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8.在$△ ABC$中，$AB=AC$，且$AC$上的中线$BD$把这个三角形的周长分成了12和6两部分，则这个三角形的腰长和底边长分别为
8,2
。答案
8.8,2
解析
【分析】
解题时先结合等腰三角形AB=AC的性质，设腰长为2x，底边长为y，利用BD是AC中线的性质可得AD=DC=x。由于题目未明确周长分成的12和6两部分分别对应哪部分边长和，因此需要分两种情况讨论：①AB+AD=12，BC+CD=6；②AB+AD=6，BC+CD=12。分别求解两种情况的边长后，必须用三角形三边关系检验是否能构成三角形，舍去不符合的情况即可得到结果。
【解析】
设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，底边长BC=y，
∵BD是AC边上的中线，
∴AD=DC=x。
分两种情况讨论：
情况一：若AB+AD=12，BC+CD=6，可得：
$\begin{cases}2x + x = 12 \\x + y = 6\end{cases}$
解第一个方程得：3x=12，x=4，
将x=4代入第二个方程得：y=6-4=2，
此时三角形三边长为8，8，2，满足8+2＞8，符合三角形三边关系，腰长为8，底边长为2。
情况二：若AB+AD=6，BC+CD=12，可得：
$\begin{cases}2x + x = 6 \\x + y = 12\end{cases}$
解第一个方程得：3x=6，x=2，
将x=2代入第二个方程得：y=12-2=10，
此时三角形三边长为4，4，10，由于4+4=8＜10，不满足三角形三边关系，该情况舍去。
综上，三角形的腰长为8，底边长为2。
【答案】
8,2
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；中线的定义
【点评】
本题考查等腰三角形相关计算，解题的关键是明确周长被分成两部分的组成，合理分类讨论，同时注意求解后要结合三角形三边关系检验结果是否成立，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
解题时先结合等腰三角形AB=AC的性质，设腰长为2x，底边长为y，利用BD是AC中线的性质可得AD=DC=x。由于题目未明确周长分成的12和6两部分分别对应哪部分边长和，因此需要分两种情况讨论：①AB+AD=12，BC+CD=6；②AB+AD=6，BC+CD=12。分别求解两种情况的边长后，必须用三角形三边关系检验是否能构成三角形，舍去不符合的情况即可得到结果。
【解析】
设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，底边长BC=y，
∵BD是AC边上的中线，
∴AD=DC=x。
分两种情况讨论：
情况一：若AB+AD=12，BC+CD=6，可得：
$\begin{cases}2x + x = 12 \\x + y = 6\end{cases}$
解第一个方程得：3x=12，x=4，
将x=4代入第二个方程得：y=6-4=2，
此时三角形三边长为8，8，2，满足8+2＞8，符合三角形三边关系，腰长为8，底边长为2。
情况二：若AB+AD=6，BC+CD=12，可得：
$\begin{cases}2x + x = 6 \\x + y = 12\end{cases}$
解第一个方程得：3x=6，x=2，
将x=2代入第二个方程得：y=12-2=10，
此时三角形三边长为4，4，10，由于4+4=8＜10，不满足三角形三边关系，该情况舍去。
综上，三角形的腰长为8，底边长为2。
【答案】
8,2
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；中线的定义
【点评】
本题考查等腰三角形相关计算，解题的关键是明确周长被分成两部分的组成，合理分类讨论，同时注意求解后要结合三角形三边关系检验结果是否成立，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
9.一个三角形三个内角的度数之比是1:2:3,这个三角形是（
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定
B
）A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定
答案
9.B
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和为180°的核心定理，题目给出三个内角的度数比，我们可以通过设每份角度为未知数的方式，将比例关系转化为具体的角度数值，再通过计算最大内角的度数，判断三角形的类型：最大角小于90°是锐角三角形，等于90°是直角三角形，大于90°是钝角三角形。
【解析】
已知三角形内角和为180°，设三个内角的度数分别为$x$、$2x$、$3x$，根据内角和定理列方程：
$x + 2x + 3x = 180°$
合并同类项得：$6x = 180°$
解得：$x = 30°$
则最大内角的度数为$3x = 3×30° = 90°$，有一个角是直角的三角形是直角三角形。
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用三角形内角和定理将角度比例转化为具体角度值，再根据三角形按角分类的标准判断类型，掌握基础概念和方程思想即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和为180°的核心定理，题目给出三个内角的度数比，我们可以通过设每份角度为未知数的方式，将比例关系转化为具体的角度数值，再通过计算最大内角的度数，判断三角形的类型：最大角小于90°是锐角三角形，等于90°是直角三角形，大于90°是钝角三角形。
