的交点E，且其坐标满足公式：$ ( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} ) $，其中$ x_1,x_2 $表示点B,D的横坐标，$ y_1,y_2 $表示点B,D的纵坐标。根据以上公式，图④中阴影部分图形的重心坐标是
任务三：确定平面组合图形的重心 若一个平面组合图形匀质薄板的重心坐标为$ G(x,y) $，面积为$ S $，被分成$ n $部分匀质薄板的重心坐标分别为$ G_1(x_1,y_1),G_2(x_2,y_2),···,G_n(x_n,y_n) $，面积分别为$ S_1,S_2,···,S_n $，则重心坐标公式为$ x = \frac{S_1}{S}x_1 + \frac{S_2}{S}x_2 + ··· + \frac{S_n}{S}x_n $，$ y = \frac{S_1}{S}y_1 + \frac{S_2}{S}y_2 + ··· + \frac{S_n}{S}y_n $。请在图⑤中建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示该图形的重心位置。
实践反思 请对任务学习的整个过程进行反思，写出一条过程中用到的数学知识：
确定匀质薄板的重心位置
项目主题 找重心·稳平衡 —— 匀质薄板的重心位置探究
项目背景 重心是一个物体受力的平衡点，物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要。
研究目标 1. 掌握三角形、平行四边形、长方形等简单匀质薄板的重心确定方法（中线法、悬挂法）；2. 学会用“坐标公式”计算平面直角坐标系中匀质薄板的重心；3. 能用“组合图形重心公式”求解复杂匀质薄板的重心，理解重心在生活中的应用价值。
任务一：确定简单平面图形的重心 我们已经知道三角形的重心是三条中线的交点。通过平衡法、悬挂法等方法，可以验证平行四边形、长方形等规则匀质薄板的重心，与它们的几何中心重合（即对角线的交点）。请用刻度尺作出图①、图②、图③的重心$ G_1,G_2,G_3 $。
任务二：平面直角坐标系中平行四边形重心的表示方法 用悬挂法可验证：平行四边形ABCD匀质薄板的重心是对角线的交点E，且其坐标满足公式：$ ( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} ) $，其中$ x_1,x_2 $表示点B,D的横坐标，$ y_1,y_2 $表示点B,D的纵坐标。根据以上公式，图④中阴影部分图形的重心坐标是
(1,1)
。任务三：确定平面组合图形的重心 若一个平面组合图形匀质薄板的重心坐标为$ G(x,y) $，面积为$ S $，被分成$ n $部分匀质薄板的重心坐标分别为$ G_1(x_1,y_1),G_2(x_2,y_2),···,G_n(x_n,y_n) $，面积分别为$ S_1,S_2,···,S_n $，则重心坐标公式为$ x = \frac{S_1}{S}x_1 + \frac{S_2}{S}x_2 + ··· + \frac{S_n}{S}x_n $，$ y = \frac{S_1}{S}y_1 + \frac{S_2}{S}y_2 + ··· + \frac{S_n}{S}y_n $。请在图⑤中建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示该图形的重心位置。
实践反思 请对任务学习的整个过程进行反思，写出一条过程中用到的数学知识：
平面直角坐标系
.答案
任务一:略.
任务二:(1,1)
任务三:略.
实践反思:平面直角坐标系
任务二:(1,1)
任务三:略.
