9.如图，AD是$△ ABC$的外角$∠ EAC$的平分线，与$△ ABC$的外接圆交于点D。若$∠ EAD=2∠ BDC$，则$∠ BDC$的度数为 （）

A.$30°$
B.$36°$
C.$45°$
D.$60°$

第9题图 第10题图

9.B

10.如图所示，分别延长圆内接四边形ABCD两组对边相交于E和F两点，如果$∠ E=30°,∠ F=50°$，那么$∠ A$的度数为（）

A.$55°$
B.$50°$
C.$45°$
D.$40°$

10.B

11.如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，连结OB，OC，$∠ BOC=100°$，$∠ A=110°$，则$∠ OCD$的度数为________。

11.30°

12.如图，$\odot A$经过原点$O$，且与$x$轴交于点$C(6,0)$，点$B$，$D$在$\odot A$上，已知$∠ OBC=135°$，$∠ OCD=90°$，则$\odot A$的半径为。

12.$3\sqrt{2}$ 【解析】因为⊙A经过原点O,且与x轴交于点C(6,0),所以OC=6。因为四边形OBCD是圆内接四边形,所以∠ODC=180°−∠OBC=180°−135°=45°。因为∠OCD=90°,所以∠DOC=180°−∠OCD−∠ODC=180°−90°−45°=45°,OD为⊙A的直径,所以∠DOC=∠ODC,所以CO=CD=6。在Rt△OCD中,$OD=\sqrt{CO^2+CD^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$,且OD为⊙A的直径,所以⊙A的半径为$\frac{1}{2}×6\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。

13. 如图所示，AB=AC，AB为$\odot O$的直径，AC，BC分别交$\odot O$于点E，D，连结ED，BE。
(1)试判断DE与BD是否相等，并说明理由。
(2)如果BC=6，AB=5，求BE的长。

13.(1)$DE=BD$,理由:连结AD,因为AB是⊙O的直径,所以∠ADB=90°,即AD⊥BC,因为AB=AC,所以∠CAD=∠BAD,又因为∠CAD=∠EBD,∠BAD=∠BED,所以∠EBD=∠BED,所以DE=BD。
(2)因为AD⊥BC,AB=AC,所以$BD=CD=\frac{1}{2}BC=3$,所以$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=4$,因为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC·AD=\frac{1}{2}AC×BE$,所以$\frac{1}{2}×6×4=\frac{1}{2}×5×BE$,所以$BE=\frac{24}{5}$。

14.已知:$\odot O$是$△ ABC$的外接圆,且$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$,$∠ ABC=60°$,$D$为$\odot O$上一动点。

(1)如图1,若$D$是$\overset{\frown}{AB}$的中点,求$∠ DBA$的度数。
(2)过点$B$作直线$AD$的垂线,垂足为$E$。
①如图2,若点$D$在$\overset{\frown}{AB}$上,求证:$CD=DE+AE$;
②若点$D$在$\overset{\frown}{AC}$上,当它从点$A$向点$C$运动且满足$CD=DE+AE$时,直接写出$∠ ABD$的最大值。

14.(1)如图1,连结BD。因为$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$,所以∠BCA=∠BAC,因为∠ABC=60°,所以∠BCA=60°,因为D是$\overset{\frown}{AB}$的中点,所以∠DCA=30°,因为$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AD}$,所以∠DBA=∠DCA=30°。
(2)①如图2,过点B作BH⊥CD于点H,则∠BHC=∠BHD=90°。又因为BE⊥AD于点E,所以∠BED=90°,所以∠BED=∠BHC=∠BHD,又因为$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BD}$,所以∠BAE=∠BCH,因为$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$,所以BA=BC,在△BEA和△BHC中,$\begin{cases}∠BEA=∠BHC,\\∠BAE=∠BCH,\\BA=BC,\end{cases}$所以△BEA≌△BHC(AAS),所以EA=CH,又因为四边形ACBD是⊙O的内接四边形,易得∠BDE=∠BCA,又因为$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$,所以∠BCA=∠BDC,所以∠BDE=∠BDC,在△BED和△BHD中,$\begin{cases}∠BED=∠BHD=90°,\\∠BDE=∠BDC,\\BD=BD,\end{cases}$所以△BED≌△BHD(AAS),所以DE=DH,所以DC=DH+HC=DE+AE。
②∠ABD的最大值为30°。