【解析】
已知三角形内角和为180°，设三个内角的度数分别为$x$、$2x$、$3x$，根据内角和定理列方程：
$x + 2x + 3x = 180°$
合并同类项得：$6x = 180°$
解得：$x = 30°$
则最大内角的度数为$3x = 3×30° = 90°$，有一个角是直角的三角形是直角三角形。
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用三角形内角和定理将角度比例转化为具体角度值，再根据三角形按角分类的标准判断类型，掌握基础概念和方程思想即可快速解答。
【难度系数】
0.9
10. [2025·合肥期末] 将一副三角尺($∠ EDF = ∠ C = 90°, ∠ A = 30°$)按如图所示的方式摆放,使得$AB // EF$,则$∠ 1$的度数为 (
A.$75°$
B.$90°$
C.$105°$
D.$115°$
C
)A.$75°$
B.$90°$
C.$105°$
D.$115°$
答案
10.C
解析
【分析】
解题时首先明确两个三角尺的固定内角度数，再利用平行线的性质得到相等的内错角，最后结合三角形外角的性质即可求出∠1的度数。第一步：回忆三角尺角度，含30°的直角三角尺另两个锐角为60°、90°，等腰直角三角尺两个锐角均为45°；第二步：根据AB//EF，找到截线得到相等的角，可选DE或BC为截线得到对应内错角相等；第三步：∠1为三角形的外角，利用外角等于不相邻两内角和计算角度即可。
【解析】
由三角尺的角度特征可知：
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°-30°=60°，
等腰直角三角尺中∠E=45°，
又
∵AB//EF，根据两直线平行，内错角相等，可得∠BCE=∠B=60°，
∠1是△CEG（G为BC与DE的交点）的外角，根据三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠1=∠E + ∠BCE=45°+60°=105°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质；三角尺的角度特征
【点评】
本题是基础的几何综合计算题，解题关键是熟记三角尺的固定角度，准确识别平行线形成的相等角，结合外角性质即可快速求解，难度不大。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确两个三角尺的固定内角度数，再利用平行线的性质得到相等的内错角，最后结合三角形外角的性质即可求出∠1的度数。第一步：回忆三角尺角度，含30°的直角三角尺另两个锐角为60°、90°，等腰直角三角尺两个锐角均为45°；第二步：根据AB//EF，找到截线得到相等的角，可选DE或BC为截线得到对应内错角相等；第三步：∠1为三角形的外角，利用外角等于不相邻两内角和计算角度即可。
【解析】
由三角尺的角度特征可知：
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°-30°=60°，
等腰直角三角尺中∠E=45°，
又
∵AB//EF，根据两直线平行，内错角相等，可得∠BCE=∠B=60°，
∠1是△CEG（G为BC与DE的交点）的外角，根据三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠1=∠E + ∠BCE=45°+60°=105°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质；三角尺的角度特征
【点评】
本题是基础的几何综合计算题，解题关键是熟记三角尺的固定角度，准确识别平行线形成的相等角，结合外角性质即可快速求解，难度不大。
【难度系数】
0.7
11. [2026 淮南期末]如图,已知∠A+∠B+∠C=125°,则∠D+∠E=
55
°.答案
11.55
解析
【分析】
解题时我们可以利用三角形外角的性质，将分散的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E转化到同一个三角形中：首先，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，我们可以把∠A+∠C、∠D+∠E分别转化为同一个三角形的两个外角，再结合三角形内角和为180°，可推导出五角星五个内角的总和为180°，已知其中三个角的和，用总和减去三个角的和就能得到∠D+∠E的度数。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
设AB与CE交于点F，BD与CE交于点G：
1. ∠BFG是△ACF的外角，因此$∠ BFG = ∠ A + ∠ C$；
2. ∠BGF是△DEG的外角，因此$∠ BGF = ∠ D + ∠ E$；
在△BFG中，根据三角形内角和定理可得：$∠ B + ∠ BFG + ∠ BGF = 180°$；
将上述外角关系代入得：$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E = 180°$；
已知$∠ A + ∠ B + ∠ C = 125°$，因此$∠ D + ∠ E = 180° - 125° = 55°$。
【答案】
55