实践反思:平面直角坐标系
解析
【分析】
1. 任务一：规则匀质薄板的重心与几何中心重合，三角形重心是三条中线的交点，平行四边形、长方形的重心是对角线的交点，按照对应规则作图即可。
2. 任务二：平行四边形的重心是对角线交点，根据题中给出的坐标公式，重心坐标为一组对角顶点横、纵坐标的平均值，代入对应顶点坐标计算即可得到结果。
3. 任务三：解决组合图形重心问题，首先建立合适的平面直角坐标系，将组合图形拆分为多个已知重心计算方法的简单规则图形，分别计算各部分的面积和重心坐标，再代入题中给出的组合图形重心坐标公式计算即可。
4. 实践反思：梳理整个探究过程用到的数学知识，选取任意一条符合要求的填写即可。
【解析】
任务一：对于三角形的图①，用刻度尺作出任意两条中线，两条中线的交点即为重心$G_1$；对于平行四边形的图②、长方形的图③，用刻度尺作出两条对角线，对角线的交点分别为重心$G_2$、$G_3$，按要求标注即可。
任务二：根据题中给出的平行四边形重心坐标公式$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，其中$x_1,x_2$、$y_1,y_2$为一组对角顶点的横、纵坐标，代入图④中对应顶点的坐标计算：横坐标为$\frac{x_1+x_2}{2}=1$，纵坐标为$\frac{y_1+y_2}{2}=1$，因此重心坐标为$(1,1)$。
任务三：首先建立平面直角坐标系（如以图形左下角顶点为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向），将组合图形拆分为2~3个长方形或正方形等规则图形，分别计算每个规则图形的面积$S_1,S_2,\dots$和对应重心坐标$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots$，再代入组合图形重心坐标公式$x = \frac{S_1}{S}x_1 + \frac{S_2}{S}x_2 + \dots$，$y = \frac{S_1}{S}y_1 + \frac{S_2}{S}y_2 + \dots$（$S$为总图形面积），计算得到总重心坐标即可。
实践反思：探究过程中用到了平面直角坐标系、中点坐标公式、加权平均数、规则图形几何中心性质等知识，任选其一填写即可。
【答案】
任务一：略；
任务二：$\boldsymbol{(1,1)}$；
任务三：略；
实践反思：平面直角坐标系（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
1. 规则图形重心确定
2. 中点坐标公式
3. 平面直角坐标系应用
【点评】
本题以生活中常见的重心问题为载体，由浅入深设置探究任务，既考查了基本几何作图能力，又考查了坐标公式的理解与应用，能让学生充分感受到数学知识在实际生活中的应用价值，提升知识迁移和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
1. 任务一：规则匀质薄板的重心与几何中心重合，三角形重心是三条中线的交点，平行四边形、长方形的重心是对角线的交点，按照对应规则作图即可。
2. 任务二：平行四边形的重心是对角线交点，根据题中给出的坐标公式，重心坐标为一组对角顶点横、纵坐标的平均值，代入对应顶点坐标计算即可得到结果。
3. 任务三：解决组合图形重心问题，首先建立合适的平面直角坐标系，将组合图形拆分为多个已知重心计算方法的简单规则图形，分别计算各部分的面积和重心坐标，再代入题中给出的组合图形重心坐标公式计算即可。
4. 实践反思：梳理整个探究过程用到的数学知识，选取任意一条符合要求的填写即可。
【解析】
任务一：对于三角形的图①，用刻度尺作出任意两条中线，两条中线的交点即为重心$G_1$；对于平行四边形的图②、长方形的图③，用刻度尺作出两条对角线，对角线的交点分别为重心$G_2$、$G_3$，按要求标注即可。
任务二：根据题中给出的平行四边形重心坐标公式$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，其中$x_1,x_2$、$y_1,y_2$为一组对角顶点的横、纵坐标，代入图④中对应顶点的坐标计算：横坐标为$\frac{x_1+x_2}{2}=1$，纵坐标为$\frac{y_1+y_2}{2}=1$，因此重心坐标为$(1,1)$。
任务三：首先建立平面直角坐标系（如以图形左下角顶点为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向），将组合图形拆分为2~3个长方形或正方形等规则图形，分别计算每个规则图形的面积$S_1,S_2,\dots$和对应重心坐标$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots$，再代入组合图形重心坐标公式$x = \frac{S_1}{S}x_1 + \frac{S_2}{S}x_2 + \dots$，$y = \frac{S_1}{S}y_1 + \frac{S_2}{S}y_2 + \dots$（$S$为总图形面积），计算得到总重心坐标即可。
实践反思：探究过程中用到了平面直角坐标系、中点坐标公式、加权平均数、规则图形几何中心性质等知识，任选其一填写即可。
【答案】
任务一：略；
任务二：$\boldsymbol{(1,1)}$；
任务三：略；
实践反思：平面直角坐标系（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
1. 规则图形重心确定
2. 中点坐标公式
3. 平面直角坐标系应用
【点评】
本题以生活中常见的重心问题为载体，由浅入深设置探究任务，既考查了基本几何作图能力，又考查了坐标公式的理解与应用，能让学生充分感受到数学知识在实际生活中的应用价值，提升知识迁移和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
