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10.爱动脑筋的小莹同学设计了一种“幻圆”游戏，将1，-2，3，-4，5，-6，7，-8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，现已经将1，-2，-6，7这四个数填入了圆圈，求$|m - n|$的值。
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
答案
10.解:因为横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等,
所以$\dfrac{(1-2+3-4+5-6+7-8)×2}{4}=-2$,
所以$b=-2-(1-6-2)=5$,
$a=-2-(1+7-2)=-8$。
所以m和n的值为3,-4或-4,3。
当m=3,n=-4时,$|m-n|=|3-(-4)|=|3+4|=7$;
当m=-4,n=3时,$|m-n|=|-4-3|=|-7|=7$。
综上所述,$|m-n|$的值为7。
所以$\dfrac{(1-2+3-4+5-6+7-8)×2}{4}=-2$,
所以$b=-2-(1-6-2)=5$,
$a=-2-(1+7-2)=-8$。
所以m和n的值为3,-4或-4,3。
当m=3,n=-4时,$|m-n|=|3-(-4)|=|3+4|=7$;
当m=-4,n=3时,$|m-n|=|-4-3|=|-7|=7$。
综上所述,$|m-n|$的值为7。
解析
【分析】
首先计算给出的8个数字的总和，观察可知横、竖、内圈、外圈四组的4个数字之和相等，且这四组数字相加刚好是所有数字被重复计算2次，据此先算出每组的公共和。再利用外圈4个数的和等于公共和求出b的值，利用横向4个数的和等于公共和求出a的值，此时剩余未填入的两个数就是m和n，最后代入计算|m-n|即可，两种m、n的取值计算结果一致。
【解析】
解：先计算8个待填数字的总和：
$1-2+3-4+5-6+7-8=-4$
因为横、竖以及内外两圈的4个数字之和都相等，且四组和相加等于所有数字总和的2倍，因此每组的和为：
$\dfrac{(-4)×2}{4}=-2$
1. 求b的值：外圈四个数为1、-6、-2、b，和为-2，可得：
$1+(-6)+(-2)+b=-2$
解得$b=-2-(1-6-2)=5$
2. 求a的值：横向四个数为1、a、7、-2，和为-2，可得：
$1+a+7+(-2)=-2$
解得$a=-2-(1+7-2)=-8$
此时已填入的数为1、-2、-6、7、5、-8，剩余未填的数为3和-4，即m、n分别为3和-4（顺序可互换）：
当$m=3,n=-4$时，$|m-n|=|3-(-4)|=7$；
当$m=-4,n=3$时，$|m-n|=|-4-3|=7$。
综上可得$|m-n|$的值为7。
【答案】
7
【知识点】
有理数加减法运算，绝对值的计算，数字规律探究
【点评】
本题以趣味幻圆游戏为背景，考查有理数运算和绝对值的性质，解题核心是先推导得到每组数字的公共和，再逐步推出未知数字，需要具备一定的逻辑推理能力，能较好地考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
首先计算给出的8个数字的总和，观察可知横、竖、内圈、外圈四组的4个数字之和相等，且这四组数字相加刚好是所有数字被重复计算2次，据此先算出每组的公共和。再利用外圈4个数的和等于公共和求出b的值，利用横向4个数的和等于公共和求出a的值，此时剩余未填入的两个数就是m和n，最后代入计算|m-n|即可，两种m、n的取值计算结果一致。
【解析】
解：先计算8个待填数字的总和：
$1-2+3-4+5-6+7-8=-4$
因为横、竖以及内外两圈的4个数字之和都相等，且四组和相加等于所有数字总和的2倍，因此每组的和为：
$\dfrac{(-4)×2}{4}=-2$
1. 求b的值：外圈四个数为1、-6、-2、b，和为-2，可得：
$1+(-6)+(-2)+b=-2$
解得$b=-2-(1-6-2)=5$
2. 求a的值：横向四个数为1、a、7、-2，和为-2，可得：
$1+a+7+(-2)=-2$
解得$a=-2-(1+7-2)=-8$
此时已填入的数为1、-2、-6、7、5、-8，剩余未填的数为3和-4，即m、n分别为3和-4（顺序可互换）：
当$m=3,n=-4$时，$|m-n|=|3-(-4)|=7$；