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是角度计算的常考题型，核心是利用三角形外角的性质将分散的多个角集中到同一个三角形中，再结合内角和定理求解，掌握外角的转化技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以利用三角形外角的性质，将分散的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E转化到同一个三角形中：首先，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，我们可以把∠A+∠C、∠D+∠E分别转化为同一个三角形的两个外角，再结合三角形内角和为180°，可推导出五角星五个内角的总和为180°，已知其中三个角的和，用总和减去三个角的和就能得到∠D+∠E的度数。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
设AB与CE交于点F，BD与CE交于点G：
1. ∠BFG是△ACF的外角，因此$∠ BFG = ∠ A + ∠ C$；
2. ∠BGF是△DEG的外角，因此$∠ BGF = ∠ D + ∠ E$；
在△BFG中，根据三角形内角和定理可得：$∠ B + ∠ BFG + ∠ BGF = 180°$；
将上述外角关系代入得：$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E = 180°$；
已知$∠ A + ∠ B + ∠ C = 125°$，因此$∠ D + ∠ E = 180° - 125° = 55°$。
【答案】
55
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是角度计算的常考题型，核心是利用三角形外角的性质将分散的多个角集中到同一个三角形中，再结合内角和定理求解，掌握外角的转化技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.7
12. [2026 阜阳期中] 如图，在$△ ABD$中，$∠ ABD=∠ BAD=2∠ D$，AC 是$∠ BAD$的平分线，交边 AD 上的高 BE 于点 F.
(1)求$∠ ABE$的度数；
(2)求$∠ BFC$的度数.
(1)求$∠ ABE$的度数；
(2)求$∠ BFC$的度数.
答案
12.解：(1)$∠ABE=18°$. (2)$∠BFC=54°$.
解析
【分析】
(1) 求∠ABE的度数：首先利用三角形内角和定理，设∠D为x，结合已知∠ABD=∠BAD=2x的关系列方程，先求出△ABD各内角的度数，得到∠BAD的度数；再根据BE是AD边上的高可得∠AEB=90°，利用直角三角形两锐角互余的性质即可计算∠ABE。
(2) 求∠BFC的度数：先根据角平分线的定义求出∠BAC的度数，再利用三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，∠BFC是△ABF的外角，代入对应角度计算即可。
【解析】
解：(1) 在$△ ABD$中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ ABD+∠ BAD+∠ D=180°$
设$∠ D=x$，$\because ∠ ABD=∠ BAD=2∠ D$，$\therefore ∠ ABD=∠ BAD=2x$
代入得：$2x+2x+x=180°$
解得$x=36°$，即$∠ BAD=2×36°=72°$
$\because BE$是$AD$边上的高，$\therefore BE⊥ AD$，$∠ AEB=90°$
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ ABE+∠ BAD=90°$
$\therefore ∠ ABE=90°-∠ BAD=90°-72°=18°$
(2) $\because AC$是$∠ BAD$的平分线，$∠ BAD=72°$
$\therefore ∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BAD=36°$
$\because ∠ BFC$是$△ ABF$的外角，根据三角形外角性质：
$∠ BFC=∠ BAF+∠ ABF$
其中$∠ BAF=∠ BAC=36°$，$∠ ABF=∠ ABE=18°$
$\therefore ∠ BFC=36°+18°=54°$
【答案】
(1) $\boxed{18°}$；(2) $\boxed{54°}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础综合题，解题的核心是先通过角度和的关系求出已知三角形的基础内角度数，再结合高、角平分线的性质和外角定理推导所求角度，解题思路清晰，是角度计算类的典型习题。
【难度系数】
0.75
(1) 求∠ABE的度数：首先利用三角形内角和定理，设∠D为x，结合已知∠ABD=∠BAD=2x的关系列方程，先求出△ABD各内角的度数，得到∠BAD的度数；再根据BE是AD边上的高可得∠AEB=90°，利用直角三角形两锐角互余的性质即可计算∠ABE。
(2) 求∠BFC的度数：先根据角平分线的定义求出∠BAC的度数，再利用三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，∠BFC是△ABF的外角，代入对应角度计算即可。
【解析】
解：(1) 在$△ ABD$中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ ABD+∠ BAD+∠ D=180°$
设$∠ D=x$，$\because ∠ ABD=∠ BAD=2∠ D$，$\therefore ∠ ABD=∠ BAD=2x$
代入得：$2x+2x+x=180°$
解得$x=36°$，即$∠ BAD=2×36°=72°$
$\because BE$是$AD$边上的高，$\therefore BE⊥ AD$，$∠ AEB=90°$
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ ABE+∠ BAD=90°$
$\therefore ∠ ABE=90°-∠ BAD=90°-72°=18°$
(2) $\because AC$是$∠ BAD$的平分线，$∠ BAD=72°$
$\therefore ∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BAD=36°$
$\because ∠ BFC$是$△ ABF$的外角，根据三角形外角性质：
$∠ BFC=∠ BAF+∠ ABF$
其中$∠ BAF=∠ BAC=36°$，$∠ ABF=∠ ABE=18°$
$\therefore ∠ BFC=36°+18°=54°$
【答案】
(1) $\boxed{18°}$；(2) $\boxed{54°}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础综合题，解题的核心是先通过角度和的关系求出已知三角形的基础内角度数，再结合高、角平分线的性质和外角定理推导所求角度，解题思路清晰，是角度计算类的典型习题。
【难度系数】
0.75
13. 整体思想 如图,在$△ ABC$中,$∠ EFD=30°$,且$∠ AEF=∠ AFE$,$∠ CFD=∠ CDF$,则$∠ ABC$的度数为 (
A.$90°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$150°$
C
)A.$90°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$150°$
答案
13.C
解析
【分析】
解题时可先设未知数表示相等的角，先利用平角的性质求出两个未知数的和，再分别在两个小三角形中用内角和定理表示出∠A和∠C，最后代入△ABC的内角和公式，结合整体代入的思想即可求出∠ABC的度数。
第一步：设∠AEF=∠AFE=x，∠CFD=∠CDF=y；
第二步：根据点F处的平角关系，可得$x + ∠ EFD + y = 180°$，代入$∠ EFD=30°$即可求出x+y的值；
第三步：在△AEF和△CFD中，分别用内角和定理表示∠A和∠C；
第四步：在△ABC中利用内角和为$180°$，代入∠A、∠C的表达式，结合x+y的值计算∠ABC即可。
【解析】
设$∠ AEF=∠ AFE=x$，$∠ CFD=∠ CDF=y$。
1. 由平角的定义，点$F$处$∠ AFE + ∠ EFD + ∠ CFD = 180°$，已知$∠ EFD=30°$，代入得：
$x + 30° + y = 180°$，整理得$x + y = 150°$。
2. 在$△ AEF$中，由三角形内角和为$180°$，得$∠ A = 180° - ∠ AEF - ∠ AFE = 180° - 2x$；
同理，在$△ CFD$中，$∠ C = 180° - ∠ CFD - ∠ CDF = 180° - 2y$。
3. 在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ ABC + ∠ C = 180°$，将$∠ A$和$∠ C$代入得：
$(180° - 2x) + ∠ ABC + (180° - 2y) = 180°$
整理得：$∠ ABC = 2(x + y) - 180°$
将$x+y=150°$代入，得$∠ ABC = 2×150° - 180° = 120°$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，平角的性质，整体代入思想
【点评】
本题解题的关键是合理设参数表示相等的角，结合平角和三角形内角和的性质，运用整体代入的方法计算未知角，避免单独求解每个参数带来的麻烦。
【难度系数】
0.7
解题时可先设未知数表示相等的角，先利用平角的性质求出两个未知数的和，再分别在两个小三角形中用内角和定理表示出∠A和∠C，最后代入△ABC的内角和公式，结合整体代入的思想即可求出∠ABC的度数。
第一步：设∠AEF=∠AFE=x，∠CFD=∠CDF=y；
第二步：根据点F处的平角关系，可得$x + ∠ EFD + y = 180°$，代入$∠ EFD=30°$即可求出x+y的值；
第三步：在△AEF和△CFD中，分别用内角和定理表示∠A和∠C；
第四步：在△ABC中利用内角和为$180°$，代入∠A、∠C的表达式，结合x+y的值计算∠ABC即可。
【解析】
设$∠ AEF=∠ AFE=x$，$∠ CFD=∠ CDF=y$。
1. 由平角的定义，点$F$处$∠ AFE + ∠ EFD + ∠ CFD = 180°$，已知$∠ EFD=30°$，代入得：
$x + 30° + y = 180°$，整理得$x + y = 150°$。
2. 在$△ AEF$中，由三角形内角和为$180°$，得$∠ A = 180° - ∠ AEF - ∠ AFE = 180° - 2x$；
同理，在$△ CFD$中，$∠ C = 180° - ∠ CFD - ∠ CDF = 180° - 2y$。
3. 在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ ABC + ∠ C = 180°$，将$∠ A$和$∠ C$代入得：
$(180° - 2x) + ∠ ABC + (180° - 2y) = 180°$
整理得：$∠ ABC = 2(x + y) - 180°$