当$m=-4,n=3$时，$|m-n|=|-4-3|=7$。
综上可得$|m-n|$的值为7。
【答案】
7
【知识点】
有理数加减法运算，绝对值的计算，数字规律探究
【点评】
本题以趣味幻圆游戏为背景，考查有理数运算和绝对值的性质，解题核心是先推导得到每组数字的公共和，再逐步推出未知数字，需要具备一定的逻辑推理能力，能较好地考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
课前预习
| 序号 | 基础知识 |
| --- | --- |
| 1 | 有理数乘法法则
（1）两数相乘，同号得
（2）任何数与0相乘，积仍得
|
| 2 | 倒数
乘积是
| 3 | 运算的基本思路
先定
困惑疑问：
| 序号 | 基础知识 |
| --- | --- |
| 1 | 有理数乘法法则
（1）两数相乘，同号得
正
，异号得负
，并把绝对值
相乘。（2）任何数与0相乘，积仍得
0
。 || 2 | 倒数
乘积是
1
的两个有理数互为倒数。 || 3 | 运算的基本思路
先定
运算符号
，再定数值大小
。 |困惑疑问：
答案
1.(1)正、负、绝对值 (2)0
2.1
3.运算符号、数值大小
2.1
3.运算符号、数值大小
解析
【分析】
本题是有理数乘法相关的基础概念识记类题目，解题时对应回忆课本相关知识点即可：首先回忆有理数乘法法则的符号判定、数值计算规则，以及和0相乘的特殊结论；再回忆倒数的定义，明确互为倒数的两个数的乘积特征；最后回忆有理数运算的通用思路，明确运算时的先后顺序要求，就能依次填出所有空缺。
【解析】
1. 依据有理数乘法法则：
（1）两数相乘，若两个数符号相同，乘积符号为正，若两个数符号不同，乘积符号为负，符号确定后将两个数的绝对值相乘得到乘积的数值部分，因此依次填正、负、绝对值；
（2）根据乘法规则，任何数与0相乘的结果都是0，因此填0。
2. 依据倒数的定义：乘积为1的两个有理数互为倒数，因此填1。
3. 有理数运算的基本思路：运算时首先要确定结果的符号，再计算得到结果的数值大小，因此依次填运算符号、数值大小。
【答案】
1.(1)正、负、绝对值 (2)0
2.1
3.运算符号、数值大小
【知识点】
有理数乘法法则，倒数的定义，有理数运算规则
【点评】
本题是基础概念考查题，涉及的知识点都是有理数乘法板块的核心基础内容，熟练掌握这些内容是后续学习有理数乘除运算、混合运算的重要前提，需要准确记忆。
【难度系数】
0.9
本题是有理数乘法相关的基础概念识记类题目，解题时对应回忆课本相关知识点即可：首先回忆有理数乘法法则的符号判定、数值计算规则，以及和0相乘的特殊结论；再回忆倒数的定义，明确互为倒数的两个数的乘积特征；最后回忆有理数运算的通用思路，明确运算时的先后顺序要求，就能依次填出所有空缺。
【解析】
1. 依据有理数乘法法则：
（1）两数相乘，若两个数符号相同，乘积符号为正，若两个数符号不同，乘积符号为负，符号确定后将两个数的绝对值相乘得到乘积的数值部分，因此依次填正、负、绝对值；
（2）根据乘法规则，任何数与0相乘的结果都是0，因此填0。
2. 依据倒数的定义：乘积为1的两个有理数互为倒数，因此填1。
3. 有理数运算的基本思路：运算时首先要确定结果的符号，再计算得到结果的数值大小，因此依次填运算符号、数值大小。
【答案】
1.(1)正、负、绝对值 (2)0
2.1
3.运算符号、数值大小
【知识点】
有理数乘法法则，倒数的定义，有理数运算规则
【点评】
本题是基础概念考查题，涉及的知识点都是有理数乘法板块的核心基础内容，熟练掌握这些内容是后续学习有理数乘除运算、混合运算的重要前提，需要准确记忆。
【难度系数】
0.9
思考1.同号两数相乘，运算结果的符号和数值大小有什么特征？
答案
运算结果都为正,数值大小为两数的绝对值的积。
解析
【分析】
思考该问题时可以分两类情况推导：①先回忆正数乘正数的运算规律，比如2×3=6，两个正数同号，结果符号为正，数值是两数的乘积也就是绝对值的积；②再回忆负数乘负数的运算规律，比如(-2)×(-3)=6，两个负数同号，结果符号也为正，数值部分同样是两个数绝对值的乘积。结合两类同号相乘的情况就能总结出对应的特征。
【解析】
我们分两类同号的情况讨论：
1. 当两个乘数都是正数时，根据乘法的基本运算规则，乘积为正数，数值大小等于两个正数的乘积，也就是两数绝对值的积；
2. 当两个乘数都是负数时，根据有理数乘法规则，负负得正，乘积的符号为正，数值大小等于两个负数的绝对值的乘积。