将$x+y=150°$代入，得$∠ ABC = 2×150° - 180° = 120°$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，平角的性质，整体代入思想
【点评】
本题解题的关键是合理设参数表示相等的角，结合平角和三角形内角和的性质，运用整体代入的方法计算未知角，避免单独求解每个参数带来的麻烦。
【难度系数】
0.7
14. 分类讨论思想 在$△ ABC$中，AE是角平分线，AD是边BC上的高，$∠ EAD = 30°$，$∠ DAC=10°$，则$∠ BAC$的度数为
40°或80°
。答案
14.40°或80°
解析
【分析】
本题未明确△ABC的形状，BC边上的高AD可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此需要分类讨论两种情况求解。首先结合已知角度求出∠EAC的度数，再利用角平分线将角分成两个相等的角的性质，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当高AD在△ABC内部时：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
已知∠EAD=30°，∠DAC=10°，
∴∠EAC = ∠EAD + ∠DAC = 30° + 10° = 40°，
又
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC = 2∠EAC = 2×40° = 80°。
② 当高AD在△ABC外部（即点D在BC的延长线上）时：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
已知∠EAD=30°，∠DAC=10°，
∴∠EAC = ∠EAD - ∠DAC = 30° - 10° = 20°，
又
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC = 2∠EAC = 2×20° = 40°。
综上，∠BAC的度数为40°或80°。
【答案】
40°或80°
【知识点】
三角形高的性质，角平分线的定义，分类讨论思想
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，解题关键是考虑到三角形的高存在在内部和外部两种情况，避免因漏算情况导致丢解。
【难度系数】
0.6
本题未明确△ABC的形状，BC边上的高AD可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此需要分类讨论两种情况求解。首先结合已知角度求出∠EAC的度数，再利用角平分线将角分成两个相等的角的性质，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当高AD在△ABC内部时：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
已知∠EAD=30°，∠DAC=10°，
∴∠EAC = ∠EAD + ∠DAC = 30° + 10° = 40°，
又
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC = 2∠EAC = 2×40° = 80°。
② 当高AD在△ABC外部（即点D在BC的延长线上）时：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
已知∠EAD=30°，∠DAC=10°，
∴∠EAC = ∠EAD - ∠DAC = 30° - 10° = 20°，
又
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC = 2∠EAC = 2×20° = 40°。
综上，∠BAC的度数为40°或80°。
【答案】
40°或80°
【知识点】
三角形高的性质，角平分线的定义，分类讨论思想
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，解题关键是考虑到三角形的高存在在内部和外部两种情况，避免因漏算情况导致丢解。
【难度系数】
0.6
15. 分类讨论思想 如图,已知$∠ AOD=30°$,C是射线OD上的一个动点,在点C的运动过程中,当$△ AOC$恰好是直角三角形时,$∠ ACO$的度数为
90°或60°
.答案
15.90°或60°
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确直角三角形的定义：有一个内角为90°的三角形是直角三角形。已知△AOC中∠AOC=∠AOD=30°，这个角不可能是直角，因此需要分两种情况讨论直角的位置：①直角为∠ACO；②直角为∠OAC，再结合三角形内角和为180°分别计算∠ACO的度数即可。
【解析】
解：
∵△AOC是直角三角形，
∴存在一个内角为90°，已知∠AOC=∠AOD=30°，分两种情况讨论：
1. 当∠ACO=90°时，符合直角三角形的要求，此时∠ACO=90°；
2. 当∠OAC=90°时，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ACO=180°-∠ AOC-∠ OAC=180°-30°-90°=60°$。
综上，∠ACO的度数为90°或60°。
【答案】
90°或60°
【知识点】
三角形内角和定理；分类讨论思想；直角三角形的定义
【点评】