综上，同号两数相乘，积的符号为正，数值大小为两数的绝对值的积。
【答案】
运算结果都为正,数值大小为两数的绝对值的积。
【知识点】
1. 有理数乘法法则
2. 绝对值的运算
【点评】
本题考查有理数乘法的基础规则，是有理数运算的核心基础知识点，熟练掌握该规律能为后续有理数混合运算、整式运算等内容的学习打好基础。
【难度系数】
0.9
思考该问题时可以分两类情况推导：①先回忆正数乘正数的运算规律，比如2×3=6，两个正数同号，结果符号为正，数值是两数的乘积也就是绝对值的积；②再回忆负数乘负数的运算规律，比如(-2)×(-3)=6，两个负数同号，结果符号也为正，数值部分同样是两个数绝对值的乘积。结合两类同号相乘的情况就能总结出对应的特征。
【解析】
我们分两类同号的情况讨论：
1. 当两个乘数都是正数时，根据乘法的基本运算规则，乘积为正数，数值大小等于两个正数的乘积，也就是两数绝对值的积；
2. 当两个乘数都是负数时，根据有理数乘法规则，负负得正，乘积的符号为正，数值大小等于两个负数的绝对值的乘积。
综上，同号两数相乘，积的符号为正，数值大小为两数的绝对值的积。
【答案】
运算结果都为正,数值大小为两数的绝对值的积。
【知识点】
1. 有理数乘法法则
2. 绝对值的运算
【点评】
本题考查有理数乘法的基础规则，是有理数运算的核心基础知识点，熟练掌握该规律能为后续有理数混合运算、整式运算等内容的学习打好基础。
【难度系数】
0.9
1.计算：(+11)×(+9)=
99
。答案
99
解析
【分析】
拿到这道有理数乘法运算题，我们可以按照有理数乘法的通用解题步骤思考：第一步先判断两个乘数的符号，确定乘积的符号；第二步计算两个乘数绝对值的乘积；最后把符号和绝对值的乘积结合得到最终结果。本题中两个乘数都是正数，属于同号相乘，根据规则先确定积为正，再计算11和9的乘积即可得到答案。
【解析】
根据有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
1. 判断符号：两个因数+11、+9均为正数，属于同号相乘，因此积的符号为正；
2. 计算绝对值的乘积：$\vert+11\vert×\vert+9\vert=11×9=99$；
3. 结合符号可得最终结果为99。
【答案】
99
【知识点】
有理数乘法法则
【点评】
本题是有理数乘法的基础题型，重点考查同号两数相乘的运算规则，掌握好乘法法则的符号判断方法和绝对值运算要求，即可快速准确完成计算。
【难度系数】
0.9
拿到这道有理数乘法运算题，我们可以按照有理数乘法的通用解题步骤思考：第一步先判断两个乘数的符号，确定乘积的符号；第二步计算两个乘数绝对值的乘积；最后把符号和绝对值的乘积结合得到最终结果。本题中两个乘数都是正数，属于同号相乘，根据规则先确定积为正，再计算11和9的乘积即可得到答案。
【解析】
根据有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
1. 判断符号：两个因数+11、+9均为正数，属于同号相乘，因此积的符号为正；
2. 计算绝对值的乘积：$\vert+11\vert×\vert+9\vert=11×9=99$；
3. 结合符号可得最终结果为99。
【答案】
99
【知识点】
有理数乘法法则
【点评】
本题是有理数乘法的基础题型，重点考查同号两数相乘的运算规则，掌握好乘法法则的符号判断方法和绝对值运算要求，即可快速准确完成计算。
【难度系数】
0.9
2.计算：$-6×(-9)=$
54
。答案
54
解析
【分析】
解决这道题首先要明确有理数乘法的运算步骤：第一步先判断两个因数的符号，确定乘积的符号；第二步计算两个因数绝对值的乘积，最后结合符号得到最终结果。本题中两个因数都是负数，属于同号相乘，根据有理数乘法法则可以先确定乘积为正，再计算绝对值的乘积即可。
【解析】
根据有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
本题中两个因数$-6$和$-9$均为负数，同号相乘，因此积的符号为正，再计算二者绝对值的乘积：
$\vert -6\vert × \vert -9\vert =6× 9=54$
因此$-6× (-9)=54$。
【答案】
54
【知识点】
有理数乘法法则
【点评】