本题的易错点是遗漏其中一种直角的情况，解题时要注意：当没有明确直角三角形的直角顶点时，需要分情况讨论所有可能的直角位置，排除不符合条件的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确直角三角形的定义：有一个内角为90°的三角形是直角三角形。已知△AOC中∠AOC=∠AOD=30°，这个角不可能是直角，因此需要分两种情况讨论直角的位置：①直角为∠ACO；②直角为∠OAC，再结合三角形内角和为180°分别计算∠ACO的度数即可。
【解析】
解：
∵△AOC是直角三角形，
∴存在一个内角为90°，已知∠AOC=∠AOD=30°，分两种情况讨论：
1. 当∠ACO=90°时，符合直角三角形的要求，此时∠ACO=90°；
2. 当∠OAC=90°时，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ACO=180°-∠ AOC-∠ OAC=180°-30°-90°=60°$。
综上，∠ACO的度数为90°或60°。
【答案】
90°或60°
【知识点】
三角形内角和定理；分类讨论思想；直角三角形的定义
【点评】
本题的易错点是遗漏其中一种直角的情况，解题时要注意：当没有明确直角三角形的直角顶点时，需要分情况讨论所有可能的直角位置，排除不符合条件的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
16. 跨学科·物理 [2025淮南三模]如图，一束光照射到平面镜AB上的点O处后反射到平面镜BC上的点E处，已知入射光线、反射光线与AB的夹角相等，照射点E处的法线EN//DO(法线与反射面垂直，即EN⊥BC)，若∠AOD=20°，则两平面镜的夹角∠ABC的度数为 (
A.$100°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$130°$
B
)A.$100°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$130°$
答案
16.B
解析
【分析】
解题可分四步进行：第一步，根据题目给出的光反射规律，可得∠BOE=∠AOD，直接得出∠BOE的度数；第二步，结合平角的定义算出∠DOE的度数，再利用EN//DO的性质，通过平行线同旁内角互补求出∠OEN的度数；第三步，根据法线与反射面垂直的性质，可得EN⊥BC，进而算出∠OEB的度数；最后在△OBE中，利用三角形内角和定理即可求出∠ABC的度数。
【解析】
解：由光的反射规律可知，入射光线、反射光线与AB的夹角相等，
∴ $∠ BOE = ∠ AOD = 20°$
∵ A、O、B共线，$∠ AOB$为平角
∴ $∠ DOE = 180° - ∠ AOD - ∠ BOE = 180° - 20° - 20° = 140°$
∵ $EN// DO$
∴ $∠ DOE + ∠ OEN = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
∴ $∠ OEN = 180° - 140° = 40°$
∵ EN是BC的法线，法线与反射面垂直
∴ $EN⊥ BC$，即$∠ ENB = 90°$
∴ $∠ OEB = 90° - ∠ OEN = 90° - 40° = 50°$
在$△ OBE$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ABC = ∠ OBE = 180° - ∠ BOE - ∠ OEB = 180° - 20° - 50° = 110°$
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理；平角的定义
【点评】
本题是跨学科综合题，将物理光的反射规律和几何知识结合考查，解题核心是把物理规律转化为数学中的角度相等、垂直关系，再运用基础几何定理求解，能很好地考查知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
解题可分四步进行：第一步，根据题目给出的光反射规律，可得∠BOE=∠AOD，直接得出∠BOE的度数；第二步，结合平角的定义算出∠DOE的度数，再利用EN//DO的性质，通过平行线同旁内角互补求出∠OEN的度数；第三步，根据法线与反射面垂直的性质，可得EN⊥BC，进而算出∠OEB的度数；最后在△OBE中，利用三角形内角和定理即可求出∠ABC的度数。
【解析】
解：由光的反射规律可知，入射光线、反射光线与AB的夹角相等，
∴ $∠ BOE = ∠ AOD = 20°$
∵ A、O、B共线，$∠ AOB$为平角
∴ $∠ DOE = 180° - ∠ AOD - ∠ BOE = 180° - 20° - 20° = 140°$
∵ $EN// DO$
∴ $∠ DOE + ∠ OEN = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
∴ $∠ OEN = 180° - 140° = 40°$
∵ EN是BC的法线，法线与反射面垂直
∴ $EN⊥ BC$，即$∠ ENB = 90°$
∴ $∠ OEB = 90° - ∠ OEN = 90° - 40° = 50°$
在$△ OBE$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ABC = ∠ OBE = 180° - ∠ BOE - ∠ OEB = 180° - 20° - 50° = 110°$
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理；平角的定义
【点评】
本题是跨学科综合题，将物理光的反射规律和几何知识结合考查，解题核心是把物理规律转化为数学中的角度相等、垂直关系，再运用基础几何定理求解，能很好地考查知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