本题属于有理数乘法的基础运算题，解题的关键是先准确判断乘积的符号，再计算绝对值的乘积，熟练掌握乘法法则即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要明确有理数乘法的运算步骤：第一步先判断两个因数的符号，确定乘积的符号；第二步计算两个因数绝对值的乘积，最后结合符号得到最终结果。本题中两个因数都是负数，属于同号相乘，根据有理数乘法法则可以先确定乘积为正，再计算绝对值的乘积即可。
【解析】
根据有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
本题中两个因数$-6$和$-9$均为负数，同号相乘，因此积的符号为正，再计算二者绝对值的乘积：
$\vert -6\vert × \vert -9\vert =6× 9=54$
因此$-6× (-9)=54$。
【答案】
54
【知识点】
有理数乘法法则
【点评】
本题属于有理数乘法的基础运算题，解题的关键是先准确判断乘积的符号，再计算绝对值的乘积，熟练掌握乘法法则即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
3.计算：$\frac{7}{3} × (-\frac{3}{11}) =$
思考 2.异号两数相乘，运算结果的符号和数值大小有什么特征？
$-\frac{7}{11}$
。思考 2.异号两数相乘，运算结果的符号和数值大小有什么特征？
答案
3.$-\frac{7}{11}$
思考2：运算结果都为负,数值大小为两数的绝对值的积。
思考2：运算结果都为负,数值大小为两数的绝对值的积。
解析
【分析】
解答本题首先回忆有理数乘法的运算法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。针对计算题，第一步先判断两个因数的符号，确定乘积的符号；第二步计算两个因数绝对值的乘积，约分后得到数值部分，最后结合符号得到结果。针对思考问题，直接根据异号两数相乘的法则总结符号和数值的特征即可。
【解析】
3. 计算$\frac{7}{3} × (-\frac{3}{11})$：
1. 定符号：$\frac{7}{3}$是正数，$-\frac{3}{11}$是负数，异号两数相乘结果为负；
2. 算绝对值的积：$\left|\frac{7}{3}\right| × \left|-\frac{3}{11}\right| = \frac{7}{3} × \frac{3}{11} = \frac{7}{11}$；
3. 组合符号与数值，得结果为$-\frac{7}{11}$。
思考2解答：根据有理数乘法法则，异号两数相乘时，运算结果的符号为负，数值大小等于两个数的绝对值的乘积。
【答案】
3.$-\frac{7}{11}$；思考2：运算结果都为负,数值大小为两数的绝对值的积。
【知识点】
有理数乘法法则；分数约分
【点评】
本题属于有理数乘法的基础题型，核心考察“先定符号，再算绝对值”的运算逻辑，掌握符号判定规则是解题的关键，为后续复杂有理数运算打下基础。
【难度系数】
0.9
解答本题首先回忆有理数乘法的运算法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。针对计算题，第一步先判断两个因数的符号，确定乘积的符号；第二步计算两个因数绝对值的乘积，约分后得到数值部分，最后结合符号得到结果。针对思考问题，直接根据异号两数相乘的法则总结符号和数值的特征即可。
【解析】
3. 计算$\frac{7}{3} × (-\frac{3}{11})$：
1. 定符号：$\frac{7}{3}$是正数，$-\frac{3}{11}$是负数，异号两数相乘结果为负；
2. 算绝对值的积：$\left|\frac{7}{3}\right| × \left|-\frac{3}{11}\right| = \frac{7}{3} × \frac{3}{11} = \frac{7}{11}$；
3. 组合符号与数值，得结果为$-\frac{7}{11}$。
思考2解答：根据有理数乘法法则，异号两数相乘时，运算结果的符号为负，数值大小等于两个数的绝对值的乘积。
【答案】
3.$-\frac{7}{11}$；思考2：运算结果都为负,数值大小为两数的绝对值的积。
【知识点】
有理数乘法法则；分数约分
【点评】
本题属于有理数乘法的基础题型，核心考察“先定符号，再算绝对值”的运算逻辑，掌握符号判定规则是解题的关键，为后续复杂有理数运算打下基础。
【难度系数】
0.9
